辽宁省抚顺市2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省抚顺市2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据可得，，即，解得，
即，故
故选：B
2. 已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为向量与的夹角为，，，
则，解得.
故选：C.
3. 已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点的坐标为，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】双曲线一个焦点的坐标为，可知双曲线交点在轴上，
所以，另一个焦点坐标为，
因为点在该双曲线上，根据双曲线定义可知：，
，，
所以，解得，又因为， 即，解得，
所以双曲线渐近线方程为.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，即，
整理可得，即，故，
则.
故选：A.
5. 函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
6. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ）
A. B.
C. D. 与的大小关系不确定
【答案】B
【解析】设截面与圆柱底面的距离为，
该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为，
由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为，
所以，圆环的面积为，故，
故选：B.
7. 如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，则，
设，则，，
在中，，，故，
由正弦定理可得，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，故.
故选：C.
8. 某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论：
若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，
此时有种不同的安排方式；
若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司，
此时有种不同的安排方式；
若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人，
此时有种不同的安排方式.
由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数满足，则（ ）
A. 为纯虚数B. 的虚部为
C. D. 和是方程的两个根
【答案】BC
【解析】因为，所以，
所以，，
所以，所以A错误，B正确；
，所以C正确；
因为，，所以，，
所以D错误.
故选：BC
10. 已知点P是抛物线上的一个动点，点F为抛物线的焦点，点Q是圆上的一个动点，直线l与抛物线交于M、N两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4
B. 过P作圆C的切线，切点为A，B，则的最小值是
C. 设线段的中点坐标为，则直线l的斜率与无关
D. 若直线l过点F，且，则直线l的斜率为
【答案】ABD
【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，半径，
对于A，，
过点P作垂直于直线，垂直为Q，由抛物线定义可知：
，三点共线时等号成立，
所以的最小值为4，故选项A正确；
对于B，设，则，
因为是圆的两条切线，切点为A，B，所以，
所以，故选项B正确；
对于C，设，则，两式作差，得，
又线段的中点坐标为，所以，
因此直线l的斜率为，故选项C错误；
对于D，设，由得，，
又，解得，所以或，
所以直线l的斜率为，故选项D正确.
故选：ABD.

11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（ ）
A. 的图象关于点对称B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称，
将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象，
则图象关于点中心对称，即①，故选项A正确；
选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误；
①②两式相加可得，，则
，，
则 ，故选项C正确；
对①②两式分别求导得，③，④，
③④两式联立可得，⑤，再将替换为，
得⑥，⑤⑥两式联立可得，，
则的周期为4，故，
在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 如图是年至年辽宁省普通高中应届毕业生人数的统计图，则这些年中应届毕业生人数的中位数是______万人．
【答案】
【解析】将数据由小到大依次排列为：、、、、、、、、，
因此，这组数据的中位数为.
故答案为：.
13. 已知函数定义域为，若有且仅有两个解，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，
由可得，可得，
即，则，
即方程在时有两个解，
因为，当时，，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为减函数，
由可得，即，
因为，则，所以，，解得.
对于、，当时都有，
不妨设，则，所以，函数在上为增函数，
则对任意的，，则，可得恒成立，
因此，所求不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
解：（1）由已知可得，
因为直线的斜率为，所以，所以．
令中得，故，
又，所以，所以．
（2）函数的定义域为．
由（1）知，，
令，解得或，
由得函数的单调递增区间为和；
由得函数的单调递减区间为
所以当时，函数取得极大值；
当时，函数取得极小值.
16. 已知为公差不为零的等差数列，，记、分别为数列、的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
解：（1）设数列的公差为，由，则，
即，解得，
所以．
（2）由可知，
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
综上所述，．
17. 在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点．

（1）求证：平面；
（2）若平面，求二面角的余弦值．
（1）证明：连接，取的中点，连接、，
结合已知可得且，
所以四边形为平行四边形，所以为中点，
因为为的中点，为中点，则，且，
因为为的中点，则，且，
则，且，故四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为，，为的中点，则，
又因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为，则，故，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的一个法向量为，
，，
由，令，则，，
可得平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，，
由，令，则，，
可得平面的一个法向量为，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为锐角，
所以，二面角的余弦值为.
18. 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，其中点A在x轴的上方．
（1）当时，求的值：
（2）将平面沿x轴折叠成直二面角，点A，B在折叠后分别到达点，位置．
（i）若，求k的值；
（ii）是否存在k，使得的周长为？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）设椭圆的半焦距为c，由已知可得且，
再由，可得，，所以椭圆的标准方程为，
由于直线过点且斜率为k，所以直线的方程为，
由消去y并整理得，
设，，则，，
当时，，
所以
又因为，所以．
（2）（i）以原x轴正半轴，y轴正半轴，y轴负半轴分别为折叠后的x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，则，，
若，则，所以，
所以，又因为，所以．
（ii）假设存在满足条件的k，因为，所以，
即①
所以，
所以②
由①，②可得，
所以，
所以，
解得，又因为，所以存在k使得的周长为，此时．

19. “分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为．
（1）若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望；
（2）若，，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
（3）该科技公司决定再购入台与（2）中完全相同的计算机组成新的分布式计算系统，请与（2）的分布式计算系统比较，判断新的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率是否有提升？
解：（1）由题意可知，，所以，，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
（2）设由台计算机组成的分布式计算系统中正常运行的计算机数为，则．
且，
由得，
其中，，
即，解得．
所以同时正常运行的计算机数最有可能是台或台．
（3）当分布式计算系统中计算机数量为时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于，
即至少台计算机同时正常运行．
当分布式计算系统中计算机数量为时，
若要完成一次“优质计算”，同时正常运行的计算机数应不小于，
即至少台计算机同时正常运行．
记台计算机正常运行的个数为，设，，，，且有．
则由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，
由台计算机组成的分布式计算系统完成“优质计算”的概率，
于是，
而，
故，即由台计算机组成的分布式计算系统完成一次“优质计算”的概率能得到提升．