2025年上海市静安区中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年上海市静安区中考数学一模试卷附答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．3mnB．12πC．0D．a+b2
2．（4分）下列各组数中，不相等的一组是（ ）
A．（﹣2）3和﹣23B．（﹣2）2和﹣22
C．|﹣2|3和23D．2和−3−23
3．（4分）泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（ ）
A．图形的相似B．图形的平移
C．图形的旋转D．图形的翻折
4．（4分）已知a→、b→、c→都是非零向量，下列条件中不能判定b→∥c→的是（ ）
A．a→∥c→，a→∥b→B．c→=3b→C．|b→|=|c→|D．a→=3b→，c→=−2a→
5．（4分）如果锐角A的余弦值为23，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（ ）
A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
6．（4分）如果一次函数y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过C（1，﹣3），那么函数y＝y1•y2的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数y=1x−1的定义域是 ．
8．（4分）计算：（﹣a2）3÷a2＝ ．
9．（4分）如果2x＝3y，那么xy的值是 ．
10．（4分）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的9倍，那么它的周长扩大为原来的 倍．
11．（4分）抛物线y＝（a+1）x2﹣x在对称轴左侧的部分是上升的，那么a的取值范围是 ．
12．（4分）已知一坡面的坡度i=1：3，那么这个坡角等于 °．
13．（4分）如图，点D、E分别在边AB、AC上，且ADBD=12，DE∥BC．设AD→=a→，EC→=b→，那么用向量a→、b→表示向量BC→为 ．
14．（4分）我们把常用的A4纸的短边与长边的比叫作“白银比”，把这样的矩形称为“白银矩形”．如图，一张规格为A4的矩形纸片ABCD，将其长边对折（EF为折痕），得到两个全等的A5矩形纸片，且A4、A5这两种规格的矩形纸片相似，那么这个“白银比”为 ．
15．（4分）如图，已知△ABC的三个顶点均在小正方形的方格顶点上，那么sinC的值是 ．
16．（4分）在两条直角边长分别是20和15的直角三角形的内部作矩形ABCD，如果AB、AD分别在两条直角边上（如图所示），AD：AB＝1：2，那么矩形ABCD的面积是 ．
17．（4分）如图，点O在四边形ABCD的内部，∠COD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，OD＝OC，如果BO＝a，那么AD的长为 ．（用含字母a的式子表示）
18．（4分）如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC＝2BD，AC＝65，tanA=12，那么AB的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：sin230°−12−tan60°−(ct45°ct30°)−1．
20．（10分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0），且对称轴是直线x＝2．
（1）填空：
①a与b的数量关系为：b＝ ；
②图象与x轴的另一个交点坐标为 ．
（2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标．
21．（10分）如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，DEAB=DFAC．求证：△DEF∽△ABC．
以下是小明同学证明本题的过程：
（1）有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因；
（2）小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．
请你用小红的思路完成本题的证明过程．
22．（10分）舞狮文化源远流长，其中高桩舞狮是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①所示）．在舞狮表演中，梅花桩AB、CD、EF垂直于地面，且B、D、F在一直线上（如图②所示）．如果在桩顶C处测得桩顶A和桩顶E的仰角分别为35°和47°，且AB桩与EF桩的高度差为1米，两桩的距离BF为2米．（sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin47°≈0.73，cs47°≈0.68，tan47°≈1.07）
（1）舞狮人从A跳跃到C，随后再跳跃至E，所成的角∠ACE＝ °；
（2）求桩AB与桩CD的距离BD的长．（结果精确到0.01米）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，联结AC、BD，△ABC是等边三角形，DE∥BC，DE与AC交于点E，∠ADB＝2∠DBC．
（1）求证：△ADE∽△DBC；
（2）求证：点E是线段AC的黄金分割点．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，其y与x部分对应值如表：
（1）求此抛物线的表达式；
（2）设此抛物线的顶点为P，将此抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线．
①设此抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且△ABP的重心G恰好落在直线l上，求此时新抛物线的表达式；
②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线l上所截得的线段长．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是BC中点，E在BA延长线上，F在AC边上（F不与点A、C重合），∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）求证：ED平分∠BEF；
（3）设CF＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（4）联结AD、CE，如果四边形ADCE有两个内角互补，求CF的长．
一．选择题（共6小题）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．【答案】D．
【解答】解：A．3mn，是单项式；
B．12π，是单项式；
C．0，是单项式；
D．a+b2，是多项式．
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：（﹣2）3＝﹣23＝﹣8，则A不符合题意；
（﹣2）2＝4，﹣22＝﹣4，则B符合题意；
|﹣2|3＝23＝8，则C不符合题意；
2=−3−23，则D不符合题意；
故选：B．
3．【答案】A
【解答】解：这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：选项C中，b→与c→的模相等，但方向不一定相同，
故不能判定b→∥c→，符合题意，
选项A、B、D中能判定b→∥c→，
故选：C．
5．【答案】C
【解答】解：∵cs30°=32＞23，cs45°=22＞23，cs60°=12＜23，csA=23，
∴45°＜∠A＜60°．
故选：C．
6．【答案】B
【解答】解：∵一次函数y1＝mx﹣6（m≠0）、y2＝nx﹣2（n≠0）的图象都经过C（1，﹣3），
∴m﹣6＝﹣3，n﹣2＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴y1＝3x﹣6，y2＝﹣x﹣2，
∴函数y＝y1•y2＝（3x﹣6）（﹣x﹣2）＝﹣3x2+12．该抛物线对称轴为y轴，顶点坐标（0，12），开口向下，只有选项B符合条件．
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
8．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（﹣a2）3÷a2＝﹣a6÷a2＝﹣a4．
故答案为：﹣a4．
9．【答案】32．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴xy=32．
故答案为：32．
10．【答案】3．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：9，
∴这两个相似三角形的相似比为1：3，
∴这两个相似三角形的周长比为1：3，
∴周长扩大为原来的3倍，
故答案为：3．
11．【答案】a＜﹣1
【解答】解：∵抛物线y＝（a+1）x2﹣x在对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴a+1＜0，解得a＜﹣1．
故答案为：a＜﹣1．
12．【答案】30．
【解答】解：设坡角为α，
∵斜坡的坡度i＝1：3，
∴tanα=13=33，
∴α＝30°，
故答案为：30．
13．【答案】32b→−3a→．
【解答】解：∵DE∥BC，ADBD=12，
∴AECE=12，DEBC=13，
∴AE→=12EC→=12b→，
∴DE→=AE→−AD→=12b→−a→，
∴BC→=3DE→=32b→−3a→，
故答案为：32b→−3a→．
14．【答案】22．
【解答】解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为12x，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：12x，
解得y：x＝1：2=22，
∴这个“白银比”为22．
故答案为：22．
15．【答案】91050．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
令小正方形网格的边长为a，
则由勾股定理得，
BC=(3a)2+(4a)2=5a，
AC=a2+(3a)2=10a．
由面积法可知，
12×5a×AM=12×3a×3a，
所以AM=95a．
在Rt△ACM中，
sinC=AMAC=95a10a=91050．
故答案为：91050．
16．【答案】72．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD：AB＝1：2，
∴AB＝DC＝2AD，DC∥AF，
∴△EDC∽△EAB，
∴DCAF=EDEA，
∵AF＝20，AE＝15，
∴ED＝15﹣AD，
∴2AD20=15−AD15，
解得AD＝6，
∴AB＝12，
∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝72，
故答案为：72．
17．【答案】2a．
【解答】解：连接AC，
∵∠COD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，OD＝OC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠DCO＝∠CDO＝45°，AC=AB2+BC2=2BC，DC=OD2+OC2=2OC，
∴∠ACD＝∠BCO＝45°﹣∠ACO，ACBC=DCOC=2，
∴△ACD∽△BCO，
∴ADBO=ACBC=2，
∴AD=2BO，
∵BO＝a，
∴AD=2a，
故答案为：2a．
18．【答案】8．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于F，如图所示：

∵BD是△ABC的中线，AC=65，
∴AD＝CD=12AC=35，
在Rt△ADE中，tanA=DEAE=12，
∴AE＝2DE，
由勾股定理得：AD=AE2+DE2=5DE，
∴35=5DE，
∴DE＝3，
∴AE＝2DE＝6，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，
又∵BD是△ABC的中线，
∴DE是△ACF的中位线，
∴CF＝2DE＝6，AE＝EF＝6，
设BE＝a，则BF＝EF﹣BE＝6﹣a，AB＝AE+BE＝6+a，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD2＝DE2+BE2＝32+a2，
在Rt△CBF中，由勾股定理得：BC2＝BF2+CF2＝（6﹣a）2+62，
∴BC＝2BD，
∴4（32+a2）＝（6﹣a）2+62，
整理得：a2+4a﹣12＝0，
解得：a＝2，a＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AB＝6+a＝8．
故答案为：8．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．【答案】−74−23．
【解答】解：原式＝（12）2−12−3−（13）﹣1
=14−2−3−3
=−74−23．
20．【答案】（1）①﹣4a；②（﹣2，0）；
（2）（2，﹣4）．
【解答】解：（1）①二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，
∴−b2a=2，
∴b＝﹣4a；
②二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴的一个交点坐标是（6，0），对称轴是直线x＝2，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0），
故答案为：①﹣4a；②（﹣2，0）；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴交点坐标为（﹣2，0）（6，0），
∴设二次函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
∵函数图象经过点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+2）（0﹣6），
∴a=14，
∴y=14(x+2)(x−6)=14（x﹣2）2﹣4，
∴顶点坐标为（2，﹣4）．
21．【答案】（1）③；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：他是从第③部分开始出现问题，
由GHAB=CGAC不一定推出GH∥AB，
故答案为：③；
（2）证明：在AC上截取MC＝DF，过M作MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴CMAC=MNAB，
∵DEAB=DFAC，
∴MNAB=DEAB，
∴MN＝DE，
∵CM＝DF，∠C＝∠F＝90°，
∴Rt△CMN≌Rt△FDE（HL），
∴△DEF∽△ABC．
22．【答案】（1）98；
（2）桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65米．
【解答】解：（1）过C作MN∥BF交AB于M，交EF于N，
由题意得，∠ACM＝35°，∠ECN＝47°，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACM﹣∠ECN＝98°，
故答案为：98；
（2）∵MN∥BF，AB∥CD∥EF，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，
∴四边形MBFN，四边形BDCM是矩形，
∴CM＝BD，MN＝BF＝2米，BM＝CD＝FN，
设AM＝x米，
∴EN＝（x+1）米，
在Rt△AMC中，CM=AMtan35°≈x0.7（米），
在Rt△ENC中CN=ENtan47°≈x+11.07（米），
∴CM+CN=x0.7+x+11.07=2，
解得x≈0.451，
∴BD＝CM＝0.65（米），
答：桩AB与桩CD的距离BD的长约为0.65米．
23．【答案】见解析．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CD∥AB，DE∥BC，
∴∠DCB＝∠CAB＝60°，∠DEC＝∠ACB＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴DE＝DC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵∠ADB＝2∠DBC，
∴∠ADE＝∠EDB＝∠DBC，
∵∠AED＝∠DCB＝120°，
∴△ADE∽△DBC；
（2）∵△ADE∽△DBC，
∴AEDC=DEBC，
∵△DEC，△ABC都是等边三角形，
∴DE＝EC＝DC，AC＝BC，
∴EC2＝AE•AC，
∴点E是线段AC的黄金分割点．
24．【答案】（1）y=−23x2+43x+2；
（2）y=23(x−1)2−89；
（3）10．
【解答】解：（1）方法一：由题意得：
a−b+c=0c=24a+2b+c=2，
解得a=−23b=43c=2，
∴此抛物线的表达式为y=−23x2+43x+2；
方法二：根据题意，设抛物线的表达式为 y＝a（x+1）（x﹣3），
把 x＝0，y＝2代入，解得a=−23，
∴此抛物线的表达式为y=−23x2+43x+2；
（2）①∵y=−23x2+43x+2=−23(x−1)2+83，
∴点P的坐标为(1，83)，
过点P作PH垂直x轴于点H，则PH=83，
∵G是△ABP 的重心，
∴GH=13PH=89，
∵G在直线l上，且新抛物线与原抛物线的图象关于直线l对称，
∴新抛物线的顶点坐标为(1，−89)，
∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反，
∴新抛物线的表达式为y=23(x−1)2−89；
②设直线l与y轴的交点为（0，m），
∴P(1，83)关于直线l的对称点为(1，2m−83)，
∴新抛物线的表达式为y=23(x−1)2+2m−83，
∵它经过原点，
∴0=23+2m−83，
解得m＝1，
令y＝1，代入y=−23(x−1)2+83，
得x1=1+102，x2=1−102，
∴新抛物线在直线l上所截得的线段长为10．
25．【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）y=x+16x−325（0＜x＜165）；
（4）CF=85或52．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDF＝∠B，
∴∠BED＝∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）证明：∵△BDE∽△CFD，
∴DEDF=BDCF，
∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
∴DEDF=CDCF，
∵∠EDF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△CDF，
∴∠DEF＝∠CDF＝∠BED，
∴ED平分∠BEF；
（3）解：过F作FH⊥BC于H，
∵CF＝x，EF＝y，
∴FH=35x，CH=45x，DH=4−45x，
∵△DEF∽△CDF，
∴EFDF=DFCF，
∴EF=DF2CF=DH2+FH2CF=(35x)2+(4−45x)2x=x+16x−325，
∵35x＞0，4−45x＞0，
∴0＜x＜165，
∴y=x+16x−325（0＜x＜165）；
（4）解：由题意，分类讨论，
①当∠DCE＝90°时，CFCD=BDBE，
∴x4=410，
∴CF＝x=85；
②当∠AEC＝90°时，CFCD=BDBE=BD45BC，
∴x4=4325，
∴CF＝x=52；
③当∠DAE＝90°时显然不成立；
综上所述，CF=85或52．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/26 10:55:51；用户：陈庄镇中学；邮箱：czz001@xyh.cm；学号：62602464证明：如图，在AC、BC上分别截取CG＝FD，CH＝FE，联结GH．
x
…
﹣3
﹣1
0
2
3
…
y
…
﹣8
0
2
2
0
…
题号
1
2
3
4
5
6
答案
D．
B
A
C
C
B