2024-2025学年湖北省十堰市六县市区一中教联体高二下学期3月联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖北省十堰市六县市区一中教联体高二下学期3月联考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知在等差数列{an}中，a4+a8=20，a7=12，则a5=( )
A. 4B. 6C. 8D. 10．
2.设m，n为实数，若直线mx+ny+2=0与圆x2+y2=4相切，则点Pm,n与圆的位置关系是( )
A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定
3.在等比数列an中，a2,a6是方程x2−8x+m=0两根，若a3a5=3a4，则m的值为( )
A. −9B. −3C. 3D. 9
4.已知f′x是函数fx的导函数，且fx=2f′1lnx+1x，则f′1=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
5.已知等差数列{an}的首项为1，且a3，a5+1，2a6成等比数列，则数列{(−1)nan}的前2025项和为( )
A. −1013B. −505C. 505D. 1013
6.已知椭圆C：x24+y23=1，直线l：x+y+3 7=0，若点P为C上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为( )
A. 7B. 14C. 2 7D. 2 14
7.已知函数f(x)=−x−1,x≤0lnx,x>0，若g(x)=f(x)−ax至少有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. 0,eB. 0,eC. 0,1eD. 0,1e
8.瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如图．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形(图①)的边长为1，记第n个图形的周长为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn>72成立的n的最小值为(参考数据：lg32≈0.63)( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某高校无人机兴趣小组通过数学建模的方式测得了自主研发的无人机在关闭发动机的情况下自由垂直下降的距离ℎ(单位：m)与时间t(单位：s)之间满足函数关系ℎt=2t2+2t，则( )
A. 在2≤t≤3这段时间内的平均速度为10m/s
B. 在2≤t≤3这段时间内的平均速度为12 m/s
C. 在t=4s时的瞬时速度为18 m/s
D. 在t=4s时的瞬时速度为16 m/s
10.已知等比数列an的公比为q，且a5=1，设该等比数列的前n项和为Sn，前n项积为Tn，下列选项正确的是( )
A. a3+a7≥2
B. 当q>1时，an为递增数列
C. Sn单调递增的充要条件为q>0
D. 当q>1时，满足Tn>1的n的最小值为9
11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2c，过点F2且斜率为−ba的直线l交C于点P，交C的一条渐近线于点Q，则( )
A. 若以F1F2为直径的圆经过点Q，则C的离心率为2
B. 若以F1F2为直径的圆经过点P，则C的离心率为2 2
C. 若QF2=2QP，则C的渐近线方程为y=±x
D. 若点P不在圆E:(x−c)2+y2=a24外，则C的渐近线的斜率的绝对值不大于1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n+a，则a3= ．
13.过点(3,5)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为__________
14.数列an：a1=1，an+1+(−1)nan=2n−1，则S44=_______
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数fx=x3+ax2+4x−3．
(1)若曲线y=fx在点1,f1处的切线与直线x+3y−2=0垂直，求a的值；
(2)若fx在0,+∞上单调递增，求a的取值范围．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，∠ABC=π2，AO=CO，PA=PB=PC．
(1)证明：OP⊥平面ABC；
(2)若PA= 2AB= 2BC，E是棱BC上一点且2BE=EC，求平面PAE与平面PAC的夹角。
17.(本小题12分)
森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.2020年12月12日，习近平主席在全球气候雄心峰会上通过视频发表题为《继往开来，开启全球应对气候变化的新征程》的重要讲话，宣布“…到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米…”.为了实现这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s万立方米(100)，使GM⊥HM．
设G−1,yG,H−1,yH，
由(1)知y1+y2=4m,y1y2=−4，
设直线AD，BD的斜率分别为k1,k2，
∵点D(1,2)，
∴k1=y1−2x1−1=y1−2y124−1=4y1+2，
同理k2=4y2+2．
直线AD的方程为y−2=4y1+2x−1，
令x=−1，得yG=2−8y1+2=2y1−2y1+2，
同理可得yH=2−8y2+2=2y2−2y2+2，
∴yG·yH=2y1−2y1+2·2y2−2y2+2=−4．
由GM⊥HM，
得GM·HM=0，
a+12+yG·yH=0，
即a+12−4=0，
解得a=1或a=−3(舍去)．
存在定点M，定点M的坐标为(1,0)．

19.解：(1)设等比数列{an}的公比为q>0，
∵2a5，a4，4a6成等差数列，
∴2a4=2a5+4a6，∴2a4=2a4(q+2q2)，
化为：2q2+q−1=0，q>0，解得q=12．
又满足a4=4a32，∴a1q3=4(a1q2)2，即1=4a1q，解得a1=12．
∴an=(12)n(n∈N∗)，
∵数列Sn的前n项之积为bn，
∴Sn=bnbn−1(n≥2)，
∴1Sn+2bn=bn−1bn+2bn=1(n≥2)，
即bn−bn−1=2(n≥2)，
∴bn是以2为公差的等差数列．
又1S1+2b1=1b1+2b1=1，即b1=3，
所以bn=3+2(n−1)=2n+1；
(2)由(1)得cn=bnan=(2n+1)⋅2n，
∴Tn=3⋅2+5⋅22+7⋅23+…+(2n+1)⋅2n，
2Tn=3⋅22+5⋅23+7⋅24+…+(2n+1)⋅2n+1，
两式相减得，−Tn=3⋅2+2⋅22+2⋅23+2⋅24+…+2⋅2n−(2n+1)⋅2n+1
=2+2(2−2n+1)1−2−(2n+1)⋅2n+1
=(1−2n)⋅2n+1−2，
∴Tn=(2n−1)⋅2n+1+2；
(2)dn=bn+2⋅anbn⋅bn+1=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅2n=1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n，
所以数列dn的前n项和
Mn=d1+d2+···+dn
=13×1−15×2+15×2−17×22+···+12n+1·2n−1−12n+3·2n
=13−1(2n+3)⋅2n，
又M1=730，Mn是单调递增，
所以730≤Mn