2025年山西省吕梁市方山县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年山西省吕梁市方山县九年级中考一模数学试题（原卷版+解析版），共28页。
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共8页，清分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D. -3
2. 2024年上半年数据显示，北斗系统的全球服务用户总数已达15亿，日服务请求量高达4500亿次，数据4500亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 当，时，的值为（ ）
A 1B. C. D. 4
5. “赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（ ）
A. 分析法B. 相似法C. 反证法D. 等面积法
6. 如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧与交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 写出一个能与合并实数：_____．
12. 若点在第四象限，则的取值范围是_____．
13. 如图是一次函数的图象，则关于x的方程：的解是___________．
14. 在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____．
15. 如图，将沿矩形中过点的一条直线折叠，折痕交直线于点（点不与点重合），点的对称点落在矩形的对角线上，与交于点，连接．若，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
17. 山西红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38元/箱，B品牌红富士苹果的价格为30元/箱．若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
18. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
（1）在以上成绩统计表中，_____，_____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
19. 某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出．
20. 亭是我国最具代表性的传统建筑形式之一，我国汉代便有十里一亭，十亭一乡的建制．如图，某小区的一凉亭可看作由等腰三角形和矩形构成，其中，横梁的长为，数学小组的同学用自制的测角仪在点处测量，发现凉亭顶端点、檐角点和点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，将测角仪往前移至点处，测得檐角点的仰角为，已知点到的距离．求凉亭的高度（精确到，参考数据：）．
21. 阅读与思考
请阅读以下材料并完成相应的任务．
（1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．
（2）任务二：请你完成引理结论的证明过程．
22 综合与实践
主题】大棚苗木种植方案设计
【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面．
【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）．
【解决问题】
（1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）．
（2）探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
（3）拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
23. 综合与探究
综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．
【初步研究】
（1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____．
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长．
2025年初中学业水平模拟考试（一）
数学试卷
注意事项：
1．本试卷分第I卷和第II卷两部分，全卷共8页，清分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 3D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【详解】解：的相反数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键．
2. 2024年上半年数据显示，北斗系统的全球服务用户总数已达15亿，日服务请求量高达4500亿次，数据4500亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据4500亿用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 当，时，的值为（ ）
A. 1B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果．
【详解】解：
，
，
当，时，
，
原式=，
故选；．
5. “赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（ ）
A. 分析法B. 相似法C. 反证法D. 等面积法
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明．根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，即可证明勾股定理．
【详解】解：如图，
由题意得，，
整理得，
∴赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是等面积法，
故选：D．
6. 如图，点是的重心，，连接，并延长，分别交，于点，，连接，则的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查三角形的重心，关键是根据三角形的重心是三角形三边中线的交点解答．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点，进而利用三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点是的重心，
∴E点为的中点，D为的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
故选：B
7. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到，进而求解，即可解题．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数图象在一、三象限，
∴，
∴，
故选：D．
8. 晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片（其中有1名男性角色，2名女性角色），它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
【详解】解：把3张卡片中1名男性角色，2名女性角色分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的的结果有4种，
∴两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为．
故选：D．
9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程．
设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
【详解】解：设每天遗忘的百分比为，
则，
解得：．
故选：C．
10. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧与交于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，三角形外角的定义和性质等知识，设的长为，则．利用三角形外角的定义和的性质以及等腰三角形的判定以及性质得出，证明，利用相似三角形的性质得出，解出x即可得出答案．
【详解】解：设的长为，则．
，．
．
由作图可知，，
．
是的外角，
，
，
，
，
．．
，
，
即，
（负值已舍去）．
故选：B．
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 写出一个能与合并的实数：_____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简，能熟记同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式）是解此题的关键．根据同类二次根式的定义得出答案即可．
【详解】解：，
能与合并的实数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 若点在第四象限，则取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于是解题关键．根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于，纵坐标小于建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：点在第四象限，
，
解得：，
故答案为：．
13. 如图是一次函数的图象，则关于x的方程：的解是___________．
【答案】
【解析】
【分析】一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．
【详解】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（-2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝-2．
故答案为x＝-2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
14. 在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，同时考查了弧长公式和勾股定理．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用弧长求得弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．
【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板，
∴扇形的弧长为，
设圆锥的底面圆半径为r，
∴，
解得，
故圆锥的高为：，
故答案为：．
15. 如图，将沿矩形中过点的一条直线折叠，折痕交直线于点（点不与点重合），点的对称点落在矩形的对角线上，与交于点，连接．若，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，继而得到得出，得到计算即可得到答案．
【详解】在矩形中，，，
，
由折叠的性质可知，，
，
．
，
，
，即，
，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，进行计算即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后进行检验即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）
去分母，得：．
解得：，
检验：当时，．
是原方程的解．
17. 山西红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38元/箱，B品牌红富士苹果的价格为30元/箱．若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
【答案】30箱
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设购进品牌红富士苹果箱，则购进品牌红富士苹果箱，
．
解得．
答：最多可购进A品牌红富士苹果30箱．
18. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
（1）在以上成绩统计表中，_____，_____，_____．
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【答案】（1）6；7；7
（2）小明是甲组的学生，理由见解析
（3）选乙组参加决赛，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
，
乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
所以众数．
【小问2详解】
小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
【小问3详解】
选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．
19. 某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出．
【答案】去年的总产值为600万元，总支出为400万元
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，
设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元，
根据题意得
解得
答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元．
20. 亭是我国最具代表性的传统建筑形式之一，我国汉代便有十里一亭，十亭一乡的建制．如图，某小区的一凉亭可看作由等腰三角形和矩形构成，其中，横梁的长为，数学小组的同学用自制的测角仪在点处测量，发现凉亭顶端点、檐角点和点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，将测角仪往前移至点处，测得檐角点的仰角为，已知点到的距离．求凉亭的高度（精确到，参考数据：）．
【答案】5.2米
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线构造矩形，利用三角函数和几何图形的性质建立等式来求解线段长度．
首先设与的交点为，过点作于点构造矩形，利用矩形性质得，，．再根据等腰三角形的性质确定，然后分别在两个直角三角形中，利用已知的仰角和三角函数（正切函数）的定义，得到的长度，最后通过计算得出凉亭的高度．
【详解】解：如图，设与的交点为，过点作于点，
，，易得四边形是矩形，
，，，
为等腰三角形，
，
由题意可知，，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
．
答：凉亭的高度约为5.2米．
21. 阅读与思考
请阅读以下材料并完成相应的任务．
（1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．
（2）任务二：请你完成引理结论的证明过程．
【答案】（1）图见解析；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可；
（2）先由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角得到，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到，再根据弦与圆周角的关系推出，则可证明，得到．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：垂直且平分，
，
．
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键.
22. 综合与实践
【主题】大棚苗木种植方案设计
【素材】图是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为、宽为的矩形，其上半部分的形状是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面．
【素材】种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（苗木的数量为偶数个）．
【解决问题】
（1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图建立的平面直角坐标系，通过素材提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）．
（2）探究种植范围．在图的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．
（3）拟定种植方案．求出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）如图（见解析），先求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）求出当时，的值，再结合函数图象即可得；
（3）根据种植苗木的要求可得在距离轴的两侧开始种植，由此即可得．
【小问1详解】
解：如图，根据平面直角坐标系以及题意可知，点的坐标为，点的坐标为，
抛物线的顶点坐标为点，
可设抛物线的解析式为．
把点代入可得，
解得:，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
种植苗木时，每棵苗木高，
当时．
解得：，．
苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布，
种植点的横坐标的取值范围为．
【小问3详解】
由题意可知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，
在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植（棵），
则最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为．
23. 综合与探究
综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答．
【初步研究】
（1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____．
知识迁移】
（2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值．
【深入探究】
（3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长．
【答案】（1）1；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案；
（2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论；
（3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案．
【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴；
∴；
（2）解：作于点M，作于点N，记交点为，
则，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）当时，如图，过作平行线交的延长线于，过作于，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
同（2）可得：，
∴，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，
同理可得：，四边形为矩形，，，
∴，
设，则，，
∴，
解得：；
综上：为或．
【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形．
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：
①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接．
②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接．
引理的结论：．
组别
平均数
中位数
众数
方差
甲组
7
a
6
2.6
乙组
b
7
c
伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：
①如图，已知，C是弦上一点，作线段的垂直平分线，分别交于点D，于点E，连接．
②以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接．
引理的结论：．