甘肃省酒泉市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 含解析

这是一份甘肃省酒泉市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 含解析，共15页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知等比数列满足，公比，则， 若，则的值可以是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的荅案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质可求得的值.
【详解】在等差数列中，，故.
故选：C.
2. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线方程求出准线即可.
【详解】抛物线的准线方程是.
抛物线，则，所以准线方程是.
故选：D.
3. 过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据方向向量得到直线的斜率，从而得到直线的方程.
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线方程为.
故选：D
4. 为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A. 6种B. 8种C. 9种D. 12种
【答案】A
【解析】
【分析】先分组，再分配即可.
【详解】由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种，
再分配到两所学校，有种，
故共有种安排方法.
故选：A.
5. 若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D. [3，5]
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果.
【详解】如图所示：

设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即.
故选：C
6. 已知等比数列满足，公比，则（ ）
A. 32B. 64C. 128D. 256
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质计算可得.
【详解】因为，公比，
所以.
故选：B
7. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程.
【详解】设点，因点为线段中点，则（*）
又在椭圆（即）上，则 ①， ② ，
由，可得，
将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为，
故直线的方程为：，即.
故选：B.
8. 已知直线与轴和轴分别交于，两点，且，动点满足，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得，两点坐标，根据得到，再结合可得到轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.
【详解】由，得，
由，得，
由，得，设，则，即，
因此点的轨迹为一动圆，
设该动圆圆心为，即有，
则代入，整理得：，
即轨迹的圆心在圆上（除此圆与坐标轴的交点外），
点与圆上点连线的距离加上圆C的半径即为点到点的距离的最大值，
所以最大值为.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则的值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BC
【解析】
【分析】利用组合数的计算即可求解
【详解】因为，所以或，解得或.
故选：BC.
10. 已知数列的首项为，前项和为，且，则（ ）
A. 数列是等比数列B. 是等比数列
C. D. 数列的前项和为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用递推公式，结合，即可判断选项AB，根据数列的通项公式即可判断选项C，结合对数运算求出，利用等差数列前项和公式即可判断选项D.
【详解】因为，所以，
两式相减得，，即，
令，则，
所以数列从第项起是等比数列，
则，A错，
又，C正确；
又，
所以，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确；
且，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则数列的前项和为，D正确.
故选：BCD
11. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为，则（ ）
A. 椭圆的标准方程为
B. 椭圆上恰有四个点，使得
C. 若点是椭圆上任意一点（与不重合），则内切圆半径的最大值为
D. 若点是椭圆上任意一点（与不重合），在延长线上，是的角平分线，过作垂直MN，垂足为，则线段OQ（为坐标原点）的长为定值4
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项：根据图象的变换即可求解；
B选项：根据焦点三角形在短轴端点处张角最大即可判断；
C选项：根据内切圆半径与三角形面积的关系即可求解；
D选项：根据椭圆光学性质判断出外角平分线即为切线，根据几何关系得到，从而得到直线和直线方程，联立求得点坐标，即可求解.
【详解】由题意得，椭圆的方程为，即，A错误；
当点为上下顶点时，最大，此时，，所以椭圆上恰有四个点，使得，B正确；
因为的周长为定值，设内切圆半径为，则
，
所以，C正确；
由椭圆的光学性质可知，为椭圆在点处的切线，且.
设点，则直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程，得，所以
，
所以为定值，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，的系数为______.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.
【详解】展开式的通项为（其中且），
令，解得，所以，所以的系数为.
故答案为：
13. 圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】两圆方程作差即可得到公共弦方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径；
圆，即，圆心，半径，
又，所以，所以两圆相交，
则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为.
故答案为：
14. 定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为_______________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解.
详解】由题意可知：（公和），则，
可得，可知数列是以2为周期的周期数列，
可得，，所以公和.
故答案：7.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值及对应的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据作差计算可得；
（2）根据二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为，
当时，当时，，
所以，
经检验时也符合上式，所以；
【小问2详解】
因为，
所以当时，取最大值，，，
即，．
16. 已知直线过点.
（1）若直线与直线垂直，求的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程；
（3）若直线与圆相切，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）设直线为，代入点的坐标，求出的值，即可得解；
（2）分直线的截距均为与均不为两种情况讨论，利用待定系数法计算可得；
（3）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.
【小问1详解】
设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为；
【小问2详解】
若直线的截距均为，则设直线的方程为，
所以，解得，所以直线的方程为，即；
若直线的截距均不为，则设直线的方程为，
所以，解得，所以直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或；
【小问3详解】
圆，即，则圆心为，半径；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，所以直线的方程为，
综上可得直线的方程为或.

17. （1）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，求证：；
（2）若方程表示双曲线，求的取值范围，并说明该方程表示的双曲线有共同的焦点；
（3）求到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹方程，并指出轨迹表示什么曲线.
【答案】（1）证明见详解；
（2）；说明见详解；
（3）答案见详解；
【解析】
【分析】（1）设直线方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，即可得到，再结合抛物线的方程，即可证得.
（2）根据双曲线的标准方程及其性质即可求解.
（3）根据求轨迹方程的方法，设点列式化简即可求解.
【详解】（1）由抛物线，可得其焦点为，
由题意可设直线方程为，
联立方程组，
因为在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点，则是方程的两个实数根，所以，
因为，所以，所以.
（2）若方程表示双曲线，则，所以的取值范围，
若该方程表示焦点在轴的双曲线则双曲线焦点为，
若该方程表示焦点在轴的双曲线则双曲线焦点为不存在，
所以该方程表示的双曲线有共同的焦点，并且焦点在轴上.
（3）根据题意，设两个定点的坐标分别为，
设Px,y 是平面上任意一点，则,
即①
方程①就是所求点的轨迹方程，接下来探讨轨迹表示什么曲线，
当时，曲线方程为，即，这是线段的垂直平分线；
当时，①式可化为配方得，这是圆的标准方程，曲线表示圆.
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程；
（2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出.
【小问1详解】
双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为，
所以，
又焦点到渐近线的距离为1，即，所以，
又，所以，，则双曲线的方程为；
【小问2详解】
由（1）可得，，
则直线的方程为，
设，，，，由题意可知，，
由的面积是面积的倍，可得，即，
所以，
由，消去，可得，解得，
由，消去，可得，解得，
由，可得，解得或（舍去），
当时，，符合题意，
所以直线的斜率为.
19. 已知正实数，为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，且对任意正整数，恒成立.
（1）证明：无穷数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式及数列的前项和；
（3）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可；
（2）结合（1）及所给条件得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出的通项公式，从而求出的通项公式，再由等差数列求和公式计算可得；
（3）结合（1）求出的通项公式，再利用分组求和法计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，
又，正实数，为常数，且，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
【小问2详解】
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
所以；
【小问3详解】
若，则是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以
.