江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期2月考试数学试卷

这是一份江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二下学期2月考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意.
1. 若直线与直线垂直，则实数（ ）
A. 0B. 1C. D.
2. 已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D. 或
3. 已知过圆外一点作圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（ ）
A B.
C. D.
4. 已知曲线C上任意一点P到定点的距离比点P到直线的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ）
A 3B. 4C. 5D. 6
5. 如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（ ）
A. 121B. 122C. 123D. 124
6. 记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，左右顶点分别为，离心率为，点为双曲线C上一点，直线的斜率之和为，的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了如下公式：
（其中）
现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分.
9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ）
A. 圆心到直线距离为1B. 圆心到直线的距离为2
C. D.
10. 已知双曲线：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点到渐近线的距离为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A. 的离心率为
B. 的最小值为
C. 若，为的左、右顶点，与，不重合，则直线，的斜率之积为
D. 设的左焦点为，若的面积为，则
11. 已知无穷数列满足：当为奇数时，an=2n+1；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）
A. 和均为数列中的项
B. 数列为等差数列
C. 仅有有限个整数使得成立
D. 记数列的前项和为，则恒成立
12. 已知函数，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 必有唯一极值点
B. 若，则在上有极小值
C. 若，对有恒成立，则
D. 若存在，使得成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线l与曲线和都相切，则l方程为______.
14. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为________．
15. 如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率e=__________．
16. 等差数列{an}的公差d≠0满足成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（1）求单调区间及极值；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
18. 已知数列，满足.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若等差数列的公差为成等比数列，求数列的前项和.
19. 已知椭圆的焦距为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值.
20. 过点作抛物线在第一象限部分的切线，切点为A，F为的焦点，为坐标原点，的面积为1．
（1）求的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线和，交于C，D两点，交于P，Q两点，且M，N分别为线段CD和PQ的中点．直线MN是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
21. 已知数列的前项和为，，数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数.
（1）求的极大值；
（2）设、是两个不相等的正数，且，证明：.