新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第22讲 零点问题之两个零点（2份，解析版）

这是一份新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第22讲 零点问题之两个零点（2份，解析版），文件包含新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第22讲零点问题之两个零点原卷版doc、新高考数学二轮复习导数压轴解答题精选精练第22讲零点问题之两个零点解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由，解得或，
若，则恒成立，即有在上递增；
若时，由，可得或；
由，可得；
即有在，，递增，
在，递减；
若，由，可得或；
由，可得
即有在，，递增；在，递减；
综上：当时，在递减；在递增；
当时，时，在上递增；
时，在，，递增，在，递减；
时，在，，递增；在，递减．
（2）①由（1）可得，当时，在递减；在递增，
且（1），（2），故在上存在1个零点，
取满足，且，
则（b），
故在是也存在1个零点，
故时，有2个零点；
②当时，，所以只有一个零点，不合题意；
③当时，若时，在递增，不存在2个零点，不合题意；
若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，
当时，在单调增，在，递减，在，递增，
极大值（1），故不存在2个零点，不合题意；
综上，有两个零点时，的取值范围为．
2．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）的定义域为，且，
当时，，此时在上单调递增；
当时，由解得，由解得，此时在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，函数至多一个零点，不合题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，函数至多有一个零点，不合题意；
当时，，
由于，且，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，
由于，且（由于，
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点；
综上，实数的取值范围为．
3．已知函数为自然对数的底数，且．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
①时，，则
时，，在递减，
时，，在递增，
②当时，由得，，
若，则，故在递增，
若，则
当或时，，时，，
故在，递增，在递减；
综上：时，在递减，在递增，
时，在，递增，在递减；
时，在递增；
（2）①时，在递增，不可能有2个零点，
②当时，在，递增，递减，
故当时，取极大值，极大值为，
此时，不可能有2个零点，
③当时，，由得，
此时，仅有1个零点，
④当时，在递减，在递增，
故，
有2个零点，，
解得：，，
而（1），
取，则（b），
故在，各有1个零点，
综上，的取值范围是，．
4．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由得或；
若，则，当时，，当时，；
，恒成立，即有在上递增；
若时，则；由，可得或；
由，可得．
即有在，，递增；
在，递减；
若，则，由，可得或；
由，可得．
即有在，，递增；在，递减．
（2）①由（1）可得当时，在递减；在递增，
且，，取满足且．则，
有两个零点；
②当时，，所以只有一个零点；
③当时，
若时，由（1）知在，递减，
在，，递增，
又当时，，所以不存在两个零点；
当时，由（1）知，在单调增，又当时，，故不存在两个零点；
综上可得，有两个零点时，的取值范围为．
5．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，求导，
，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
6．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，；
，（2分）
当时，，则在内单调递减；（3分）
当时，则在内单调递减，在，内单调递增；（5分）
备注：求导正确给1分，因式分解正确得2分；
（2）由（1）知，当时，在内单调递减，最多只有一个零点，舍去；（5分）
时，；（7分）
当时，；
当时，；
当，令（a），
则（a），
（a）；（10分）
则（a）在上单调递增；
又（1），解得；
当时，函数有两个不同的零点．（12分）
备注：其他解法也可以酌情相应给分．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），
若，当时，，递减，
时，，递增，
当时，令，解得：或，
若，，恒成立，在递增，
若，，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
若，，
当时，，递增，
当时，，递减，
当时，，递增，
综上：若，在递减，在递增，
若，在递增，
若，在递增，在递减，在递增，
若，在递增，在递减，在递增；
（2）当时，，
令，解得：，此时1个零点，不合题意，
当时，由（1）可知，
在递减，在递增，
有2个零点，必有，即，
而（1），
故当时，个零点，
当时，，
取，则，
故当，时，个零点，
故当时，个零点，符合题意，
当时，在递增，不可能有2个零点，不合题意，
当时，在递增，在递减，在递增，
，
，故，
此时，至多1个零点，不合题意；
当时，在递增，在递减，在递增，
，
此时，最多有1个零点，不合题意，
综上，若有2个零点，
则的范围是，．
8．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），，△，
①当△即时，恒成立，故在上单调递增，
②当△时，即或时，方程的两根分布为，，
当时，，，
结合二次函数的性质可知，时，，函数单调递增，
，时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
时，，，
结合二次函数的性质可知，时，，函数单调递增，
（2）因为，则，
当时，，，则，即在上单调递增且，
故在上没有零点，
因为有两个零点，
所以在时有两个零点，
，，
当时，，故在上单调递减，最多1个零点，不合题意；
当时，易得，函数在上单调递减，在，上单调递增，
又时，，时，，
故，
解可得，．
综上可得，的范围．
9．已知函数
（1）当时，求函数的单调区间
（2）若有两个零点，求的取值范围
【解答】解：（1）时，．
令，，解得．
时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增．
（2）．
时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去．
时，由（1）可知：时，函数取得极小值，
有两个零点，，
令（a），（1）．
（a），函数在上单调递增，
．
又时，；时，．
满足函数有两个零点．
的取值范围为．
10．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【解答】解：（1），（1分）
①当时，恒成立，令，则，所以的单调增区间为．
同理可得的单调减区间为． （2分）
②当时，令，则或．
（ⅰ）当，即时，令，则或，
所以的单调增区间为和． （3分）
同理的单调减区间为；
（ⅱ）当，即时，
当时，，，所以，同理时，．
故的单调增区间为； （4分）
（ⅲ）当，即时．令，则或，
所以的单调增区间为和，同理的单调减区间为． （5分）
综上所述，当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，的单调增区间为，单调减区间为． （6分）
（2）因为，所以有一个零点，（7分）
由于有两个零点，所以只有一个不是1的零点，
解法1：令，，
（1）当时，恒成立，所以在上单调递增，
对任意，，，
由零点存在定理在上存在零点，
因为在上单调递增，所以只有一个不是1的零点，
所以当时，满足题意．（8分）
（2）当时，无零点，舍去．
（3）当时，令，解得；
令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以在取得极小值，也是最小值．
所以函数，（10分）
依题意只有一个不是1的零点，
由于当时，，且在上单调递减，在上单调递增．
则或
解得或，（11分）
综上所得，的取值范围为，． （12分）
解法2：当时，，所以不是的零点，则，（8分）
令，所以，
令，则且；令，所以，
所以在、上单调递增，在上单调递减，（9分）
所以在处取得极大值，极大值为，（10分）
由可知，当时，；当时，； （11分）
因为只有一个零点，所以与只有一个交点，
由图象可得，或，
又（1），所以与只有一个不是1的交点，
所以的取值范围为，． （12分）
11．已知函数．
（Ⅰ）若时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设，若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：，，，，
对于，△，
当，时，△，，递增；
当，时，△，设对应方程的根为，，由，，得，，
故在，递增；在递减；
由，，，
当时，，在递增，至多有一个零点，不符合题意；
当时，当时，递增；当，时，递减，
，所以，
当时，，（1），，，
构造函数，因为指数函数比幂函数增加的快，易知递增，
所以，（a）（e），所以，
所以，
故函数在和，各有一个零点，
所以．
12．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设，讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个不同的零点，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数定义域为，且当时，，
，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以函数在时取得最小值，且最小值为（1）．
（2）由题意知函数，，所以．
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若，在上恒成立，所以在单调递增．
综上，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，函数在单调递增．
（3）因为，，令，
因为，所以△，
所以方程有两个不等实数根，设为，，．
又因为，所以，
所以在上，，在，上，，
即在上，，在，上，，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以函数最小值为．
因为，所以，所以，
令，所以，
从而函数在上单调递减，且（1），
所以对，，时，，
所以当时，因为，所以，所以，所以，此时函数无零点，不合题意．
当时，函数有一个零点．
当时，，则，结合，
则需证明存在时，使得即可．
因为（构造易证明），
所以，
则时，，即存在使得，
故当时函数有两个零点．
综上，正实数的取值范围为．