2025年重庆市江北区中考数学一检试卷附答案

这是一份2025年重庆市江北区中考数学一检试卷附答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，最大的数是（ ）
A．﹣4B．﹣5C．0D．3
2．（4分）下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）点（2，﹣4）在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k值为（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
4．（4分）如图，某数学兴趣小组用同样大小的围棋子按照一定规律排列成如图，其中，图1中有5颗围棋子，图2中有8颗围棋子，图3中有13颗围棋子，图4中有20颗围棋子，按照此规律排列下去，则图⑦中有（ ）颗围棋子．
A．29B．40C．53D．56
5．（4分）估计(15+12)÷3的值应在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
6．（4分）如图，点D、点E在△ABC的边上，且DE∥AB，AD：DC＝2：1，则△ABC与△DEC的相似比为（ ）
A．2：1B．3：1C．1：2D．1：3
7．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．acb＜0B．4ac﹣b2＞0C．9a+3b+c＜0D．2a﹣b＝0
8．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC＝BE＝2，DE＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25−5π4B．23−5π4C．25−3π4D．23−3π4
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，BE：CE＝1：2，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点F，连接CF、DF，则CFDF的值是（ ）
A．55B．155C．53D．105
10．（4分）对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LtharCllatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长m＝5．下列说法：
①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长m≥4时，总能得到连续四次变换的结果依次是24，23，22，21；
②若输入正整数n，变换次数m，当m＝8时，n的所有可能值只有4个；
③若输入正整数n，变换次数m，当m＝9时，n的所有可能值中最大是512，最小是13．
其中正确的个数是（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）计算：(−12)−2−(3−2)0= ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点（﹣2，3）逆时针旋转90°后，它的对应点的坐标是 ．
13．（4分）生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的．如人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（A）控制，单眼皮由隐性基因（a）控制．当一个人的基因型为（AA）或（Aa）时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为（aa）时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是（Aa），则他们的子女是单眼皮的概率为 ．
14．（4分）暑假期间，小青同学和小彬同学相约进行社会实践活动，他们购进了某种卡片进行销售，第一天销售256张．第二、三天该卡片十分畅销，销售量持续走高，第三天的销售量达到400张．则第二、三天平均的增长率为 ．
15．（4分）如图，直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A、B两点，点C为反比例函数图象上另一点，连接AC，点D为线段AC的中点，若点B、点C的横坐标分别为﹣1和﹣3，S△ABD＝4，则k值是 ．
16．（4分）若关于x的不等式组4x−13−x≤12(x+1)＞a−x至少有3个整数解，且关于y的分式方程1−a1−y=2+3y−1的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
17．（4分）如图，平行四边形ABCD的顶点A、B和对角线交点F均在⊙O上，⊙O与BC相切于点B，边AD经过圆心O且交⊙O于点E，若半径OA=2，则线段AB＝ ，线段DE＝ ．
18．（4分）如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a2＝b+c+d，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为42＝3+8+5，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为42≠2+3+8，所以4238不是“方佳数”．若ab62是“方佳数”，则这个数最小是 ；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若M+N+44能被33整除，则满足条件的M的最大值 ．
三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（8分）（1）解方程：x2+5x＝6；
（2）化简：(x+1−4x−5x−1)÷x2−2x1−x．
20．（10分）某校为增强学生秋季流疾防控意识，开展了预防流疾知识竞赛．现从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（100分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，88，89，90，82，96，99，96，100
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，92，93
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次预防流疾知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀（x≥90）的学生共有多少名？
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作AC的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴① ．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠B＝90°．
又② ，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴③ ．
∵S△ABD=12AB•DB，S△ACD=12AC•DE，
∴S△ABDS△ACD=ABAC．
小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④ ．
22．（10分）开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
（1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC于点D，动点E从点B出发，沿折线B→A→C，到达点C时停止运动，设点E的运动路程为x（0＜x＜10），连接ED，若△ABD的面积与点E的运动路程x的比值为y1，△ADE的面积为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数y1，y2的图象，并写出函数y2的一条性质；
（3）结合函数图象，当0＜x＜5时请直接写出函数y1≤y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
24．（10分）北滨路延伸段建设是我区的重大民生项目，在建设过程中十分重视便民利民．如图，四边形ABCD区域是规划的休闲公园，其中四周是人行步道，对角线AC、BD为两条自行车道，点B为公园入口．经测量，点A在点B的正东方向，同时点A在点D的南偏东45°方向，点C在点D的南偏西60°方向，点C在点A的北偏西75°方向，若AD=9002米．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）
（1）求自行车道AC的长．（结果保留小数点后一位）
（2）测得∠ADB＝15°，小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明步行速度的3倍骑自行车从D出发赶往B地给小明送东西，问他们谁先到达B地，通过计算说明先到达多长时间？（结果保留小数点后两位）
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）的对称轴为直线x=32，与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），作直线BC，连接AC，CO＝4AO．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上直线BC上方的一动点，过点P作PD⊥x轴于D，交BC于点E，过点P作PF⊥BC于点F．点N是线段DE上一动点，作NM⊥y轴于点M，取AC的中点G，连接GM，BN．当△PEF的周长取得最大值时，求点E的坐标和GM+MN+BN的最小值；
（3）将该抛物线沿射线BC方向平移，使得新抛物线经过（2）中的点E，且与直线BC相交于另一点K，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠BKQ＝∠BCA时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
26．（10分）如图，等边△ABC中，点D为直线AC上一点，连接BD，以点B为旋转中心，将线段BD逆时针旋转120°，点D的对应点为点E，连接DE．
（1）如图1，点D在AC边上，若∠1＝α，求∠BDC的度数（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，点D在CA延长线上，连接EC，延长AB交EC于点F，取DE的中点G，连接FG．用等式表示线段FG与FB、AB之间的数量关系，并证明；
（3）点D在运动过程中，当线段AE的值最小时，直接写出ADED的值．
一．选择题（共10小题）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．【答案】D
【解答】解：∵﹣5＜﹣4＜0＜3，
∴最大的数是3，
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意；
B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意．
故选：B．
3．【答案】D
【解答】解：∵点（2，﹣4）在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k＝2×（﹣4）＝﹣8．
故选：D．
4．【答案】C
【解答】解：由所给图形可知，
图1中围棋子的颗数为：5＝12+4；
图2中围棋子的颗数为：8＝22+4；
图3中围棋子的颗数为：13＝32+4；
…，
所以图n中围棋子的颗数为（n2+4）颗．
当n＝7时，
n2+4＝72+4＝53（颗），
即图7中围棋子的颗数为53颗．
故选：C．
5．【答案】C
【解答】解：原式=5+2，
∵2＜5＜3，
∴4＜5+2＜5，
即原式的值在4和5之间，
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：∵AD：DC＝2：1，
∴AC：DC＝3：1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△ABC与△DEC的相似比=ACDC=3：1，
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：由函数图象可知，
a＞0，b＜0，c＜0，
所以acb＞0．
故A选项不符合题意．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
则b2﹣4ac＞0，
所以4ac﹣b2＜0．
故B选项不符合题意．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以x＝3时的函数值与x＝﹣1时的函数值相等．
由函数图象可知，x＝﹣1时函数值小于零，
所以x＝3时函数值也小于零，
即9a+3b+c＜0．
故C选项符合题意．
因为抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以−b2a=1，
即2a+b＝0．
故D选项不符合题意．
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°．
又∵DE＝1，BC＝BE＝2，
∴BD＝2+1＝3，
∴CD=BD2−BC2=32−22=5，
∴S矩形ABCD=BC⋅CD=25．
又∵小扇形的面积为：90⋅π⋅12360=π4，大扇形的面积为：90⋅π⋅22360=π，
∴S阴影=25−π4−π=25−5π4．
故选：A．
9．【答案】D
【解答】解：作FL⊥CD于点L，FH⊥BC交BC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠H＝∠B＝∠DCB＝90°，CD＝BC＝AB，
∵将线段AE绕点E顺时针旋转90°后，点A对应点为点F，
∴∠AEF＝90°，EF＝AE，
∴∠HEF＝∠BAE＝90°﹣∠AEB，
在△HEF和△BAE中，
∠H=∠B∠HEF=∠BAEEF=AE，
∴△HEF≌△BAE（AAS），
∴EH＝AB，HF＝BE，
∴EH＝BC，
∴EH﹣CE＝BC﹣CE，
∴HC＝BE，
∴HF＝HC，
∵∠H＝∠HCL＝∠FLC＝90°，
∴四边形CHFL是矩形，且HF＝HC，
∴四边形CHFL是正方形，
∴FL＝CL＝HF＝BE，
∴DL＝CD﹣CL＝BC﹣BE＝CE，
∵BE：CE＝1：2，
∴CL：DL＝1：2，
∴DL＝2CL＝2FL，
∵∠FLC＝∠DLF＝90°，
∴CF=FL2+CL2=2FL，DF=DL2+FL2=(2FL)2+FL2=5FL，
∴CFDF=2FL5FL=105，
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，
∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以2，或新自然数减去1的差再除以3（取整数），
若输入正整数n，则最后一次计算过程为：2÷2＝1，上一步结果为2＝21；
倒数第二次计算过程为：4÷2＝2，上一步结果为4＝22；
倒数第三次计算过程为：8÷2＝4，上一步结果为8＝23；
倒数第四次计算过程为：16÷2＝8，上一步结果为16＝24；
倒数第五次计算过程为：32÷2＝16，或3×5+1＝16，上一步结果为32或5；
倒数第六计算过程为：64÷2＝32，或10÷2＝5，上一步结果为64或10；
倒数第七次计算过程为：128÷2＝64，或3×21+1＝64，或20÷2＝10，或3×3+1＝10，上一步结果为128或21或20或3；
倒数第八次计算过程为：256÷2＝128，或42÷2＝21，或40÷2＝20，或6÷2＝3，上一步结果为256或42或40或6；
倒数第九次计算过程为：512÷2＝256，或3×85+1＝256，或84÷2＝42，或80÷2＝40，或3×13+1＝40，或12+2＝6，上一步结果为512或85或84或80或13或12；
∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长m≥4时，总能得到连续四次变换的结果依次是24，23，22，21，说法正确；
②若输入正整数n，变换次数m，当m＝8时，n的所有可能值为256或42或40或6，只有4个，说法正确；
③若输入正整数n，变换次数m，当m＝9时，n的所有可能值为512或85或84或80或13或12，其中最大是512，最小是12，说法错误；
∴正确的个数是2个，
故选：B．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
11．【答案】3．
【解答】解：(−12)−2−(3−2)0
＝4﹣1
＝3，
故答案为：3．
12．【答案】（﹣3，﹣2）．
【解答】解：令点A为（﹣2，3），旋转后的对应点为点B，分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
∵点A坐标为（﹣2，3），
∴OM＝2，AM＝3．
由旋转可知，
∠AOB＝90°，AO＝BO，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠A+∠AOM＝∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠A＝∠BON．
在△AOM和△OBN中，
∠A=∠BON∠AMO=∠BNOAO=BO，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴BN＝OM＝2，ON＝AM＝3，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
13．【答案】14．
【解答】解：父母都是双眼皮，且他们的基因都是（Aa），列表如下：
共有4种等可能的结果，其中他们的子女是单眼皮的结果有：aa，共1种，
∴他们的子女是单眼皮的概率为14．
故答案为：14．
14．【答案】25%．
【解答】解：设第二、三天平均的增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
即第二、三天平均的增长率为25%，
故答案为：25%．
15．【答案】﹣3．
【解答】解：∵直线y＝ax（a≠0）与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于A、B两点，
∴点A和点B关于点O对称．
∵点B的横坐标为﹣1，
∴点A的横坐标为1，
则点B的坐标可表示为（﹣1，﹣k），点A的坐标可表示为（1，k）．
又∵点D为线段AC的中点，且S△ABD＝4，
∴S△ABC＝2S△ABD＝8．
过点C作x轴的平行线，交AB于点M，
∵点B坐标可表示为（﹣1，﹣a），也可表示为（﹣1，﹣k），
∴a＝k．
∵点C坐标为（﹣3，−k3），
则将y=−k3代入y＝ax得，
x=−k3a=−13，
∴点M的横坐标为−13，
∴CM=−13−(−3)=83．
∵S△BCM+S△ACM＝S△ABC，
∴12×83×(−k−k)=8，
解得k＝﹣3，
∴k的值为﹣3．
故答案为：﹣3．
16．【答案】8．
【解答】解：4x−13−x≤1①2(x+1)＞a−x②，
由①得：4x﹣1﹣3x≤3，
x﹣1≤3，
x≤4，
由②得：2x+2＞a﹣x，
2x+x＞a﹣2，
3x＞a﹣2，
x＞a−23，
∴a−23＜x≤4，
∵关于x的不等式组4x−13−x≤12(x+1)＞a−x至少有3个整数解，
∴a−23＜2，
a﹣2＜6，
a＜8，
1−a1−y=2+3y−1，
a﹣1＝2（y﹣1）+3，
a﹣1＝2y﹣2+3，
a﹣1＝2y+1，
2y＝a﹣2，
y=a−22，
∵关于y的分式方程1−a1−y=2+3y−1的解为非负整数，
∴a−22≥0，a−22≠1且a−22是整数，
∴a＝2或6，
∴所有满足条件的整数a的值为：2或6，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：2+6＝8，
故答案为：8．
17．【答案】2，6−2．
【解答】解：如图，连接OB、OF，
∵⊙O与BC相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BF＝FD，
∴OB⊥AD，
∴AB=OA2+OB2=2，
在Rt△BOD中，BF＝FD，
∴BD＝2OF＝22，
∴OD=BD2−OB2=(22)2−(2)2=6，
∴DE＝OD﹣OE=6−2，
故答案为：2，6−2．
18．【答案】3162；4961．
【解答】解：ab62是“方佳数”，
∴a2＝b+6+2，即a=b+6+2，
∴当b＝1时，a有最小值3，
∴这个数最小是3162；
设这个四位数M=abcd则N=badc，
∴M+N+44＝1000a+100b+10c+d+1000b+100a+10d+c+44
＝1100a+1100b+11c+11d+44
＝（1089a+1089b）+（1la+11b+11c+1ld）+44
＝1089（a+b）+11（a+b+c+d）+44，
∵四位数M是“方佳数”，
∴a2＝b+c+d，
∴M+N+44＝1089（a+b）+11（a+a2）+33+11＝1089（a+b）+11（a+a2+1）+33，
∵M+N+44能被33整除，
∴M+N+4433=1089(a+b)+11(a+a2+1)+3333=33(a+b)+1+a+a2+13是整数，
∴a+a2+13是整数且a≠b≠c≠d，0＜a≤9，0＜b≤9，0＜c≤9，0＜d≤9，
∴满足条件的a的值为4，
∴b+c+d＝a2＝16，
∵要求M的最大值，则b＝9，c＝6，d＝1，
∴满足条件的M的最大值是4961．
故答案为：3162；4961．
三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．【答案】（1）x1＝﹣6，x2＝1；
（2）−x−2x．
【解答】解：（1）x2+5x﹣6＝0，
（x+6）（x﹣1）＝0，
x+6＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣6，x2＝1；
（2）原式=x2−1−4x+5x−1×1−xx(x−2)
=(x−2)2x−1×1−xx(x−2)
=−x−2x．
20．【答案】（1）96，93.5，40；
（2）八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好，理由见解答（答案不唯一，合理即可）；
（3）估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀（x≥90）的学生共有590名．
【解答】解：（1）由题意可得，
a＝96，b＝（93+94）÷2＝93.5，m%＝1﹣20%﹣10%﹣3÷10×100%＝40%，
故答案为：96，93.5，40；
（2）八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，故八年级学生的预防流疾知识竞赛成绩较好；
（3）400×610+500×（3÷10×100%+40%）
＝240+500×（30%+40%）
＝240+500×70%
＝240+350
＝590（名），
答：估计该校七、八年级参加此次预防流疾知识竞赛成绩优秀（x≥90）的学生共有590名．
21．【答案】∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．
【解答】（1）解：如图所示：DE⊥AC；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠B＝90°，
又AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴DE＝BD．
S△ABD=12AB•DB，S△ACD=12AC•DE，∴S△ABDS△ACD=ABAC．
小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值相等．
故答案为：∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．
22．【答案】（1）商家购进的每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元；
（2）每个套尺的售价为11元．
【解答】解：（1）设商家购进的每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是（10﹣x）元，
由题意得：1600x=120010−x×2，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，也符合题意，
∴10﹣x＝10﹣4＝6，
答：商家购进的每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元；
（2）设每个套尺的售价为m元，
由题意得：（m﹣6）×（30+12−m0.5×5）+50×（8﹣4）＝400，
整理得：m2﹣21m+110＝0，
解得：m1＝10，m2＝11，
∵降价幅度不超过10%，
∴12−m12≤10%，
∴m≥10.8，
∴m＝11，
答：每个套尺的售价为11元．
23．【答案】（1）y1=6x（0＜x＜10），y2=6−6x5(0＜x≤5)6x5−6(5＜x＜10)；
（2）图见解答，当0＜x≤5时，y1随x增大而减小，当5＜x＜10时，y1随x增大而增大（答案不唯一）；
（3）1.4≤x≤3.6．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥BC，
∴BD＝CD=12BC＝4，
∴AD=AB2−BD2=52−42=3，
∴S△ABD=12•AD•BD=12×3×4＝6，
∴y1=6x（0＜x＜10），
①如图1，当点E在AB上时，0＜x≤5，过点D作DH⊥AB于H，
由题意得：BE＝x，
∴AE＝5﹣x，
∵S△ABD=12×AB×DH＝6，
∴12×5×DH＝6，
∴DH=125，
∴y2=12•AE•DH=12×125（5﹣x）＝6−6x5；
②如图2，当点E在AC上，5＜x＜10，过点D作DH⊥AC于H，
由题意得：AE＝x﹣5，
同理得：DH=125，
∴y2=12•AE•DH=12×125（x﹣5）=6x5−6；
综上所述，y2=6−6x5(0＜x≤5)6x5−6(5＜x＜10)；
（2）如图3，函数图象即为所求；
由函数图象可知，当0＜x≤5时，y2随x增大而减小，当5＜x＜10时，y2随x增大而增大（答案不唯一）；
（3）由函数图象得，当0＜x＜5时函数y1≤y2时x的取值范围是：1.4≤x≤3.6．
24．【答案】（1）1378.4米；
（2）小明先到达，先到达1.43分钟．
【解答】解：（1）由题意可得：∠FDA＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°，∠CAG＝75°，即∠FAC＝15°，
如图：过D作DE⊥AC，
∵∠CAD＝∠FAD﹣∠FAC＝45°﹣15°＝30°，
∴DE=12AD=4502米，AE＝cs∠CAD•AD＝cs30°•AD=32×9002=4506米，∠ADE＝90°﹣∠CAD＝60°，
∴∠EDF＝∠EDA﹣∠FDA＝15°，
∴∠EDC＝∠CDF﹣∠FDE＝45°，
∵DE⊥AC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴CE=DE=4502米，
∴AC=CE+EA=4502+4506≈1378.4米；
（2）由题意可得：∠FDA＝∠DAF＝45°，∠DFA＝90°，
∴DF＝AF，
∵AD=9002米，
∴FD=AF=sin∠FAD⋅AD=sin45°⋅AD=22×9002=900米，
∵∠ADB＝15°，
∴∠FDB＝∠FDA﹣∠ADB＝30°，
∴FB＝tan∠DFB•FD=33×900=3003，BD=12FB=6003米，
∴BA=900−3003（米），
∵小明从A地以60米/分钟的速度步行前往B地，小明出发2分钟后，小刚以小明骑自行车以180米/分钟从D出发赶往B地，
∴小明用时：(900−3003)÷60=15−53分钟；小刚共用时：6003÷180+2=1033+2分钟，
∵1033+2−(15−53)=1033+2−15+53=2533−13≈1.43＞0，
∴小明先到达，先到达1.43分钟．
25．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）点E（2，2）；GM+MN+BN最小值为：41+42；
（3）将点Q（﹣3，2）或（34，10716）．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，OC＝4＝4OA，则AO＝1，则点A（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x=32，则点B（4，0），
则y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4）＝ax2+bx+4，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
由BO＝CO知，∠OBC＝45°＝∠FPE，
则PF＝PE=22PE，
则△PEF的周长＝（2+1）PE，
故当PE最大时，△PEF的周长最大，
设点P（x，﹣x2+3x+4），则点E（x，﹣x+4），
则PE＝﹣x2+4x，
当x＝2时，PE最大，即点E（2，2）；
则BD＝MN＝2，
将点B向左平移2个单位得到点D，连接DG交y轴于点M，过点M作PD的垂线于点N，则此时GM+MN+BN最小，理由：
∵MN＝BD且MN∥BD，则四边形MNBD为平行四边形，则BN＝MD，
则GM+MN+BN＝MN+DM+MG＝MN+DG，
由中点坐标公式得，点G（−12，2），由点D、G的坐标得，DG=412，
则GM+MN+BN最小值为：41+42；
（3）将该抛物线沿射线BC方向平移，设向左平移m个单位，则向上平移了m个单位，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+3（x﹣m）+4，
将点E的坐标代入上式得：2＝﹣（2﹣m）2+3（2﹣m）+4，则m＝2，
故新抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+3（x﹣2）+4＝﹣x2﹣x+8，
联立上式和直线BC的表达式y＝﹣x+4并解得：x＝2（舍去）或﹣2，即点K（﹣2，6），
当点Q在点K下方时，
∵∠BKQ＝∠BCA，则KQ∥AC，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝4x+4，
则直线KQ的表达式为：y＝4（x+2）+6，
当点Q在点K的上方时，同理可得：直线KQ的表达式为：y=14（x+2）+6，
分别联立KQ和新抛物线的表达式得：﹣x2﹣x+8＝4（x+2）+6或﹣x2﹣x+8=14（x+2）+6，
解得：x＝﹣3或34，
即点Q（﹣3，2）或（34，10716）．
26．【答案】（1）α+30°；
（2）AB+2FB＝2FG，证明见解析；
（3）217．
【解答】解：（1）∵以点B为旋转中心，将线段BD逆时针旋转120°，点D的对应点为点E，
∴BD＝BE，∠DBE＝120°，
∴∠BDE＝∠E＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，
∵∠BDC+∠BDE＝∠1+∠BAC，
∴∠BDC＝∠1+∠BAC﹣∠BDE＝α+60°﹣30°＝α+30°；
（2）AB+2FB＝2FG，
证明：延长CB至M，使BC＝BM，过E作EN∥BM，交BF延长线于N，连接EM，则∠ABM＝120°，
由旋转可知，BD＝BE，∠DBE＝120°，
∴∠DBE＝∠ABM＝120°，
∴∠EBM＝∠DBA＝120°﹣∠DBM，
∵BC＝BM，BC＝AB，
∴AB＝BM，
∴△DBA≌△EBM（SAS），
∴∠M＝∠DAB＝120°，AD＝EM，
∴∠M＝∠ABM＝120°，
∴EM∥AB，
∵EN∥BM，
∴四边形EMBN为平行四边形，
∴BC＝BM＝EN，∠M＝∠N＝120°＝∠CBF，
∵∠NFE＝∠BFC，
∴△NFE≌△BFC（AAS），
∴EF＝FC，
∵BC＝BM，
∴BF是△CEM中位线，
∴EM＝2BF，
∴AD＝EM＝2BF，
∵DE的中点G，
∴GF是△CED中位线，
∵CD＝2GF，
∵CD＝AD+AC，AC＝AB，
∴2GF＝2FB+AB；
（3）延长CB至M，使BC＝BM，连接EM，过B作BF⊥EM于F，过B作BG⊥DE于G，
由（2）可得，当点E在BC下方时，∠BME＝120°，EM∥AB，
同理，当点E在BC上方时，△DBA≌△EBM（SAS），∠BME＝∠BAD＝60°＝∠ABC，AD＝EM，则EM∥AB，
∴E在直线FM上运动，且EM∥AB，
因此在点D在运动过程中，当AE⊥EM时，线段AE的值最小，
∵∠ABF＝∠BFE＝∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB＝EF，
设AB＝2x，则AC＝BC＝BM＝2x，
∴AB＝FE＝2x，
在Rt△BMF 中，∠BME＝60°，
∴∠MBE＝30°，
∴MF=12BM=x，BF=BM2−MF2=3x，
∴BE=BF2+EF2=7x，AD＝EM＝EF+MF＝3x，
由旋转可知BD＝BE=7x，∠DBE＝120°，
∴∠GEB＝30°，DE＝2GE，
∴BG=12BE=72x，EG=32BE=212x，
∴DE＝2EG=21x，
∴ADED=3x21x=217．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/26 10:58:55；用户：陈庄镇中学；邮箱：[email protected]；学号：62602464年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
a
100
方差
35.4
35
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
C
C
B
C
A
D
B
A
a
A
AA
Aa
a
Aa
aa