2024-2025学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系O−xyz中，点A(2,3,−1)关于平面xOy的对称点B为( )
A. (−2,3,−1)B. (2,3,1)C. (2,−3,1)D. (−2,3,1)
2.①在一次满分为100分的测试中，有12人的成绩在90分以上，30人的成绩在60～80分，12人的成绩低于60分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( )
A. 分层抽样，简单随机抽样B. 简单随机抽样，简单随机抽样
C. 简单随机抽样，分层抽样D. 分层抽样，分层抽样
3.过点(3,2)且垂直于直线x−2y+1=0的直线方程为( )
A. 2x−y−4=0B. 2x−y+4=0C. 2x+y−8=0D. x−2y+4=0
4.抛掷三枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”，事件C=“第三枚硬币反面朝上”.下列结论中正确的是( )
A. A与B互斥B. A与C对立
C. P(B∪C)=78D. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
5.已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P点在线段MN上，且MP=2PN，设OA=a，OB=b，OC=c，则OP=( )
A. 16a+16b+13cB. 13a+13b+13c
C. 16a+13b+13cD. 13a+16b+16c
6.已知M(0,−4)，Q是圆C：x2+(y−4)2=100上一动点，线段MQ的垂直平分线交线段CQ于点P，则动点P的轨迹方程为( )
A. y225+x216=1B. y225−x29=1C. y225+x29=1D. y225−x216=1
7.将正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，设AB，CD两边的中点分别为M，N，则直线MN与AC所成角的余弦值为( )
A. 12B. 63C. 35D. 32
8.哈希表(Hasℎ Table)是一种利用键值的映射关系，将数据存储在特定位置的数据结构.常用的方法之一是“除留余数法”.例如，当除数为3时，键值为13的数据因13÷3余1，应存放于位置1中，从而可直接依据键值快速定位数据位置，多个数据可映射到同一位置(如键值10和13均映射到同一位置).现有一个容量为7个位置(编号0～6)的哈希表，以除留余数法(除数为7)进行映射，需要存储22个数据.设这7个位置存放的数据个数分别为a0，a1，a2，a3，a4，a5，a6，则下列说法中正确的是( )
A. 至少有1个位置存放了不少于5个数据
B. 若这22个数据的键值恰好是0～44间的所有奇数，则a0～a6的中位数为2
C. 若a0～a6的方差为s2，则s2的最小值为0，最大值为290449
D. 若a0～a6的极差为5，则最多有2个位置没有存放数据
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−1,0,1)，B(2,1,1)，C(0,−1,1)是空间中的三个点，则( )
A. 向量AB的模长为4
B. 直线AB的一个方向向量为(6,2,0)
C. 向量AB在向量AC方向上的投影向量为(2,−1,1)
D. 若D(1,0,1)，则A，B，C，D四点共面
10.已知点P(x0,y0)是圆C：(x−3)2+y2=4上任意一点，直线l：x+y+1=0，A是直线l上一点，则( )
A. P不可能是直线l与圆C的公共点
B. 圆C上有3个点到直线l距离为1
C. 若直线AP与圆相切，则|AP|长度的最小值为2
D. x0+y0的取值范围是[3−2 2,3+2 2]
11.过点M(m,0)(m>0)的直线l1与抛物线E：y2=4x交于A，B两点(A在第一象限)，过A作直线l2与抛物线E的另一交点为D，直线l2与x轴交于点N(n,0)(n>m,B,D均在第四象限)，直线l1与直线l2的斜率分别为k1，k2，则( )
A. 若m=2，且k1=1时，则|AB|=16
B. 若m=4时，点O在以AB为直径的圆上
C. △MNB与△MND的面积之比为m：n
D. 若点A(1,2)，且k1+k2=4，直线BD过定点(0,−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l：x−2y+3=0平分圆C：x2+y2−ay−3=0的周长，则实数a= ______．
13.甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制(无平局情况)，则乙通过前两局就获胜的概率为______．
14.已知过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点F的直线l，与C的左，右两支分别相交，且这两个交点的中点为M，满足|OM|=|OF|(O为坐标原点).若直线l的斜率为−12，则该双曲线的离心率e= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～650kW⋅ℎ之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值及这100户的用电量的平均数；
(2)电力公司拟对用电量超过M(kW⋅ℎ)的家庭的电器进行检测，若M恰好为第71百分位数，求M．
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(3,4)，C(6,5)，D(6,−5)四点都在圆E上．
(1)求圆E的方程；
(2)已知O为坐标原点，点M(3,0)，圆E上是否存在点N，满足|ON|=2|MN|？若存在求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
17.(本小题15分)
骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5，6．
(1)先后抛掷骰子两次，记A=“两次点数之和大于9”，求事件A的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，在第n(n=1,2)关要抛掷骰子n次，记录每次向上的点数，如果这n次抛掷所得的点数之和不小于M，且M=3n−n(n=1,2)，则算闯过第n关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由．
18.(本小题17分)
如图所示的四棱锥E−ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC=AD=2，CD=2 2，且AE=BE=2 3，AD⊥AE．
(1)求证：CE⊥平面ABCD；
(2)若M为AE的中点，求点M到直线BC的距离；
(3)若N为棱DE上的一点，且满足直线AN与平面ACE所成角的正弦值为 1313，求二面角E−AC−N的平面角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知过点P(1,0)的直线l与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于不同的两点M，N，椭圆C的离心率e= 32，且当l⊥x轴时，|MN|= 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若|PM|⋅|PN|=32，求直线l的方程；
(3)设椭圆C的左，右顶点分别为A，B，点Q为椭圆C1：x22a2+y22b2=1上任意一点，且直线QA，QB分别交椭圆C于S，T两点，求△OST面积的最大值．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.D
5.C
6.C
7.B
8.D
9.BD
10.ACD
11.BCD
12.3

14. 153
15.解：(1)根据题意可得(0.0012+0.0018+0.003+a+0.0012+0.0006)×100=1，解得a=0.0022；
这100户的用电量的平均数为100×0.12+200×0.18+300×0.3+400×0.22+500×0.12+600×0.06=322；
(2)∵前几组的频率依次为0.12，0.18，0.3，0.22，
根据题意可得第71百分位数M为350+0.71−0.12−0.18−，
故M=400．
16.解：(1)A(1,0)，B(3,4)，C(6,5)，D(6,−5)四点都在圆E上，k在圆的圆心在x轴上，
AB的中点坐标(2,2)，中垂线的斜率为−3−14−0=−12，中垂线方程为：y−2=−12(x−2)，即x+2y=6，
可得圆的圆心(6,0)，圆的半径为5，圆E的方程：(x−6)2+y2=25．
(2)O为坐标原点，点M(3,0)，满足|ON|=2|MN|，设N(x,y)，可得x2+y2=4(x−6)2+4y2，
即(x−4)2+y2=4，它的圆心(4,0)，半径为2，圆E的方程：(x−6)2+y2=25的圆心(6,0)，半径为5，
两个圆的圆心距为6−4=2