湖北省武汉市2024届高三数学下学期开学考试试题含解析

这是一份湖北省武汉市2024届高三数学下学期开学考试试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 数据的第15百分位数为（）
A. 69B. 70C. 75D. 96
【答案】B
【解析】
【分析】根据百分位数的定义得到答案.
【详解】因为，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的分位数为第2个数据70.
故选：B．
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面向上”，事件“第二枚反面向上”，则事件A与B的关系是（）
A. B. C. 相互独立D. 互斥
【答案】C
【解析】
【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.
【详解】依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为，反面向上为，
则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：，
事件A包含的结果有：，事件B包含的结果有：，
而事件A，事件B中有不同的结果，则事件A与事件B不互相包含，也不相等，故AB错误；
显然事件A，事件B都含有“”这一结果，即事件A，事件B能同时发生，
因此，事件A与事件B不互斥，故D错误；
因为，则，
所以A与B相互独立，故C正确.
故选：C.
3. 已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于不等式，解之可得的取值范围.
【详解】由已知得，
因为为递增数列，所以有，即恒成立，
所以，所以只需，即，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.
4. 在中，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】选用基底，利用向量的线性运算表示向量.
【详解】中，，，如图所示，
.
故选：C
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简，再利用诱导公式、二倍角公式求解即可.
【详解】
故选：D.
6. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（）附：若，则，
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.
故选：A.
7. 已知实数满足，记，则的最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示可得，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系即可求出.
【详解】设，因为
因为在以原点为圆心，为半径圆上，且.
设点到直线的距离之和为，则，转化为求的最大值.
设点为点与点的中点，设点到直线的距离为，则，
又.故点轨迹方程为圆.
圆上点到直线距离的最大值.
所以的最大值是.
故选：C.
【点睛】
8. 已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（）
AB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，即，
再通过函数的单调性可知，即可求出的值，得到函数的解析式，然后根据零点存在性定理即可判断零点所在区间．
【详解】设，即，，因为是定义在上的单调函数，所以由解析式可知，在上单调递增．
而，，故，即．
因为，，
由于，即有，所以．
故，即的零点所在区间为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，零点存在性定理的应用，意在考查学生的转化能力，属于较难题．
二、多选题：本大题共3小题，共18.0分．
9. 设是全集，定义，对的真子集和，下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据新定义计算然后判断各选项．
【详解】A．，若，则，，，若，则或且只有一个成立，，或
，因此A正确；
B．，当时，，则，此时，B错误；
C．时，若，则，若，则，若且，则则，所以，C正确；
D．，当时，显然，此时，成立，当时，，与的值要么等于0要么等于1，或0，成立，D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是正确理解新定义，它是一分段函数，首先依赖于集合，时，，时，，解题时我们只要根据元素与集合的关系确定函数值即可．
10. 已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意结合圆台与球的表面积、体积公式逐项分析判断.
【详解】由切线长定理易得，A正确；
由勾股定理知，解得，B正确；
因为，
，
所以正确；
因为，当且仅当时，等号成立，
这与圆台的定义矛盾，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由是偶函数得出是奇函数，由已知两条件推出是以4为周期的函数，然后在已知式中对自变量赋值求解．
【详解】由是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故．
对于A，由，
代入，得，
又是奇函数，
则，
所以是周期函数，且周期为4，，故A正确；
对选项B，令得，，令得，，
故，故B正确；
对于C：令得，
即，
若，则，
但不一定为0，故C错误；
对于D：令，得，
故，，所以，
令，得，则
则，由是以4为周期得，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用条件得出函数的奇偶性及周期性，进而得到函数的性质，然后利用赋值法求解.
三、填空题：本大题共3小题，共15.0分．
12. 已知集合，集合，则以集合为定义域，集合为值域的函数的个数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当集合中有一个元素对应集合中的三个元素；②②当集合中有两个元素分别与集合的两个元素对应.利用组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
①将集合中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为；
②将集合中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时，此时，满足条件的函数个数为.
由分类加法计数原理可知，满足条件的同函数的个数为.
故答案为：.
13. 已知复数满足，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】设复数，由给定等式求出x，y的关系，再求直线上的点到两定点与距离和的最小值即可.
【详解】设复数，由得：，整理得，
表示直线上的动点P到定点与距离的和，
设点关于直线对称点，连AB交直线于点，如图，
而点P是直线上任意一点，由对称性质知：，
当且仅当与重合时取“=”，由得，即点，
所以.
故答案为：
14. 已知椭圆：右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，弦的垂直平分线交轴于点P，若，则椭圆的离心率_________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程, 由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式, 求得中点坐标坐标, 求得垂直平分线方程, 当时, 即可求得点坐标, 代入即可求得, 即可求得, 即可求得和的关系, 即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为倾斜角为的直线过点，
设直线的方程为: , ,
线段的中点,
联立，化为，
，
，
的垂直平分线为:,
令, 解得,.
,
,则,
椭圆的离心率为,
故答案为:.
【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法, 属于较难题.
四、解答题：本大题共5小题，共77.0分．
15. 已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求函数的解析式及其图象的对称轴方程；
（2）若函数在上的零点为、，求的值．
【答案】（1），对称轴方程为；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，求出函数的最小正周期，可得出函数的解析式，解方程可解得函数图象的对称轴方程；
（2）求得，分析得出点、关于直线对称，可得出，再利用诱导公式可求得的值.
【详解】（1），
由于函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，所以，，解得.
所以，，
由，解得，
所以，函数图象的对称轴方程为；
（2）由题意可得，则，同理可得.
当时，则，
若，设，解得.
因为，所以，点、关于直线对称.
所以，.
所以，.
【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换思想化简正弦型函数解析式的步骤如下：
（1）利用两角和与差的正弦、余弦公式展开；
（2）利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式将二次式降幂，并合并同类项；
（3）利用辅助角公式化简.
16. 四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．
（1）求异面直线DE与PA所成角的余弦值；
（2）证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（2）根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【小问1详解】
由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
菱形中，，所以,
在中，
因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，
则点A、B、D、P的坐标分别是，
E是PB的中点，则，于是，.
设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；
【小问2详解】
连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.
因为，,设平面PAD的法向量，
则，令，则，所以，又，
则点E到平面PAD的距离.
17. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望.
【答案】（1）0.0525
（2）分布列见解析，期望为32（分钟）
【解析】
【分析】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，根据题设确定对应事件的概率，进而应用全概率公式求概率即可；
（2）由题设知，利用贝叶斯公式求对应值的概率，写出分布列，进而求期望.
小问1详解】
设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，
则，且两两互斥.
根据题意，
.
由全概率公式，得
.
【小问2详解】
由题意知，则
，
同理得，
所以加工这个零件耗时的分布列为：
（分钟）.
18. 已知抛物线：与圆：相交于，，，四个点．
（1）当时，求四边形的面积；
（2）四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；
（3）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．
【答案】（1）
（2）不可能，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）联立抛物线与圆的方程可得坐标，再根据梯形面积公式求解即可；
（2）联立抛物线与圆的方程，可得．再设出与的四个交点的坐标，可列出直线的方程，再由对称性，对角线交点肯定在轴上，令即可检验；
（3）由于四边形为等腰梯形，则其面积，用换元法可得得函数，对其求导即可得出结论.
【小问1详解】
将代入，并化简得，解得或，
代入抛物线方程可得
，，，
；
【小问2详解】
联立抛物线与圆的方程有，可得．
不妨设与的四个交点的坐标为，，，．
直线的方程为，
由对称性，对角线交点肯定在轴上，令，
解得交点坐标为．若交点为点，则，则，不可能．
【小问3详解】
联立抛物线与圆的方程有，可得．
由于四边形为等腰梯形，因而其面积
则，
设，则，
将，代入上式，并令，
得
求导数，
令，解得：，（舍去）．
当时，；此时单调递增，
当时，；当时，．此时单调递减，
故当且仅当时，取得最大值，即此时四边形的面积最大，
此时．
【点睛】关键点睛：在第三小问表达出四边形的面积的表达式，对其进行换元法得出新函数从而对新函数进行求导是关键，也是本题难点.
19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【答案】（1）1（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）依据所给定义求解即可.
（2）直接利用定义求解即可.
（3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可.
【小问1详解】
．
【小问2详解】
，，，
故，，故．
【小问3详解】
，，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；
令，
，令，
则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，
故有，
则在递增，
又，，故，
故．
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解．
35
32
30