2025年上海市松江区中考数学一模试卷附答案

这是一份2025年上海市松江区中考数学一模试卷附答案，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，下列结论正确的是（ ）
A．tanA=23B．ctA=23C．sinA=23D．csA=23
2．（4分）如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O，如果△DOE的面积为1，那么△ABO的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．9
3．（4分）已知A（﹣1，y1）、B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+c上两点，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定
4．（4分）已知线段a、b、c，求作线段x，使x=acb．下列作图方法中（AB∥CD）不合理的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知a→+b→=2c→，a→−b→=3c→，且c→是非零向量．那么下列说法中正确的是（ ）
A．a→∥b→∥c→B．a→∥b→，a→与c→不平行
C．a→∥c→，a→与b→不平行D．b→∥c→，b→与a→不平行
6．（4分）已知命题：
①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似；
②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似．
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题
B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题
D．①是假命题，②是真命题
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知一个斜坡的坡度i＝1：1，那么该斜坡的坡角为 度．
8．（4分）已知抛物线y＝a（x﹣3）2经过点A（2，1），那么该抛物线的开口方向是 ．
9．（4分）将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是 ．
10．（4分）已知线段AB＝6cm，P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP＝ cm．
11．（4分）如图，已知直线l1、l2、l3分别与直线m交于点A、B、C，与直线n交于点D、E、F，如果l1∥l2∥l3，AB=23BC，DF＝10．那么DE＝ ．
12．（4分）如图，点G是△ABC的重心，EF经过点G，且EF∥BC．那么△AEF的周长与△ABC的周长之比为 ．
13．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设BA→=a→，BC→=b→，那么BD→可以用a→、b→表示为 ．
14．（4分）如图，D是△ABC的边BC上一点，E是AD的中点，EM∥AB，EN∥AC．如果BC＝6，那么MN的长度为 ．
15．（4分）一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=−112x2+23x+c，如果铅球落到地面时运行的水平距离为10米，那么铅球刚出手时离地面的高度是 米．
16．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边AC、AB、BC上，如果AE＝2BE，且S△ABC＝36．那么正方形CDEF的面积为 ．
17．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、AD上，且AE＝BF＝DG，联结CE、FG，交于点H，如果AE：BE＝1：2，那么GHHF的值为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanB=45，E是边AB上一点，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B′，如果AB′∥BC，那么AEEB的值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：ab=cd(a≠b)．
（1）如果a＝1，b＝2，c+d＝6，求c、d的值；
（2）求证：b−ad−c=bd．
20．（10分）已知一条抛物线的顶点为A（1，3），且经过点B（0，2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点C（3，t）在该抛物线上，求△ABC的面积．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，BC＝6，S△ABC＝63．
（1）求AB的长；
（2）在BC边上取一点D，使CD＝2，联结AD，求∠CAD的正切值．
22．（10分）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，BA垂直于水平桌面l，垂足为点A，点C处有一个摄像头．经测量，AB＝42厘米，BC＝30厘米，∠ABC＝127°．
（1）求摄像头C到桌面l的距离；
（2）如果摄像头可拍摄的视角∠DCE＝37°，且CD＝CE，求桌面上可拍摄区域的宽度（DE的长）．
（参考数据：sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，tan37°＝0.75．）
23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D，点E．AF∥BC，交BE的延长线于点F．
（1）求证：AEAF=CDAC；
（2）求证：2AB•AD＝BF•BC．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．
（1）当x=−1a时，求该二次函数的函数值；
（2）定义：对于一个函数y＝f（x），满足f（x）＝x的实数x叫做这个函数的不动点．如果二次函数y＝ax2+bx+2存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点；
（3）将△AOB绕点B逆时针旋转，点O落在点C处，点A落在点D处，当四边形ABCD是梯形时，点C恰好落在该二次函数图象上，求该二次函数的解析式．
25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．点E、F分别在边AB、BC上，AF⊥DE，垂足为点H．
（1）求AF：DE的值；
（2）当HF＝2EH时，求AE的长；
（3）联结CH，如果△CDH是等腰三角形，求∠EDC的正切值．
一．选择题（共6小题）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】
1．【答案】D
【解答】解：已知∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，
则csA=ACAB=23，
故选：D．
2．【答案】B
【解答】解：∵▱ABCD中，E为CD边上的中点，
∴DE=12CD=12AB，AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠EDO，∠OAB＝∠OED，
∴△AOB∽△EOD，
∴AOOE=BOOD=ABDE=2，
∴S△AOBS△DOE=(ABDE)2=22＝4，
∴S△AOB＝4S△DOE＝4，
故选：B．
3．【答案】C
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+c可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵1﹣（﹣1）＝3﹣1，
∴y1＝y2，
故选：C．
4．【答案】B
【解答】解：A、由图可得ax=bc，即x=acb，图形能画出，故此选项不符合题意；
B、由图可得xc=ab，即x=acb，图形不能画出，故此选项符合题意；
C、由图可得，图形能画出，故此选项不符合题意；
D、由图可得图形能画出，故此选项不符合题意．
故选：B．
5．【答案】A
【解答】解：∵a→+b→=2c→，a→−b→=3c→，
∴a→=2.5c→，b→=−0.5c→，
∵c→是非零向量，
∴a→∥b→∥c→．
故选：A．
6．【答案】C
【解答】解：两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，正确，是真命题；
两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形一定相似，故原命题错误，是假命题．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．【答案】45．
【解答】解：∵tanα＝1：1＝1，
∴坡角＝45°．
8．【答案】向上．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣3）2经过点A（2，1），
∴a（2﹣3）2＝1，解得a＝1＞0，
∴该抛物线的开口方向是向上．
故答案为：向上．
9．【答案】y＝（x+2）2﹣1．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣1向左平移2个单位后，所得到的新抛物线的表达式是y＝（x+2）2﹣1．
故答案为：y＝（x+2）2﹣1．
10．【答案】（35−3）．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP=5−12AB=5−12×6＝（35−3）（cm），
故答案为：（35−3）．
11．【答案】4．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=23BC，
∴ABBC=DEEF=23，
∵DF＝10，
∴EF＝10﹣DE，
∴DE10−DE=23，
解得DE＝4．
故答案为：4．
12．【答案】2：3．
【解答】解：连接AG并延长交BC于M，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG：AM＝2：3，
∵EF∥BC，
∴AE：AB＝AG：AM＝2：3，
∵△AEF∽△ABC，
∴△AEF的周长：△ABC的周长＝AE：AB＝2：3．
故答案为：2：3．
13．【答案】a→+12b→．
【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，BC→=b→，
∴AD→=12b→，
∴BD→=BA→+AD→=a→+12b→．
故答案为：a→+12b→．
14．【答案】3．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴DE=12DA，
∵EM∥AB，
∴DMDB=DEDA=12，
即DM=12DB，
∵EN∥AC，
∴DNDC=DEDA=12，
即DN=12DC，
∵BC＝6，
∴MN＝DM+DN=12DB+12DC=12BC＝3，
故答案为：3．
15．【答案】53．
【解答】解：∵铅球落到地面时运行的水平距离为10米，
∴抛物线经过点（10，0），
∴−112×102+23×10+c＝0，
解得：c=53，
∴y=−112x2+23x+53，
当x＝0时，y=53．
∴铅球刚出手时离地面的高度是53米．
故答案为：53．
16．【答案】16．
【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，
∴CD＝CF＝EF＝DE＝x
∵DE∥BC，EF∥AC，
∴ADCD=AEBE=2，BFCF=BEAE=12，
∴AD＝2CD＝2x，BF=12x，
∴AC＝3x，BC=32x，
∵S△ABC＝36．
∴12AC⋅BC=123x•32x＝36，
∴x＝4（负值舍去），
∴CD＝4，
∴正方形CDEF的面积＝4×4＝16．
故答案为：16．
17．【答案】74．
【解答】解：延长DA、CE交于点P，设AE＝m，
∵AE＝BF＝DG，AE：BE＝1：2，
∴AE＝BF＝DG＝m，BE＝2AE＝2m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝AB＝m+2m＝3m，AD∥BC，
∴AG＝CF＝3m﹣m＝2m，
∵AP∥BC，
∴△APE∽△BCE，
∴APBC=AEBE=12，
∴AP=12BC=12×3m=32m，
∴PG＝2m+32m=72m，
∵PG∥CF，
∴△PGH∽△CFH，
∴GHHF=PGCF=72m2m=74，
故答案为：74．
18．【答案】85或25．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，tanB=45，
∴tanB=ACBC=45，
设AC＝4x，BC＝5x，
∴AB=AC2+BC2=(4x)2+(5x)2=41x，
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB′∥BC，设AB，CB'交于点F，
∴BC＝B'C＝5x，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
在Rt△AB'C中，AB′=(B′C)2−AC2=(5x)2−(4x)2=3x，
∵AB'∥BC，
∴△AB'F∽△BCF，
∴AB′BC=AFBF=B′FCF=35，
∵CF+B'F＝CB'＝5x，
∴CF＝5x﹣B'F，
∴B′F5x−B′F=35，
解得：BF=15x8，
同理，AF+BF=AB=41x，
∴BF=41x−AF，
∴AF41x−AF=35，
解得：AF=341x8，
∵折叠，
∴∠CBE＝∠CB'E，BE＝B'E，
∵AB'∥BC，
∴∠CBA＝∠B'AB，
∴∠EB'F＝∠EAB'，且∠B'EF＝∠AEB'，
∴△B'EF∽△AEB'，
∴B′EAE=B′FAB=EFEB′，即B′EAE=15x83x，
整理得，B′EAE=58，
∵B'E＝BE，
∴AEBE=85；
如图所示，将△BCE沿直线CE翻折，点B的对应点为B'，AB'∥BC，延长B'A，CE交于点G，
∴B'G∥BC，
∴∠G＝∠BCG，∠B'AC＝∠ACB＝90°，
∵折叠，
∴∠BCG＝∠B'CG，BC＝B'C＝5x，
∴∠G＝∠B'CG，
∴B'C＝B'G＝5x，
在Rt△ACB'中，AB′=B′C2−AC2=(5x)2−(4x)2=3x，
∴AG＝B'G﹣AB'＝5x﹣3x＝2x，
∵AG∥BC，
∴△AGE∽△BCE，
∴AEBE=AGBC=2x5x=25；
综上所述，AEEB的值为85或25，
故答案为：85或25．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．【答案】（1）c＝2，d＝4；
（2）证明见解析过程．
【解答】（1）解：∵ab=cd，且a＝1，b＝2，
∴cd=12，
则d＝2c．
又∵c+d＝6，
∴c＝2，d＝4．
（2）证明：∵ab=cd，
∴ab−1=cd−1，
∴a−bb=c−dd，
∴a−bc−d=bd，
∴b−ad−c=bd．
20．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）3．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
把B（0，2）代入得2＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）把抛C（3，t）代入y＝﹣（x﹣1）2+3得t＝﹣（3﹣1）2+3＝﹣1，
∴C（3，﹣1），
延长CA交y轴于D点，如图，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（1，3），C（3，﹣1）分别代入得k+b=33k+b=−1，
解得k=−2b=5，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+5，
当x＝0时，y＝﹣2x+5＝5，
∴D（0，5），
∴S△ABC＝S△CBD﹣S△ABD=12×（5﹣2）×3−12×（5﹣2）×1＝3．
21．【答案】（1）4；
（2）35．
【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H．
∵S△ABC=12•BC•AH＝63，BC＝6，
∴AH＝23，
∵∠B＝60°，
∴tan60°=AHBH=3，∠BAH＝30°，
∴BH＝2，
∴AB＝2BH＝4；
（2）过点D作DJ⊥AC于点J．
∵CH＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，CD＝2，
∴DH＝CH＝CD＝4﹣2＝2，
∴HB＝HD，
∵AH⊥BD，
∴AB＝AD＝4，
∴AC=AH2+CH2=(23)2+42=27，
∵∠C＝∠C，∠DJC＝∠AHC＝90°，
∴△CJD∽△CHA，
∴DJAH=CJCH=CDCA，
∴DJ23=CJ4=227，
∴DJ=2217，CJ=477，
∴AJ＝AC＝CJ＝27−477=1077，
∴tan∠CAD=DJAJ=22171077=35．
22．【答案】（1）摄像头C到桌面l的距离约为60cm；
（2）桌面上可拍摄区域的宽度约为40cm．
【解答】解：（1）作CH⊥AE于点H，BF⊥CH于点F，
∴∠CHA＝∠BFH＝∠BFC＝90°，
∵BA⊥l，
∴∠BAE＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH＝AB＝42厘米，∠ABF＝90°，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBF＝37°，
∵BC＝30厘米，
∴CF＝30×sin37°≈30×0.6＝18（厘米），
∴CH＝18+42＝60（厘米）．
答：摄像头C到桌面l的距离约为60cm；
（2）作EM⊥CD于点M，
∴∠CME＝∠DME＝90°，
设CE为x厘米，则CD＝x厘米，
∵∠DCE＝37°，
∴ME＝0.6x厘米，CM＝0.8x厘米，
∴DM＝0.2x厘米，
∴DE=DM2+ME2=105x厘米，
∵S△DEC=12DE•CH=12DC•ME，
∴105x×60＝x•0.6x，
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝2010，
∴ED=105×2010=40（厘米）．
答：桌面上可拍摄区域的宽度约为40cm．
23．【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FEA＝∠ADC＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠FAE＝∠C，
∴△FAE∽△ACD，
∴AECD=AFAC，
∴AEAF=CDAC．
（2）设AD交BF于点H，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∠FAH＝∠ADB＝90°，
∴CD＝BD=12BC，∠BAH＝∠CAD＝90°﹣∠FAE＝∠F，
∵∠HBA＝∠ABF，
∴△HBA∽△ABF，
∴ABBF=HAAF，
∵∠FAH＝∠ADC＝90°，∠F＝∠CAD，
∴△FAH∽△ADC，
∴HACD=AFAD，
∴HAAF=CDAD=12BCAD=BC2AD，
∴ABBF=BC2AD，
∴2AB•AD＝BF•BC．
24．【答案】（1）y＝0；
（2）这个不动点是x＝﹣1；
（3）二次函数的解析式为y=−14x2+12x+2或y=(2−2)x2+(22−3)x+2．
【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2，
∴B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），
代入解析式得4a﹣2b+2＝0得，b＝2a+1，
∴y＝ax2+（2a+1）x+2，
当x=−1a时，y=a(−1a)2+(2a+1)(−1a)+2=1a−2−1a+2=0，
∴当x=−1a时，y＝0；
（2）由ax2+（2a+1）x+2＝x得，
ax2+2ax+2＝0，
∵有唯一的不动点，
∴Δ＝（2a）2﹣4a×2＝0，
解得：a＝0（舍）或a＝2，
当a＝2时，2x2+4x+2＝0得x＝﹣1，
∴这个不动点是x＝﹣1；
（3）①当BC∥AD时，如图，
BC＝CD＝2，∠C＝∠AOB＝90°，
∴C（2，2），
∴4a+2（2a+1）+2＝2，
解得a=−14，
∴y=−14x2+12x+2；
②当CD∥AB时，如图，
BC＝BO＝2，∠C＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBO＝45°，
∴BH＝CH=2，
∴C（2，2−2），
∴2a+(2a+1)2+2=2−2，
解得a=2−2，
∴y=(2−2)x2+(22−3)x+2．
综上，二次函数的解析式为y=−14x2+12x+2或y=(2−2)x2+(22−3)x+2．
25．【答案】（1）AFDE=45；
（2）AE＝5；
（3）tan∠EDC=43或2或85．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AHE＝90°，
∴∠BAF+∠AEH＝90°，
∴∠AFB＝∠AEH，
∴△BAF∽△ADE，
∴AFDE=ABAD=810=45；
（2）设EH＝x，tan∠AEH＝k，则 FH＝2x，AH＝kx，DH＝k2x，DE＝（k2+1）x，AF＝（k+2）x，
∵AFDE=(k+2)x(k2+1)x=45，
∴4k2﹣5k﹣6＝0，
解得：k＝2或k=−34（舍），
即AE=12AD＝5；
（3）①当CD＝DH＝8时，
∵AD＝10，
∴AH=AD2−DH2=6，
∵∠EDC+∠ADH＝∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠EDC＝∠DAH，
∴tan∠EDC＝tan∠DAH=DHAH=43；
②当 CD＝CH＝8时，如图，过点C作CN⊥DH，垂足为点G，交AD于N，则 HG＝DG，
∵AF⊥DE，
∴AF∥NC，
∴AN＝ND＝5，AN＝FC＝BF＝5，
由（1）知△BAF∽△ADE，
∴BFAE=45，
∴AE=254，
∴tan∠EDC=tan∠AED=ADAE=10254=85；
③当DH＝CH时，如图，过点H作 HP⊥CD，则 CP＝DP
∵AD∥HP∥FC，
∴AH＝HF，
联结DF，则AD＝DF＝10，
∵CD＝8，
∴CF=DF2−CD2=6，
∴BF＝4，
由（1）知△BAF∽△ADE，
∴BFAE=45，
∴AE＝5，
∴tan∠EDC=tan∠AED=ADAE=105=2．
综上所述：tan∠EDC=43或2或85．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/26 10:54:57；用户：陈庄镇中学；邮箱：czz001@xyh.cm；学号：62602464题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
B
C
B
A
C