江苏省南京市五校联盟2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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本卷：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.本试卷共6页.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
2. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ）
A. B. 2或C. 2D.
3. 以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处切线的倾斜角为（ ）
A B. C. D.
5. 在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
6. 已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知椭圆 为椭圆上任意一点， 分别为椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 过点 的直线与椭圆交于 两点，则 的周长为 8
B. 存在点 使得 的长度为 4
C. 椭圆上存在 4 个不同的点 ，使得
D. 内切圆半径的最大值为
11. 已知数列是公差为的等差数列，是公比为的正项等比数列.记，，，，则（ ）
参考公式：.
A. 当时，B. 当时，
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 已知数列满足，若，则______.
13. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______.
14. 已知椭圆任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线和圆．
（1）判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
16 已知函数.
（1）求在区间上的平均变化率；
（2）求曲线在点处的切线方程；
（3）求曲线过点切线方程.
17. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
18. 已知等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列及数列的前项和.
（3）设，求的前项和.
19. 已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与.
（1）求的方程；
（2）当斜率为1时，求直线的方程；
（3）求证：为定值.