广西南宁市四校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广西南宁市四校联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，四象限，如图所示，，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑）
1. 以下四个选项表示某天四个城市的平均气温，其中平均气温最低的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据有理数比较大小的方法，可得，
∴平均气温最低的是，
故选：.
2. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现，在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，不是中心对称图形，不符合题意；
B，不是中心对称图形，不符合题意；
C，不是中心对称图形，不符合题意；
D，是中心对称图形，符合题意；
故选：D.
3. 年国庆期间，南宁方特共接待游客约人次，数字用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
4. 如图，在中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴
故选：C
5. 在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在英语单词中任意选出一个字母，选出的字母为的概率为，
故选：.
6. 如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是，
故选：C.
7. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用，表示教学楼，，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成( )

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示：实验楼的位置可表示成.
故选：D.

8. 已知点，均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】反比例函数中，，
∴反比例函数图象第二、四象限，如图所示，
∴在每个象限中随的增大而增大，
∵，
∴，
故选： A.
9. 如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由勾股定理得，圆锥的母线长为，
∵圆锥的底面周长为，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，
∴圆锥的侧面积为：.
故选：C.
10. 如图，线段是的直径，于点E，若，，则的长是（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】A
【解析】如图，连接，
线段是的直径，于点E，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A.
11. 商场某种商品平均每天可售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件.若商场销售该商品日盈利要达到元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价元，依题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元，
∴销售件数：件，
∵每件盈利元，每件商品降价元，
∴降价后的每件的盈利为元，
若商场销售该商品日盈利要达到元，
∴，
故选：.
12. 如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
取中点G，连接，当过点G时，有最小值，

又∵按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴此时也取最小值，
∵，为的半径，即，
∴此时，
∴，
即的最小值为，
故选：B.
二、填空题（本大题共6小题，每题2分，共12分）
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____.
【答案】
【解析】式子在实数范围内有意义，
.
.
故答案为：.
14. 比较大小：________3（请填写“”、“”或“”）.
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：.
15. 半径为的圆中的圆心角所对的弧长为__________.
【答案】
【解析】半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为：
（），
故答案为：.
16. 如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，，__________.
【答案】
【解析】∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
17. 如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为______.
【答案】
【解析】如图，连接，.
∵为直径，
∴.
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分面积=
.
故答案为：.
18. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线.点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为.那么投掷距离为______.
【答案】4
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴投掷距离为；
故答案为：4.
三、解答题（本大题共8小题，其中19，20题每题6分，其余每题10分，共72分）
19. 计算：
解：
.
20. 解方程：.
解：，
，
或，
或.
21. 为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动.从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：
七年级：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年级：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；
（2）若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；
（3）根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率.
解：（1）将七年级这10名学生成绩按从小到大排列为：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，处在中间的两个数为89，89，故中位数为；
八年级这10名学生成绩出现次数最多的是94，故中位数为94；
（2）（名），
故估计八年级400名学生中有名学生能达到优秀等次；
（3）令七年级的两名学生为、，八年级的两名学生为、，
列表得：
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到一名七年级学生和一名八年级学生的情况有种，
故抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率为.
22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）将绕点O顺时针旋转得到，作出并写出点的坐标；
（2）关于原点对称的中心对称图形为，作出并写出点的坐标.
解：（1）如图，即为所求.
由图可得，点的坐标为.
（2）如图，即为所求.
由图可得，点的坐标为.
23. 综合实践
解：任务一：由题意得抛物线的顶点为，
∴设抛物线的解析式为，
又∵抛物线过，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
任务二：当时，即，
解得：，
∴的横坐标分别为，，
∴，
答：两灯间的水平距离为.
24. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径.
（1）证明：连接.
∵，
∴.
∵于点E，
∴.
∴.
∴
∵，
∴.
∴.
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：设的半径为，
因为，
所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
，
所以的半径为.
25. 图中有一面墙（可利用的最大长度为），现打算用栅栏沿墙围成一个面积为的长方形花圃.设花圃与墙平行的一边栅栏长，与墙垂直的一边栅栏长为.
（1）求关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
（2）若栅栏总长度为122米，求的长；
（3）若想使花圃是与墙垂直的一边的7.5倍，则花圃需要栅栏多少米？
解：（1）∵设花圃与墙平行的一边长，与墙垂直的一边长为，面积为，
∴
∴
∵可利用的最大长度为
∴
∴关于的函数表达式为；
（2）∵栅栏总长度为122米
∴
整理得，
解得或120（舍去）
经检验，符合题意
∴；
（3）∵使花圃长是宽的倍
∴
∴代入得，
∴
∴或（舍去）
∴
∴
∴花圃至少需要栅栏米.
26. 问题情境：已知正方形，E是对角线上任意一点.
（1）发现：如图1，若连接，则线段与的数量关系为_______.
（2）探究：如图2，经过点B作，与的延长线交于点F，与交于点G.
①判断的形状并说明理由；
②连接，若G是的中点，且，，直接写出线段的长.
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①为等腰三角形；理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
②过点F作，
∵，
∴，
∵，点G为的中点，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：.
草莓种植大棚的设计
生活
背景
草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构.如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间.
建立
模型
如图，已知某草莓园的种植大棚横截面由抛物线和矩形，其中点为抛物线的顶点，大棚最高处离地面，宽，.现以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
任务一
求抛物线的解析式.
任务二
已知，照明灯到地面的距离均为，求灯之间的水平距离.