上海市上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析）

这是一份上海市上海师范大学附属中学宝山分校2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
满分150分 时间120分钟
一、填空题（共12题，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分）
1. 椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程得到，的值，然后由求得的值，进而求得离心率．
【详解】根据椭圆的方程可得：，，故 ，所以椭圆的离心率 ．
【点睛】本题主要考查根据椭圆标准方程求出，，，由椭圆的几何性质求离心率，属于基础题．
2. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可.
【详解】由题意，解得，所以抛物线准线为，
故所求为.
故答案为：.
3. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行可得出关于的等式和不等式，解之即可.
【详解】因为直线与直线相互平行，
则，解得.
故答案为：.
4. 参数方程（为参数）的普通方程是_______.
【答案】
【解析】
【分析】消参，可得普通方程.
【详解】由已知，
即，
即，
化简可得，
故答案为：.
5. 直线与的夹角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角.
【详解】直线的斜率，即倾斜角满足，
直线的斜率，即倾斜角满足，
所以，
所以，
又两直线夹角的范围为，
所以两直线夹角为，
故答案为：.
6. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程.
【详解】设双曲线：，
将代入可得，
故双曲线：.
故答案为：.
7. 已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则该椭圆的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据是正三角形，且直线与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，．在△中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴，焦距，即可求出椭圆的离心率；
【详解】
是正三角形，
，
直线与椭圆长轴垂直，
是正三角形的高，，
△中，设，，
，
因此，椭圆的长轴，焦距
椭圆的离心率为．
故答案为：.
8. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得.
【详解】直线，则，
令，解得，所以动直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
所以，
所以点在圆内，
所以当直线时直线与圆相交的弦长最短，
最短弦长为.
故答案为：
9. 设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和圆的性质，转化成三点一线，即可求出最小值.
【详解】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则，
设圆心为点，则点到准线的距离为5，
结合图象可知，则
当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立.
故答案为：4.
10. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为________.

【答案】
【解析】
【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围.
【详解】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：

、分别为、的中点，，为直径，，
，
所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且，
所以，，，
即的取值范围为.
故答案为：.
11. 已知点在椭圆上运动，的左、右焦点分别为、．以为圆心，半径为的圆交线段、于、两点（其中为正整数）．设的最大值为，最小值为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】设点，则，计算得出、、，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的表达式，令，利用函数单调性可求得当时，、的表达式，再利用常用数列的极限可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，，则点、，
因为在椭圆上运动，设点，则，
，
同理可知，由已知可得，
，，
所以，，
，
令，，
当时，记，则，
任取、且，即，所以，，
则，
，故函数在上为增函数，
此时，，，
所以，，因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
12. 在平面直角坐标系xOy中，点M不与原点О重合，称射线OM与的交点N为点M的“中心投影点”，曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是_______
【答案】
【解析】
【分析】可作出对应曲线的图象，结合图形，求出题中“中心投影点”构成的曲线长度对应圆中的圆心角，从而求出其“中心投影点”构成的曲线的长度.
【详解】曲线的渐近线方程为： ，设渐近线与圆的交点分别为,如下图
则曲线上所有点的“中心投影点”构成的曲线为圆弧
由题意，所以
所以,则
故答案为：

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知圆，圆则两个圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆心距确定两圆位置关系.
【详解】由已知圆心，半径，
圆心，半径，
则，
所以两圆相内切，
故选：D.
14. 如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设直线方程，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案.
【详解】依题意知，直线斜率存在，设为，双曲线的中心为，
因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为，
由，消去得，，
因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，
所以，即，解得或，
所以直线l的斜率的取值范围是：.
故选：B.
15. 已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解；
【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为，
设，则由动点满足，
故选：A
16. 在平面直角坐标系中， 动点到两个定点，的距离之积等于，则下列命题中正确的个数是（ ）
①曲线关于轴对称； ②的最大值为；
③的最小值为； ④的最大值为
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】利用直接法可得轨迹方程，再根据曲线的对称性可判断①；由基本不等式可判断③；化简轨迹方程可得，即，由可得，利用换元法结合二次函数性质可判断②④.
【详解】由已知，
代入点，则，成立，①正确；
则，当且仅当，即点时，等号成立，③错误；
化简，可得，
即，
又，
即，解得，即，
设，则，，
所以，即，②错误；
且，即，
即，④正确；
综上所述正确的个数为，
故选：B.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 已知圆，直线．
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）直线与圆交于、两点，弦长求直线的方程
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列出等式求解即可；
（2）由弦长求得圆心到直线的距离，进而可求解；
【小问1详解】
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：，
所以直线的方程：
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
则，
所以，
所以，解得：，
所以直线的方程：
18. 已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）不能，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果.
（2）利用点差法计算直线方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点.
【小问1详解】
由题意得，椭圆焦点坐标为.
∵双曲线渐近线方程为，
∴，解得，
∴双曲线C的标准方程为.
【小问2详解】
假设点N能是线段的中点，设，则，
由得 ，
∴，
∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即，
由得，
∵，∴直线与双曲线无交点，
∴点N不能是线段的中点.
19. 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）．考察范围到A、B两点的距离之和不超过10km的区域．
（I）求考察区域边界曲线的方程：
（II）如图4所示，设线段是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍．问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？
【答案】（I）；（II）5年
【解析】
【详解】解：（I）设边界曲线上点的坐标为，则由知，
点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，此时短半轴长为，
所以考察区域边界曲线(如图)的方程为为.
（II）易知过点的直线方程为，因此点到直线的距离为
设经过年，点恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得
，
解得，即经过5年，点恰好在冰川边界线上.
20. 已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中.
（1）求椭圆方程；
（2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围；
（3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，T点纵坐标的取值范围为
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.
（2）设，由，得到，再利用即可得到结果.
（3）设该直线方程为：，设，，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示，再根据可求的t范围.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率为，
所以，即，其中c为半焦距，，则，
所以，，，
，解得，
故，，故椭圆方程为.
【小问2详解】
设，由，有，
故而，所以，
所以.
又，所以的取值范围是.
【小问3详解】
①若过点的动直线的斜率不存在，
则，或，，此时.
②若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，，，，
化简整理可得，
故，
，.
，，
故
.
恒成立，故，解得，
若恒成立.结合①②可知，.
故T点纵坐标的取值范围为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.
21. 矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点.
（1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标；
（2）双曲线在矩阵作用下变换成新的双曲线，且双曲线可以成为函数的图象，求出一个满足条件的矩阵，并写出对应转化后函数的方程.
（3）圆锥曲线经过矩阵变换成标准方程，求出变化矩阵，并判断该曲线的形状.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设点，根据变换可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标；
（2）不妨设矩阵为，设点在双曲线上，点在矩阵的变换后的点为，根据矩阵变换得出，代入，可得出，取，代入曲线方程化间即可；
（3）设矩阵为，可得出，代入曲线方程，化简可得出，取，化简即可得解.
【小问1详解】
设点，平面上的点在矩阵的作用下变换成点，
则，解得，即点.
【小问2详解】
不妨设矩阵为，
设点在双曲线上，点在矩阵的变换后的点为，则点在函数的图象上，
则，
所以，，解得，
因为点在双曲线上，则，
即，
整理可得，
因为方程表示为一个函数，
则，不妨取，
则曲线方程为，变形可得.
小问3详解】
不妨设矩阵为，
设点在双曲线上，点在矩阵的变换后的点为，
则，
所以，，解得，
因为点在曲线上，则，
即，
化简得，
若圆锥曲线经过矩阵变换成标准方程，则，
不妨取，则变换后的曲线方程为，
化为标准方程即为，该曲线为椭圆.