湖北省新高考联考协作体2025届高三下学期高考模拟（一）数学试卷（解析版）

这是一份湖北省新高考联考协作体2025届高三下学期高考模拟（一）数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知数列满足， 已知函数，，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合函数的最小正周期不小于，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数周期公式求出集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解.
【详解】依题意，，解之得，则集合；
，解之得，则集合，
所以.
故选：A
2. 已知等差数列的前项和为，且满足，，等比数列的前项和为，且满足，，则的值为（ ）
A. 42B. 62C. 63D. 126
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的基本量运算求得其通项公式，再求等比数列的通项公式，最后利用求和公式计算即可.
【详解】由，得，，故；
由，得，，
故；
故，
故选：D
3. 已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“，平行”是“m，n不相交”的（ ）
A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】直接分析，由当，平行时，直线m，n无公共点，则m，n不相交，可得充分性，当m，n不相交时，若， ，则满足题设条件，但不能推出，平行，说明直线m，n不相交不能推出，平行.
【详解】当，平行时，由，可知直线m，n无公共点，则m，n不相交，故为充分条件；
当m，n不相交时，满足，，，，则满足题设条件，但不能推出，平行，说明直线m，n不相交不能推出，平行；
故选：B.
4. 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得焦点坐标，然后根据双曲线的知识求得，进而求得双曲线的离心率.
【详解】由得，所以抛物线焦点为；
故在双曲线中，，，，故，
所以双曲线离心率.
故选：D
5. 复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方，乘除运算法则得到，从而得到，得到答案.
【详解】，，
由得，，
，
故.
故选：A
6. 若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ）
A. -24B. 24C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件可判断为直角三角形，从而求得的值.
【详解】令，，则，
则由及,
在中，，，，
由正弦定理：,解得,故得为直角三角形，
且，所以.
故选：D
7. 已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（ ）
A. 27B. 26C. 25D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意有且，根据递推公式有，两式相减有得，即数列是周期为3的周期数列，根据条件③即可求解.
【详解】依题意且，则，
相减得，故，
因为，所以，故
故数列是周期为3的数列，由，及可得，
所以
，
故选：C.
8. 罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为的函数的导函数记为，且函数满足条件①在闭区间上连续；②在开区间内可导；③.那么至少存在一个使得.已知函数，在区间内有零点，其中，是自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由和，根据罗尔中值定理可知，存在，，使，，故在上至少有两个不等实根，令，分类讨论函数零点个数，从而得解.
【详解】依题意设在区间内的零点为，则有,
由罗尔中值定理可知，存在，使，
同理，由及罗尔中值定理可知，存在，使，
故在上至少有两个不等实根，
令，
则，显然在上单调递增,
当，时，，此时在上单调递增，
故在上至多只有一个实根；
同理可知，当，时，，此时在上单调递减，
故在上至多只有一个实根；
当时，令，可得，
易知，且在上单调递减，在单调递增，
故当且时，；
又，
故，
则由零点存在性定理知，故.
故选：D
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，，则（ ）
A. 函数的图象关于原点对称；
B. 函数的图象关于轴对称；
C. 函数为单调减函数；
D. 曲线在点处的切线斜率为；
【答案】AD
【解析】
【分析】根据奇函数的定义判断A，B，特殊值法计算判断单调性判断C，求导函数再代入求值即可得出斜率判断D.
【详解】由得，
所以函数为奇函数，故正确，错误；
，故不是减函数，故C错误；
又，所以，故D正确.
故选：AD.
10. 天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（ ）
A. 函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4
B. 三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2
C. 数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4
D. 立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6
【答案】AC
【解析】
【分析】根据中位数、极差、平均数、众数、方差、百分位数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分，
则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4，
则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立，
所以函数内容每一道题失分都不超过7分，
故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确；
对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8，
满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件，
由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误；
对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为
，
则由平均数为3，方差为2.4可知，，
从而，若，则，
所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确；
对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12，
满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件，
由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误；
故选：AC
11. 有形状、质量完全相同的个不同白色小球，另有一个红色小球与每一个白色小球仅有颜色差异，将这个红色小球命名为“2025幸运星球”，将这个小球装在一个盒子里，并随机摇动放匀，则下列说法正确的是（ ）
A. 从盒子里任取3个小球，“2025幸运星球”被选中概率为；
B. 从盒子里任取3个小球，记事件“2025幸运星球’被选中”；事件“取得的3个小球都是白色球”，则事件为对立事件；
C. 当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为171；
D. 当时，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，甲、乙、丙三个盒子里装有小球的个数分别记为x，y，z，则有序数组的个数为231；
【答案】ABC
【解析】
【分析】应用组合数结合古典概型计算判断A，结合对立事件定义判断B，应用隔板法结合组合数计算判断C，D.
【详解】依题意知：盒子中共有个小球，从中任取3球的取法总数为，
“2025幸运星球”被选中取法总数为，所以“2025幸运星球”被选中的概率为，故A正确；
事件“取得的3个小球都是白色球”，即取得的球中没有“2025幸运星球”，所以事件A，B为对立事件，故B正确；
依题意，把这20个小球分别装进甲、乙、丙三个不同的盒子里，每个盒子至少装1个小球，
所以有序数组的个数等于不定方程的非负整数解个数，
相当于在17个小球摆成一排所形成的18个空位中放入两块隔板，
两块隔板可以占一个空位，也可以占两个空位，
故隔板方法总数为，故C正确，D错误；
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知在，的展开式中，有且只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为_____
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】依题意可知，
的展开式通项为，
令，则，故的系数为.
故答案为：.
13. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则_____
【答案】
【解析】
【分析】由得，利用正弦定理得，再由余弦定理即可求解，利用同角三角函数的基本关系即可求解，最后由正弦定理即可求解.
【详解】解析：由得，
由正弦定理可变为，
则，故，又由余弦定理有
，
由正弦定理有，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数定义域为，值域，且满足：，恒有，则_____
【答案】1或2025##2025或1
【解析】
【分析】根据已知条件中函数满足的等式关系，通过合理赋值来逐步推导求解.
【详解】显然，函数满足题设要求，此时；
当函数不是函数，
则存在使得，其中，，
从而有，
又，
故，所以①
故
所以②
由①式得，又，故③
由②③式得，
故
综上可知或2025.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是通过合理赋值来逐步推导求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，
（1）若，求的值；
（2）若，求值域和单调递增区间.
【答案】（1）
（2）值域为，，.
【解析】
【分析】（1）根据题意，，结合诱导公式，即可求解；
（2）根据三角函数恒等变换得，结合正弦函数的性质求解.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，
故；
【小问2详解】
因为，
所以
，
所以的值域为，
令，
解之得，
所以的单调递增区间为，.
16. 在如图所示的七面体中，平面，.
（1）若四边形是菱形，求证：；
（2）若四边形是正方形，，求平面和平面所成锐二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案.
【小问1详解】
证明：连接，则由四边形为菱形可得，
因为平面，平面，所以，
因平面，所以平面，
由于平面，所以.
小问2详解】
因为四边形是正方形，平面，
所以以点为原点，以直线为轴，以直线为轴，以直线为轴，建立空间直角坐标系.
因为，
则，，，，
所以，，，
设向量是面的一个法向量，则，即，
变形得，令，则，
显然，是面的一个法向量，故平面和平面所成锐二面角满足：
，
则，故.
17. 已知椭圆的长轴长为4，焦点为，，过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，当直线垂直于椭圆长轴时，线段的长度为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线倾斜角为时，求以线段为直径的圆的标准方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的性质，求出，；
（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理找出中点和弦长，用圆的标准方程求解即可.
【小问1详解】
证明：依题意，故，则椭圆方程为，
设，则直线的方程为，代入得，
则，，
则，，
则，
又线段的长度为1
则，故椭圆方程为.
【小问2详解】
由（1）知，又直线倾斜角为
故直线的方程为，代入并整理得
，
设，，则，，
故，
故以线段为直径的圆的圆心为，半径为，
故所求圆的标准方程为.
18. 已知为自然对数的底数，函数满足：，，函数，
（1）求函数的极值点和极值；
（2）求解析式；
（3）若在上单调递增，求实数的最大值；
（4）求证：，.
【答案】（1）极小值点0，极小值1，无极大值点和极大值；
（2）
（3）；
（4）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数来求得函数的极值点和极值.
（2）根据求得的解析式.
（3）由的单调性列不等式，由此求得的最大值.
（4）先证得，利用赋值法来求得正确答案.
【小问1详解】
因为，所以，
故当时，，当时，，
故函数在递减，在递增，
所以函数有一个极小值点0，极小值，无极大值点和极大值；
【小问2详解】
由得，又，故
所以
【小问3详解】
由得，
因为在上单调递增，所以，
即对恒成立
故，所以实数的最大值为；
【小问4详解】
由（3）知：当，时，
故在上单调递增，所以，即
所以，即，①
在①式中分别令，
相加得
【点睛】方法点睛：
（1）求函数极值的一般方法是先对函数求导，根据导数的正负确定函数的单调性，导数为0的点（且两侧导数符号不同）即为极值点，将极值点代入函数可求出极值.
（2）已知函数的导数求原函数，可通过积分运算（对于基本函数形式）得到含有常数项的原函数，再利用已知条件确定常数项的值.
（3）对于函数单调性与参数的问题，可通过求导，根据函数单调递增则导数大于等于0（单调递减则导数小于等于0）建立关于参数的不等式，通过求函数的最值来确定参数的取值范围.
（4）证明数列和的不等式时，可先根据已知条件得到函数的不等式关系，然后通过赋值相加，再利用放缩法（如将平方项放缩为裂项形式）和裂项相消法等方法进行化简和证明.
19. 随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的取值，其中为正整数，且可以由关于该健康指标的专门体检数据推算，具体方法为：某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合，重复的数据只能用一次，且，设集合中最小的元素为，最大的元素为，然后由随机变量u，v的值计算有关的概率或期望等数据，以此推算集合中对应的值，从而对该项健康状况作出评价，以此指导体检人选择有利于该项指标保持正常的健康生活方式，当正整数时，该项健康状况为正常.
（1）若，试用表示符合条件的集合的个数；
（2）若的概率，求值；
（3）①当时，求，的概率；
②记随机变量是随机变量u，v的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，随机变量的期望为12，试问：小帅的该项健康状况是否正常?请说明理由.
【答案】（1）
（2）；
（3）①；②不正常，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数，从而可求出答案；
（2）由题意得，然后列方程求解即可；
（3）①由题意可知集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7，从而可求出符合条件的集合的个数，进而可求出；②由题意得，然后根据期望的定义求解化简，再由求出进行判断即即可.
【小问1详解】
由及知符合条件的集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数，
等于；
【小问2详解】
依题意
又，故
解之得；
【小问3详解】
①当，且，时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7，
故符合条件的集合的个数为，
所以
②易知
又的可能取值为，，…，，，，…，，，，…，，…，，
故
又随机变量是随机变量的等差中项，故
所以
依题意，故，则，
所以小帅的该项健康指标不正常.
【点睛】关键点点睛：此题考查集合的有关知识，考查概率的求解，考查随机变量期望的计算，第（3）问解题的关键是根据期望的定义正确化简计算，考查计算能力，属于难题.