【中职专用】专题01 三角计算（练习精讲）-高二数学下学期期末复习（高教版2021拓展模块下册）

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考点串讲
考点一、三角和差公式
（1）两角和与差的余弦公式：
（2）两角和与差的正弦公式：
（3）两角和与差的正切公式：
考点二、倍角公式及辅助角公式
（1）倍角公式：


（2）降幂公式：
，
（3）辅助角公式：
==
（其中和）
考点三、正弦型函数
（1）正弦型函数的相关概念
定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且.
对函数图像的影响：
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅；
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位；
ω决定了函数的周期.
的实际意义:
的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅；
在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相；
周期表示小球完成一次运动所需要的时间，表示1s内能完成的运动次数，称为
频率.
（2）正弦型函数的性质
定义域：R
值域：
周期：
奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下，
对于
当时，函数是奇函数；
当时，函数是偶函数.
单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。
由解出的范围，可得单调递增区间；
由解出的范围，可得单调递减区间.
（3）五点法画y＝Asin(ωx＋φ)的简图
（4）三角函数图像变换
振幅变换：
要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
平移变换：
要得到函数的图像，只要将函数的图像上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
周期变换：
要得到函数（其中且）的图像，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．
函数的图像经变换得到的图像的两种途径：
考点四、正余弦定理及面积公式
热考题型
类型一、三角和差公式
【例1】（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选：C.
【例2】（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】.
故选：D.
【例3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，解得.
故选：A.
【变式1】已知角的终边经过点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵角的终边经过点，则P到原点距离为，
∴，，
∴.
故选：D.
【变式2】的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三角函数公式化简可得
，
故选：．
【变式3】已知，则( )
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】∵，∴，
，∴，
故选：A．
类型二、二倍角公式
【例1】已知角，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以.
故选：.
【例2】已知是角终边上的一点，则 ．
【答案】/0.8
【解析】因为是角的终边上一点，
由三角函数定义可得，，，
所以．
故答案为：.
【例3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，∴.
故选：D．
【变式1】已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为角的终边经过点，所以，
所以.
故选：C.
【变式2】已知，且，则 .
【答案】
【解析】由题意得，又，所以，所以，所以.
故答案为：.
【变式3】（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意.
故选：C.
类型三、辅助角公式
【例1】函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
, 即，
的值域是 .
故选：C.
【变式1】求函数的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
所以，当时取得最大值为.
故选：A.
类型四、正弦型函数的性质
【例1】简谐运动的相位与初相是（ ）
A．，B．，4
C．，－D．，
【答案】C
【解析】相位是，当时的相位为初相即．
故选：C.
【例2】函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数，令，解得，
故函数的对称轴方程为，
令，可知函数的一条对称轴为.
故选：C.
【变式1】简谐运动可用函数，表示，则这个简谐运动的初相为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】该简谐运动的相位为，
当的相位为初相，即初相为：.
故选：B.
【变式2】函数的最小正周期为（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
【答案】A
【解析】由题意最小正周期是，故选：A．
类型五、正弦型函数的图像变换
【例1】为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】，
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
故将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：D.
【变式1】把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到，
将向右平移个单位长度得到.
故选：B.
类型六、正弦定理
【例1】记的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由正弦定理，得.
故选：B
【变式1】在中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，由正弦定理得：
解得，
故选：D.
【变式2】中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则B的大小为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】由正弦定理可得,
由于,，所以或.
故选：D
类型七、余弦定理
【例1】在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则C=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，
所以由余弦定理得，，
因为，所以，
故选：C.
【变式1】在中，若，则（ ）
A．25B．5C．4D．
【答案】B
【解析】在中，若，，，
由余弦定理得.
故选：B.
【变式2】在中，，，，则边（ ）
A．6B．12C．6或12D．
【答案】C
【解析】由余弦定理可得
，即,解得或.
故选：C.
类型八、面积公式
【例1】已知在中，，，，则的面积为（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】B
【解析】因为，A为三角内角，所以，
所以；
故选：B.
【变式1】已知的面积为且，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【解析】∵，，∴
解得，∴.
故选：D.
【变式2】在中，，且最大边长为14，则该三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】因为，且最大边长为14，所以，
由余弦定理得，
所以，
所以，
故答案为: .
x
－eq \f(φ,ω)
－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0