2024-2025学年吉林省四平实验中学高二（下）期初数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年吉林省四平实验中学高二（下）期初数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是( )
A. 19(10n−1)B. 13(10n−1)C. 13(1−110n)D. 310(10n−1)
2.已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(6,p)，且E(X)=1，则D(X)=( )
A. 13B. 12C. 23D. 56
3.已知直线l：ax+y−2+a=0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A. 1B. −1C. 2或1D. −2或1
4.将一块△ABC模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为( )
A. 2 615
B. 615
C. 245
D. 125
5.已知双曲线x2+y2m=1的渐近线过点(2,−3)，则m=( )
A. 32B. −32C. 94D. −94
6.已知圆C1：(x−2)2+(y+3)2=1，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，M、N分别是圆C1、C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|−|PM|的最大值是( )
A. 5 2+4B. 2C. 5 2D. 2+4
7.在( x+1)3⋅(1+13x)7的展开式中，含1x的项的系数为( )
A. 21B. 35C. 48D. 56
8.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1，p2，且满足p1+p2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E(X)=16，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为( )
A. 27B. 24C. 32D. 28
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)+1
B. 若随机变量ξ∼N(3,σ2)，且P(ξb>0)，定义椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”为N(x0a,y0b)．
(1)求椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”N的轨迹方程；
(2)如果椭圆C上的点(1,32)的“伴随点”为(12,32b)，对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求OM⋅ON的取值范围；
(3)当a=2，b= 3时，直线l：y=kx+m交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.D
6.D
7.D
8.A
9.BCD
10.AC
11.AB
12.2n−1
13.(32,32,3 22)
14.715
15.解：(1)由l1⊥l2，则2(a−3)+2a=0，解得a=32．
(2)由l1//l2可得a(a−3)=4−10≠−10(a−3)，解得a=−1，
直线l2的方程为−4x+2y−5=0，即4x−2y+5=0，
直线l1的方程为2x−y−10=0，即4x−2y−20=0，
因此，l1与l2之间的距离为d=|5+20| 42+(−2)2=5 52．
16.解：(1)由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14,14．
记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A，
则P(A)=14×12+12×14+14×14=516．
∴甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为516．
(2)设甲、乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可能取得值为0，2，4，6，8，
P(ξ=0)=18,P(ξ=2)=14⋅14+12⋅12=516,P(ξ=4)=14⋅14+12⋅14+12⋅14=516，
P(ξ=6)=14⋅14+12⋅14=316，
P(ξ=8)=14⋅14=116，
∴ξ的分布列为：

17.解：(1)证明：在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以点A为坐标原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,2)，E(32,12,2)，F(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，D(0,1,0)，D1(0,1,2)，
则CB1=(1,−1,2)，CF=(−1,0,1)，BB1=(0,0,2)，
设平面CB1F的法向量m=(x,y,z)，D1E=(32,−12,0)，
则m⊥CB1m⊥CF，则m⋅CB1=x−y+2z=0m⋅CF=−x+z=0，
不妨令x=1，可得m=(1,3,1)，
因为D1E⋅m=1×32−12×3+0=0，所以D1E⊥m，
且D1E⊄平面CB1F，即D1E/​/平面CB1F.
(2)设平面BB1CC1的法向量n=(x1,y1,z1)，
则n⊥C B1n⊥BB1，则n⋅CB1=x1−y1+2z1=0n⋅BB1=2z1=0，
不妨令x1=1，可得n=(1,1,0)，
于是cs=m⋅n|m|⋅|n|=4 11⋅ 2=2 2211，
所以平面CB1F与平面BB1CC1夹角的余弦值为2 2211．
(3)由BB1=(0,0,2)，平面CB1F的一个法向量m=(1,3,1)，
则点B到平面CB1F的距离为d=|m⋅BB1||m|=2 11=2 1111．
18.解：(1)由题意得x−=4+5+7+84=6，y−=0.3+0.3+0.4+0.64=0.4，
又i=14xiyi=8×0.6+7×0.4+5×0.3+4×0.3=10.3，
∴i=14xiyi−4x−⋅y−=10.3−4×6×0.4=0.7
∵i=14xi2=82+72+52+42=154，
∴i=14xi2−4x−2=154−4×36=10，
∴b =i=14xiyi−4x−⋅y−i=14xi2−4x−2=0.710=0.07，
所以a =y−−b x−=0.4−0.07×6=−0.02，
故得y关于x的线性回归方程为y =0.07x−0.02；
(2)(i)将x=120代入y =0.07x−0.02得y =0.07×120−0.02=8.38，
∴该省要发放补贴的总金额为8.38×1000×0.6=5028(万元)；
(ii)设小江、小沈两人中选择考研的人数为X，则X的所有可能值为0、1、2，
P(X=0)=(1−p)(2−2p)=2(1−p)2，
P(X=1)=p(2−2p)+(1−p)(2p−1)=−4p2+5p−1，
P(X=2)=p(2p−1)=2p2−p，
∴E(X)=0×2(1−p)2+1×(−4p2+5p−1)+2×(2p2−p)=3p−1，
E(0.6X)=0.6×(3p−1)≤0.75，可得p≤34，
又因为0≤p≤10≤2p−1≤1，可得12≤p≤1，
故12≤p≤34．
19.解：(1)设N(x,y)由题意可得，x=x0ay=y0b，则x0=axy0=by，
代入椭圆方程并整理，可得x2+y2=1；
(2)由12=1a，得a=2，又1a2+94b2=1，得b= 3，
∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴x024+y023=1，
可得y02=3−34x02，且0≤x02≤4，
∴OM⋅ON=(x0,y0)⋅(x02,y0 3)=2− 34x02+ 3，
∵2− 34>0，∴OM⋅ON的取值范围是[ 3,2]；
(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则P(x12,y1 3)，Q(x22,y2 3)，
联立y=kx+mx24+y23=1，得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2−3)=0．
Δ=64k2m2−16(3+4k2)(m2−3)=48(3+4k2−m2)>0，
x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4(m2−3)3+4k2，
∵以PQ为直径的圆经过坐标原点O，∴3x1x2+4y1y2=0，
则3x1x2+4(kx1+m)(kx2+m)=0，即(3+4k2)x1x2+4km(x1+x2)+4m2=0，
把根与系数的关系代入上式可得3+4k2=2m2，
点O到直线y=kx+m的距离d=|m| 1+k2，
丨AB丨= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅4 3|m|3+4k2，
∴S△OAB=12|AB|⋅d=12⋅ 1+k2⋅4 3|m|3+4k2⋅|m| 1+k2=12⋅4 3m23+4k2= 3． A大学
B大学
C大学
D大学
2022年毕业人数x(千人)
8
7
5
4
2022年考研人数y(千人)
0.6
0.4
0.3
0.3
ξ
0
2
4
6
8
P
18
516
516
316
116