贵州省安顺市2025届高三下学期3月联考数学试题（解析版）

这是一份贵州省安顺市2025届高三下学期3月联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以.
故选：C
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】复数，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 已知，角的终边过点，则（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】因为角的终边过点，所以，
所以.
故选：B.
4. 若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A. 2B. 4C. D. 12
【答案】B
【解析】由题意得，抛物线的焦点坐标为，
∴焦点到直线的距离，解得或（舍去），
∴.
故选：B.
5. 已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，向量在向量上的投影向量为，
∵，是夹角为的两个单位向量，
∴，
∴向量在向量上的投影向量为.
故选：A.
6. 已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】设切点坐标为.
∵，
∴，
则，
由②得，，代入①得，，
整理得，解得，故.
故选：A
7. 曲线与直线的交点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】，，
，
作出与的大致图象，易知共有3个交点.
故选：A.

8. 已知A，B是球O的球面上两点，且，C是该球面上的动点，D是该球面与平面交线上的动点，若四面体体积的最大值为，则球O的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设球的半径为，记的中点为，则，
易知，当点在的延长线上，且棱锥的高等于求的半径时，棱锥体积最大.
因为，所以，.
当点在的延长线上时，的面积最大，为，
四面体体积的最大值为，解得，
从而球的体积为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ）
A. 众数为6B. 平均数为7.6
C. 中位数为6.5D. 第72百分位数为10
【答案】AD
【解析】将数据按从小到大的顺序排列为，出现次数最多的数为6，故A正确；
平均数为，故B错误；
中位数为，故C错误；
∵，∴第72百分位数为从小到大排列的第8个数，即为10，故D正确.
故选：AD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B.
C. 在上单调递减D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】要使得函数有意义，则，解得且，所以的定义域关于原点对称，
且，从而是奇函数，A正确；
，B错误；
当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，C正确；
当时，，
在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
11. 记为等比数列的前项和，若，，则__________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，则，
所以，所以.
故答案为：
12. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为，连接，.
由题知，长轴长，
由双曲线定义知，，
则，
当P，D，三点共线时，取得最小值，
且最小值为.
故答案为：
13. 若关于的方程恰有一个实数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】令，作出的图象，如图所示.
由图可知，当时，只需当时，直线的图象恒在图象的下方，
此时令直线为曲线的切线，函数在时的解析式为，
则，所以，则的取值范围为；
当时，显然符合题意；
当时，只需当时，直线的图象恒在图象的上方，
此时令直线为曲线的切线，
函数在时的解析式为，则，
所以，则的取值范围为.
综上，实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
14. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，，求的面积.
解：（1）由，可得.
由余弦定理可知，所以，
又，所以.
（2）由，可知.
由正弦定理可知，所以，
因，所以，又，所以，
则.
又，
所以的面积为.
15. 如图，在三棱柱中，，平面平面.

（1）证明：.
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
（2）由（1）得平面，∵平面，∴，
∵，，∴.

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则，
令，则，故.
设直线与平面所成的角为，则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
16. 为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”4个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏（不同的经典故事不能搭配同一本名著）.规定：每答对1个经典故事的出处，可获得10分.
（1）小王同学的答题情况如图所示，
①求小王同学的得分；
②老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率
（2）小李同学将这4个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为X，求X的分布列与期望.
解：（1）①由图可知，小王同学答对1道试题，故他的得分为10分.
②经过老师的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，针对错误试题进行分析后，给出的答案可能为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，{（草船借箭，水浒传），（黛玉葬花，三国演义），（武松打虎，红楼梦）}，共2种情况，
其中错误试题全部答对的情况为{（草船借箭，三国演义），（黛玉葬花，红楼梦），（武松打虎，水浒传）}，故所求的概率为.
（2）由题可知，的所有取值可能为0，10，20，40.
，，，\\
.
X的分布列为：
故.
17. 已知椭圆过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程.
（2）已知O为坐标原点，直线与相交于M，N两个不同点.
①求k的取值范围；
②若，求的面积.
解：（1）由已知得.
因为，所以，
解得，，故椭圆的方程为.
（2）①将代入，得，
则，解得或，
故的取值范围为.
②设，，由（1）可知，.
因，所以.
又，
所以，所以或.
易知直线与轴交于点，
所以.
当时，；当时，.
故的面积为或.
18. 已知是定义在上的函数，若对任意，恒成立，则称为上的非负函数.
（1）判断是否为上的非负函数，并说明理由.
（2）已知为正整数，为上的非负函数，记的最大值为，证明：为等差数列.
（3）已知且，函数，若为上的非负函数，证明：.
解：（1）是上的非负函数.
理由如下：
因为，，所以.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则，故是上的非负函数.
（2）由，，得.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则
因为为上的非负函数，所以，解得，则.
因为，所以为等差数列.
（3）由，，得.
因为且，所以由得，，解得，
由得，，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故.
由为上的非负函数，得，则，.
令，，则在上恒成立，
故在上单调递增，则，从而在上恒成立.
令，得，则，从而在上恒成立，
故，当且仅当时，等号成立，
所以.X
0
10
20
40
P