2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省邵阳市海谊中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={x|x2+(a+2)x+2a0)相交于A、B，且AB的中点为M(−1,12)，则椭圆C的离心率为( )
A. 33B. 32C. 22D. 12
7.已知数列{an}满足a2=11，an=an+1−1an+1+1，则a985=( )
A. 56B. −65C. 11D. −111
8.曲线y=13x3+x在点(1,43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )
A. 19B. 29C. 13D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了提高身体素质，小伟今年12月份一直坚持运动，他将1∼10日每天运动时长绘制成了折线图，如图所示，则( )
A. 小伟1∼10日每天运动时长的极差为39分钟
B. 小伟1∼10日每天运动时长的中位数为34.5分钟
C. 小伟1∼10日每天运动时长的众数为55分钟
D. 小伟1∼3日每天运动时长的方差大于5∼7日每天运动时长的方差
10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则( )
A. 直线AC与B1D1所成的角为90∘
B. 直线AC与BC1所成的角为60∘
C. 直线BD与平面ABC1D1所成的角为45∘
D. 直线BD与平面ACD1所成的角为30∘
11.已知向量a=(1,1,−1)，b=(1,−1,1)，则( )
A. a//b
B. |a|=|b|
C. 向量a，b的夹角的余弦值为−13
D. 若向量m=(2,0,0)=xa+yb(x,y为实数)，则xy=−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据7.4，7.5，7.5，7.8，8.0，8.0，8.2，8.4，8.4，8.5的第70百分位数是 ．
13.已知等差数列an的前n项和为Sn，且S8=12，S12=15，则S16= ．
14.已知直线l过点A(1,2,0)，且直线l的一个方向向量为m=(0,−1,1)，则坐标原点O到直线l的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知α是第四象限角，且csα= 33．
(1)求sin2α的值；
(2)求sin(2α−π3)的值．
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，▵PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3，
(1)设G , H分别为PB , AC的中点，求证：GH//平面PAD；
(2)求证：PA⊥平面PCD；
17.(本小题12分)
已知公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若S10=110，且a1,a2,a4成等比数列．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1an−1an+1，求数列bn的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为p.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.且“星队”在两轮活动中猜对了所有成语的概率为925．
(1)求p的值;
(2)求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率;
(3)若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．
19.(本小题12分)
已知A(1,2)、B(3,6)，动点P满足PA⋅PB=−4，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程;
(2)求过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.D
5.B
6.B
7.A
8.A
9.AB
10.AB
11.BC
12.8.3
13.16
14. 3
15.解：(1)已知α是第四象限角，且csα= 33，
∴sinα=− 1−cs2α=− 1−( 33)2=− 63，
∴sin2α=2sinαcsα
=2×(− 63)× 33=−2 23，
则sin2α的值为−2 23；
(2)∵cs2α=2cs2α−1=2×( 33)2−1=−13，
∴sin(2α−π3)=12sin2α− 32cs2α
=12×(−2 23)− 32×(−13)
= 3−2 26，
则sin(2α−π3)的值为 3−2 26．
16.【详解】(1)由题意，
连接BD，易知AC∩BD=H，BH=DH=12BD，
∴点H为BD的中点，∵H为PB为AC的中点，
在▵BDP中，BG=PG，GH//PD，
又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
所以GH//平面PAD．
(2)由题意证明如下，
取棱PC的中点N，连接DN，
在等边三角形▵PCD中，DN⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，
所以DN⊥平面PAC，
又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，
又已知PA⊥CD，CD∩DN=D，CD,DN⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD．

17.【详解】(1)设等差数列an的公差为dd≠0，由S10=110，得10a1+45d=110，①
由a1,a2,a4成等比数列，可得a22=a1⋅a4，即a1+d2=a1a1+3d，②
由①②解得a1=2,d=2,所以数列an的通项公式为an=2n．
(2)由(1)知bn=1an−1an+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1,
则Tn=b1+b2+⋯+bn=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=121−12n+1

18.解：设A0，A1，A2分别表示甲两轮猜对0个，1个，2个成语的事件，B0，B1，B2分别表示乙两轮猜对0个，1个，2个成语的事件.根据独立性假定，
得P(A0)=(1−34)2=116，P(A1)=34×14+14×34=38，P(A2)=(34)2=916
P(B0)=(1−p)2，P(B1)=2p(1−p)，P(B2)=p2
(1)设A=“‘星队’在两轮活动中猜对了所有成语”P(A)=P(A2B2)=P(A2)P(B2)=34×34×p2=925，得p=45
(2)由(1)知，设B=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则B=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以P(B)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=38×1625+916×825=2150，
所以两轮活动‘星队’猜对3个成语的概率为2150
(3) C=“‘星队’的甲、乙两人中恰有一人获得此称号”
P(C)=[1−P(A0)]P(B0)+P(A0)[1−P(B0)]=(1−14×14)×125+116×(1−15×15)=39400，
所以“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率39400
19.解：(1)设P(x,y)，则 PA=(1−x,2−y) ， PB=(3−x,6−y) ，
由 PA⋅PB=(1−x)(3−x)+(2−y)(6−y)=−4 ，
得 (x−2)2+(y−4)2=1 ，
所以曲线 C 的标准方程为 (x−2)2+(y−4)2=1 ．
(2)曲线 C 是以 2,4 为圆心，1为半径的圆，
过点 A(1,2) 的直线若斜率不存在，直线方程为 x=1 ，满足与圆 C 相切；
过点 A(1,2) 的切线若斜率存在，设切线方程为 y−2=kx−1 ，即 kx−y+2−k=0 ，
由圆心到直线距离 d=2k−4+2−k k2+1=1 ，解得 k=34 ，
则方程为 3x−4y+5=0 ．
过点 A(1,2) 且与曲线 C 相切的直线的方程为 x=1 或 3x−4y+5=0 ．