四川省巴中市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷（解析版）

这是一份四川省巴中市普通高中2025届高三一诊考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数z在复平面内满足，则复数z对应的点的集合所形成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合复数的几何意义，即可求解．
【详解】由，可知在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形为以为圆心，1为半径的圆环及内部，
故在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】，得或，即或，
，得，
所以或，，
故选：C
3. 设，则“是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】若，则；若，则，即“”是“”的既不充分也不必要条件、
故选：D.
4. 已知向量，，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的垂直关系写出等式，再化简 计算求解参数的值.
【详解】
，即， ，
得：，整理得，，所以选项A正确.
故选：A.
5. 若函数奇函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 无解
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数定义，列出等式，即可得到结果.
详解】解：根据题意，函数，则，
若为奇函数，则，
即，a的值不是常数，即无解．
故选：D
6. 已知为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 56B. 60C. 64D. 68
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列前n项和公式求解．
【详解】解：设等差数列的首项为，公差为d，由为等差数列的前n项和，，，
，解得，，
则
故选：B
7. 已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知三棱锥的外接球的球心O在过M且垂直平面PAB的垂线上，设球心O到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，再根据勾股定理，建立方程，即可求解．
【详解】如图，设PM的中点为N，则由平面PAB，可知，
又，，所以，所以，
所以，
又三棱锥的外接球的球心O在过M且垂直平面PAB的垂线上，
设球心O到平面PAB的距离为t，球O的半径为R，
则，解得，
所以，
所以球O的表面积为
故选：B
8. 已知函数则方程实数根的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 10D. 11
【答案】D
【解析】
【分析】令，则有，解得，，，，再结合函数的图象，分别求出的解的个数，即可得答案．
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：
令，
则有，
易得此时有4个解，分别为，，，，
结合图象可得：
当时，即，此时有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
所以原方程共有个解．
故选：D
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，画出函数图象，结合图象求解.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 回归直线过样本点的中心，且至少过一个样本点
B. 两个变量相关性越强，则相关系数越接近
C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变
D. 将个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变
【答案】CD
【解析】
【分析】根据线性回归方程的性质可判断A，根据相关系数的性质可判断B，根据方差的性质可判断C，根据中位数的定义可判断D.
【详解】对于A选项，回归直线过样本点的中心，但是不一定过样本点，故A错误；
对于B选项，两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近，故B错误；
对于C，由方差的性质可知，将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数，则其方差不变，故C正确；
对于D，将个数的一组数去掉一个最小和一个最大数，则中位数不变，故D正确．
故选：CD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是的对称轴B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减D. 在点处的切线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】化简可得，再根据余弦函数的性质逐项分析判断即可．
详解】，
对于A，由于，则不是的对称轴，故A错误；
对于B，函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，当时，，
由余弦函数的性质可知，在区间上单调递增，故C错误；
对于D，，，则在点处的切线方程为，故D正确．
故选：BD
11. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率分别是，则（ ）
A. 以为直径的圆与轴相切；
B.
C.
D. 分别过两点作抛物线的切线相交于点，则点在上.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意作图，对于A，由梯形中位线得性质以及抛物线的性质，可得其正误；对于B，设出直线方程，并联立抛物线方程，写出韦达定理，结合抛物线的定义，整理可得其正误；对于C，由选项B的韦达定理，结合斜率公式，可得其正误；对于D，对抛物线函数求导，由选项B的两个点的坐标，写出切线方程，联立求交点，可得其正误.
【详解】由题意，取的中点为，分别过作准线的垂线，垂足分别为，如下图：
对于A，由抛物线，则，焦点，准线，
易知以为直径的圆的圆心为，半径，
由图可知，
由圆心到轴的距离，则圆与轴相切，故A正确；
对于B，由题意易知直线的斜率存在，则设直线方程为，
联立可得，消去可得，
由，设，则，，
，
，
由A选项的图中可知，，
所以，故B正确；
对于C，由选项B可知，故C错误；
对于D，由题意作图如下：
由，求导可得，由选项B，可得直线的斜率分别为，
所以直线的方程分别为，，
联立，两个方程分别乘可得
消去可得，由在直线上，
则，
化简可得，由，，
则，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系式即可求解的值，进而利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解的值．
【详解】解：因为，所以，
则
故答案为：
13. 除以7的余数为______．
【答案】1
【解析】
【分析】由，利用二项式定理展开计算即可．
【详解】解：因为
，
除以7的余数是
故答案：
14. 已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过作平分线的垂线，垂足为若，则离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线及其垂线的特征得到、的长度，再根据余弦定理和三角形三边的关系求出双曲线离心率的取值范围．
【详解】根据题意作图如下：
连接，设平分线的垂线交于点N，
因为角平分线，所以三角形为等腰三角形，，且M为中点，
因为，所以，即，
因为O为中点，M为中点，所以，
又，，
在三角形中，，
在三角形中，，
因为，所以，即，得，所以，
又在三角形中，由三角形的三边关系，有，即，解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 甲乙两人进行投篮比赛，要求各投篮2次．已知甲乙两人每次投中的概率分别为，，且每人每次投中与否互不影响．
（1）求“甲第一次未投中，乙两次都投中”的概率；
（2）求“乙获胜”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，设“甲第一次未投中，乙两次都投中”，易得，由相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）设“乙获胜”，则，由互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得答案．
【小问1详解】
根据题意，设“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，
设“甲第一次未投中，乙两次都投中”，则；
【小问2详解】
设“乙获胜”，则，
故
16. 已知数列的通项公式为
（1）求证：；
（2）令，证明：
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用函数的单调性和放缩法求出结果；
（2）利用对数的运算和相消法的应用求出结果．
【小问1详解】
数列的通项公式为，由于函数为单调递增函数，故，
所以
【小问2详解】
由，
所以，
因为，
当时，，
故当时，
.
综上可知，
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）若，平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直．请证明；如果不垂直，请说明理由．
（2）若底面ABCD为正方形，当平面AEF与平面PCD夹角为时，求的值．
【答案】（1）平面平面PBC；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证平面PBC，再利用面面垂直得判定定理即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面AEF与平面PCD的法向量，利用向量法求解即可．
【小问1详解】
平面平面PBC，
理由如下：
证明：平面ABCD，平面ABCD，
，又，而，平面PAB，
平面PAB，平面PAB，
，
，E为PB的中点，
，而，且平面，
平面PBC，平面AEP，
平面平面PBC；
【小问2详解】
由底面ABCD为正方形及底面ABCD，，AD，AP两两垂直，
以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，，，
设，
设平面AEF的法向量为，，，
则：，
取，则，，
得，
设平面PCD的法向量为，，，
则，
取，则，，
得，
则，
解得，
即
18. 已知函数
（1）求函数的极值；
（2）求证：当时，；
（3）若，其中，讨论函数的零点个数．
【答案】（1），无极大值
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】对求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的极值；
不等式等价于，，令，，利用导数证明即可；
讨论的零点个数问题，先对x分类讨论去绝对值，易得在上总有唯一的零点；当时，对求导，再对t分类讨论，结合导数知识及零点存在性定理判断即可．
【小问1详解】
，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，无极大值．
【小问2详解】
证明：原不等式等价于：，，
即，，
令，，下证：，
则，设，则，等号当且仅当时成立，
所以在上单调递增，，等号当且仅当时成立，
所以在上单调递减，，即原不等式成立．
【小问3详解】
等价于的零点个数问题：
①当时，，显然在上单调递增，
又，he−1=e−2>0，所以在上总有唯一的零点；
②当时，，
则，
Ⅰ若，则在上恒成立，在上单调递增，
hx>he−1=e−2>0，在上无零点；
Ⅱ若，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，令，得
若，则h(x)min=ht>0，hx在上无零点；
若，则在上有唯一零点；
若，则，又he−1=e−2>0，
又由知，得，得，
由零点存在性定理可知，在，上各有一个零点．
综上所述：当时，有一个零点：当时，有两个零点；当时，有三个零点．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，函数零点个数的判断，去绝对值分类讨论是关键.
19. 已知双曲线：与曲线：有4个交点A，B，C，按逆时针排列
（1）若方程有4个实数根，，，证明：
（2）设O为坐标原点，证明：为定值；
（3）求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，展开整理，对比系数即可得证；
（2）由题意整理出关于x的方程，得出，，代入，即可求解；
（3）按点O的位置，分O在内部和当O在外部时两个情况，根据面积关系结合基本不等式即可得证．
【小问1详解】
由题意可得：
，
对比系数得：，.
【小问2详解】
由，得，
平方得，
将代入，化简得，
设，，，，
由（1）知，，
且，，，，
所以
【小问3详解】
记，，，，
当O在内部时，设，，，，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
此时，
当且仅当时，等号成立，
可得，
当且仅当四边形ABCD为正方形，等号成立；
当O在外部时，设，，，，
可得
，
当且仅当时，等号成立，
可得；
综上所述：四边形ABCD面积最大值为
【点睛】关键点点睛：（3）中解题的关键在于讨论点O的位置，分O在内部和当O在外部时两个情况.