四川省成都市蒲江县蒲江中学2024-2025学年高一上学期选科分班考试数学试卷（Word版附解析）

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一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 设集合 ，则 ，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义，画出数轴，可求出结果.
【 详 解 】 集 合 ， ， 在 数 轴 上 表 示 如 图 所 示 ： 由 图 可 得
.
故选：B
2. 下列图象中，不能表示函数的是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】函数的定义要求定义域中任意一个自变量，都存在唯一确定的函数值值与之对应.
【详解】C 选项的函数图像中存在 ，对应两个不同的函数值，故不是函数图像.
故选：C
3. 若集合 中只有一个元素，则实数 a 的值为（ ）
A. 0 B. 0 或 1 C. 1 D. 0 或
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论方程根的个数即可.
【详解】当 时， ；
当 时，则 ，解之得 ，此时 ，
所以 或 1．
故选：B．
4. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质结合已知判断 C 选项，特殊值法分别判断 A,B,D 选项即可.
【详解】当 时满足 ，可得 ，A 选项错误；
当 ，可得 ，B 选项错误；
若 ，由不等式乘法性质可得 ，C 选项正确；
当 ，可得 ，D 选项错误.
故选：C.
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5. 已知函数 ，函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可得到值域.
详解】 ，
因为 ，所以 的值域为 ，即 ，
故选：A.
6. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式求最小值．
【详解】 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，因此所求最小值为 ，
故选：B．
7. 函数 的最大值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】
将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案；
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【详解】
，
当且仅当 ,即 等号成立.
故选：D.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
8. 设实数 满足 ， ，不等式 恒成立，则实数 的
最大值为（ ）
A. 12 B. 24 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】原不等式可转化为 ，利用均值不等式求 最小值即可.
【详解】由 ， 变形可得 ， ，
令 ， ，
则 转化为 ，即 ，
其中 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以不等式 恒成立，只需 ，
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故选：B
二､多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列不等式的解集为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用一元二次不等式 解法逐个分析判断即可.
【详解】对于 A，因为 ， ，
所以不等式 的解集为 ，所以 A 正确，
对于 B，因为 ，
所以方程 的两根为 ，
所以不等式 的解集为 ，所以 B 错误，
对于 C，因为 ，
所以不等式 的解集为 ，所以 C 正确，
对于 D，因为 ，
所以方程 的根为 ，
所以不等式 的解集为 ，所以 D 错误，
故选：AC
10. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有 28 人参加比赛，其中有 16 人参
加跳远比赛，有 8 人参加球类比赛，有 14 人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有 3 人，同时参加
球类和跑步比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，则（ ）
A. 同时参加跳远和跑步比赛的有 4 人
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B. 仅参加跳远比赛的有 8 人
C. 仅参加跑步比赛的有 7 人
D. 同时参加两项比赛的有 10 人
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解
【详解】设同时参加跳远和跑步比赛的有 x 人，由题意画出韦恩图，如图，
则 ，解得 ，故 A 正确；
仅参加跳远比赛的人数为 ，故 B 错误；
仅参加跑步比赛的人数为 ，故 C 正确；
同时参加两项比赛的人数为 ，故 D 正确；
故选：ACD
11. 已知 为正实数， ，则下列选项正确的是（ ）
A. ab 的最小值为 2 B. 的最小值为
C. 的最小值为 8 D. 的最小值为 2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式结合消元转化一一判定选项即可.
【详解】由 为正实数，
对于 A， ，解之得 ，
所以 ，当且仅当 时取得最小值，故 A 错误；
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对于 B，由 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值，故 B 正确；
对于 C， ，由 A 知 ，
结合二次函数的性质知 ，当且仅当 时取得最小值，故 C 正确；
对于 D， ，
而 ，即 ，解之得 ，
当且仅当 时取得最小值，故 D 正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 求函数 的定义域为______
【答案】
【解析】
【分析】用函数定义域的知识直接求解即可.
【详解】由题意得 ， ，
解得 ，
故答案为:
13. 若命题“ ， ”为假命题，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
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【分析】由题意知，命题的否定为真命题，再结合一元二次不等式恒成立求得 的取值范围.
【详解】因为命题“ ， ”为假命题，
所以命题“ ， ”真命题，
所以 ，
解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
14. 若不等式 对一切 都成立，则实数 m 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先判断分子恒大于零，则问题转化为“ 对一切 都成立”，再根据二次项系
数分类讨论即可.
【详解】不等式 对一切 都成立，
，
对一切 都成立，
当 时， ，不等式恒成立；
当 时，要使 对一切 都成立，
则 且 ，得 .
综上，m 的取值范围为 .
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解下列不等式
（1） ；
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（2） ；
（3） .
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可；
（2）根据判别式即可得到其解；
（3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【小问 1 详解】
将不等式 化简为 ，
解得 或 ，
则解集为 ；
【小问 2 详解】
将不等式 化简为 ，
因为 ，
该不等式无实数解，即解集为 ；
【小问 3 详解】
，即 ，通分可得 ，
则 ，解得 ，
所以解集为 .
16. 已知集合 ，集合 .
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（1）若 ，求 ；
（2）若集合 A 成立的充分不必要条件是集合 B，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得；
（2）由题意可得集合 B 是集合 A 的真子集，再分 与 计算即可得.
【小问 1 详解】
由题意可知 ，
若 ，则 ，
故 ，则 或 ；
【小问 2 详解】
由题意可得集合 B 是集合 A 的真子集，
当 时， ，解得 ，
当 时，则有 ，解得 ，
且 （等号不能同时成立），解得 ，
综上所述，实数 m 的取值范围为 .
17. 2022 年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变
异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故
而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一
年购买某种医用防护用品 600 吨，每次都购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的存储费用为 万元.一年的
总费用 y（万元）包含运费与存储费用.
（1）要使总费用不超过公司年预算 260 万元，求 x 的取值范围.
（2）要使总费用最小，求 x 的值.
【答案】（1）
（2）30
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【解析】
【分析】（1）由题得购买货物的次数为 ，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用 y，再由
即可求解 的取值范围.
（2）先由（1）得一年的总费用 y，再直接利用基本不等式即可求出 最小时 x 的值.
【小问 1 详解】
因为公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，
所以购买货物的次数为 ，
故 ，
化简得 ，解得 ，
所以 x 的取值范围为 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
因为 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以当 时，一年的总费用最小，
故 x 的值为 30.
18. （1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 ，求 的最小值.
（3）已知 ， ， ，求 的最小值．
【答案】（1）6；（2）8 ；（3） .
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式，结合配凑法求出最小值.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
（3）变形条件，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】（1）由 ，得 ，
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则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 6.
（2）由 ， ，
得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 最小值为 8.
（3）由 ， ， ，
得 ，
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 ．
19. 已知关于 不等式 的解集为 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若存在两个不相等的负实数 、 ，使得 ，求实数 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，满足：“对于任意正整数 ，都有 ；对于任意负整数 ，都有 ”，若存
在，求出 的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）
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（3）存在， 的值为 5
【解析】
【分析】（1）就不等式的二次项系数是否为 0 进行分类讨论，在不为 0 时，结合二次函数的图象进行分析
判断即可求得参数范围；
（2）由题意，可判断方程 有两个不相等的负实根，且 ，
结合函数图象可得不等式组，解之即得；
（3）根据题意，得出 ， ，分别就二次项系数是否为 0 进行分类考虑，检验解集是否
符合要求即得结论.
【小问 1 详解】
当 时，解得 或 ，
（Ⅰ）当 时，不等式化为 ，∴ 时，解集为 ,符合题意；
（Ⅱ）当 时，不等式化为 ，解集为 ，不符合题意，应舍去；
（Ⅲ）当 时，要使不等式解集为 ，需使 ，
由①得， 或 ；由②得， 或 ，
综上，可得实数 的取值范围为 ；
【小问 2 详解】
依题意，方程 有两个不相等的负实根，且 ，
故有 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
根据题意，得出解集 ， ，
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当 时，解得 或 ，
时，不等式的解集为 ，满足条件，
时， 恒成立，不满足条件，
当 时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是 的形式，不满足条件，
当 时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是 的形式，不满足条件，
综上，存在满足条件 的值为 5.
【点睛】思路点睛：本题主要考查含参 一元二次不等式的解集问题，属于难题.
求解含参不等式的解集问题，一般先就二次项系数是否为 0 进行分类讨论，同时结合对应函数的图象分析，
得出关于参数的不等式组，有时还需对条件进行等价转化，例如（3）将条件转化成需满足的解集问题来解
决.
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