江苏省盐城市第一次七校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份江苏省盐城市第一次七校联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共23页。试卷主要包含了 乘积的展开式中项数为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟.
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 乘积的展开式中项数为（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
2. 设是空间一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（ ）
A. B. C. D. 或
3. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
5. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
7. 如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ）

A. 28B. 29C. 30D. 31
8. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点，点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点所在曲线的大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若空间任意四点，则有
B. 单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直
C. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆
D. 若空间向量满足，则
10. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A 共有种排列方式．B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式．
C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式．D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式．
11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是
C. 若，则在平面上的投影向量可以是
D. 若是棱的一点，则异面直线与所成角余弦值的范围是
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线一个方向向量，且直线过和两点，则______.
13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种.
14. 如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后__________，线段的长是__________.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）解不等式：.
16. 已知空间中三点、、，设，.
（1）若向量与互相垂直，求的值；
（2）若，且与共线，求向量.
17. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱上一点，直线与所成角为.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角余弦值.
18. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列.
（1）求43251是这个数列的第几项；
（2）求这个数列的第26项；
（3）求这个数列的所有项的和.
19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，为上的点，且平面.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角大小的正切值；
（3）试探求点到平面的距离与四面体外接球半径的大小关系，并说明理由.
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盐城市2025年春学期高二年级七校联盟第一次联考
数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟.
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 乘积的展开式中项数为（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【答案】C
【解析】
【分析】采用分步乘法计数原理进行计算即可.
【详解】从第一个括号中选一个字母有2种方法，从第二个括号中选一个字母有4种方法，从第三个括号中选一个字母有5种方法，根据分步乘法计数原理可知共有项.
故选：C.
2. 设是空间的一组基底，则一定可以与向量，构成空间的另一组基底的向量是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据基底向量不共面分析即可.
【详解】因为是空间的一组基底，所以向量不共面，
而向量，，则，，
故，与或共面，则不与共面.
故选：C.
3. 已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量的减法及线性关系计算即可.
【详解】因为分别是的中点，
所以，
则.
故选：B.
4. 在空间直角坐标系Oxyz中，点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中点的坐标特征求解.
【详解】由题意得对称点的横坐标和竖坐标与点P的相同，纵坐标与点P的互为相反数，
所以点关于坐标平面Ozx对称的点的坐标为，
故选：C
5. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：D
6. 设是空间不共面的四点，且满足，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理证明内角都为锐角即可.
【详解】设，
因为，
所以，
因此
从而，
即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形，
故选：.
7. 如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ）

A. 28B. 29C. 30D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】先分类：第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色；第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得．
【详解】分2类（先涂前3个矩形，再涂后3个矩形．）：
第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色，有种涂法；
第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，有种涂法．
综上，不同的涂法和数为．
故选：C．
8. 如图所示，在正方体的侧面内有一动点，点到直线的距离与到直线的距离相等，则动点所在曲线的大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定点到直线的距离为,再根据抛物线定义确定轨迹形状，即可得结果.
【详解】因为在正方体中，侧面，
所以,即点到直线的距离为,
因为点到直线的距离与到直线的距离相等，
所以在侧面内，点到直线的距离等于,
由抛物线定义知，点轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线在侧面内部分曲线，
因为中点到直线的距离与到点的距离相等，所以抛物线过中点，
因为点到直线的距离与到点的距离相等，所以抛物线过点，
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若是空间任意四点，则有
B. 单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直
C. 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点轨迹是一个圆
D. 若空间向量满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据空间向量的加法计算判断A，再根据基底定义判断B，根据单位向量判断C，应用向量相等判断D.
【详解】对于A：若是空间任意四点，则有，A选项正确；
对于B：单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直，B选项正确；
对于C，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故C选项错误；
对于D，根据向量相等的定义，空间向量满足，则明显成立，故D选项正确.
故选：ABD
10. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有种排列方式．B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式．
C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式．D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式．
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可.
【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确；
B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，
故共有种情况，B错误；
C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，
再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确；
D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，
再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确.
故选：ACD
11. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是
C. 若，则在平面上的投影向量可以是
D. 若是棱的一点，则异面直线与所成角余弦值的范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由面面平行的判定定理可得平面平面，从而可得点Р的轨迹是线段，即可判断A，建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算即可判断B，求出向量在向量方向上投影向量即可判断C,结合选项B的建系，计算出异面直线与所成角余弦值即可判断D.
【详解】分别取棱，的中点M，N，连接，
易证，，
平面，平面，所以平面，
且平面，平面，所以平面，
又平面，则平面平面，
因为平面，且P是正方形内的动点，
所以点Р的轨迹是线段.
因为，所以，因为，所以，
故A正确.
以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系.
由题中数据可知，则
，，.
设平面CEF的法向量为，则，得.
设直线AР与平面CEF所成的角为，则.
因为，所以，所以，
所以，则，故B正确.
由选项B知，，.
所以向量在向量方向上投影向量为：,
又因为，当，即时，取等号，所以在平面上的投影向量可以是，故C正确；
由选项B建系可知，若是棱的一点，则令，则，
所以，
所以，故D错误；
故选：ABC
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的一个方向向量，且直线过和两点，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】直线的一个方向向量且过和，有 、共线即有，列方程求参数y、z进而求得
【详解】∵由和，有
又，直线的一个方向向量为
∴可设
有，解得
∴
故答案为：0
【点睛】本题考查了应用向量共线求空间向量坐标参数；结合直线方向向量与其上两点所表示向量共线，求坐标参数
13. 《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有__________种.
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数.
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为种.
故答案为：.
14. 如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后__________，线段的长是__________.

【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】第一空，先转化向量，再利用向量数量积求解；第二空，先作，再根据二面角为得最后根据，利用向量平方求结果.
【详解】第一空，因为矩形，
所以
第二空，分别过作，分别交于，

因为二面角为，所以平面平面，
又平面平面,平面所以平面，
因为平面,所以，
因为矩形，所以，
同理可得，
因为
所以
故答案：，.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）计算：；
（2）解不等式：.
【答案】（1）64；（2）3或4
【解析】
【分析】（1）利用排列数公式计算即可；
（2）根据排列数公式运算求解即可.
【详解】（1）.
（2）因为，可知，且，
整理可得，解得，
且，所以或.
16. 已知空间中三点、、，设，.
（1）若向量与互相垂直，求的值；
（2）若，且与共线，求向量
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可；
（2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标.
【小问1详解】
由题意可得，，
所以，，
因为向量与互相垂直，则，解得.
【小问2详解】
由题意可得，则，
因为与共线，设，其中，则，解得，
当时，；当时，.
综上所述，或.
17. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱上一点，直线与所成角为.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，由此能求出与平面所成角的正弦值．
（2）先求出平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算最后结合角的范围即可解题.
【小问1详解】
以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为2，设，
则，
则，
因为直线与所成角为，所以，
化简得，计算得，
所以，
设平面的法向量，
则，取，得，
设与平面所成角为θ，
．
∴与平面所成角的正弦值为．
【小问2详解】
设平面的法向量，
则设二面角为，
得，
因为为锐角，所以.
18. 把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由大到小的顺序排成一个数列.
（1）求43251是这个数列的第几项；
（2）求这个数列的第26项；
（3）求这个数列的所有项的和.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定首位为时数列个数，再确定首位为，千位为时数列个数，依次往下分析，直至43251，即可得结果；（2）由于首位为时数列个数已经有项，只需往下数两项即可；（3）先分析数字出现在各位数的个数，再相加即得结果.
【小问1详解】
首位为时,共有项，
首位为，千位为时，共有项，
首位为，千位为，百位为时，共有项，再往下就是
所以是数列第项，
【小问2详解】
首位为时,共有项，再往下就是
因此这个数列的第26项是，
【小问3详解】
首位为时,各出现次，其和为，
千位为时,各出现次，其和为，
百位为时,各出现次，其和为，
十位为时,各出现次，其和为，
个位为时,各出现次，其和为，
因此所有项的和为
19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2正方形，平面底面，为上的点，且平面.

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角大小的正切值；
（3）试探求点到平面的距离与四面体外接球半径的大小关系，并说明理由.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而⊥，又平面，所以，得到⊥平面，得到面面垂直；
（2）作出辅助线，证明出线线垂直，得到或其补角为二面角的平面角，求出各边长，得到正切值；
（3）作出辅助线，由等体积法求出点到平面的距离，并找到四面体的外接球球心，求出半径，比较出大小.
【小问1详解】
因为底面是边长为2的正方形，
所以⊥，
因为平面底面，交线为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以平面⊥平面；
【小问2详解】
连接，交于点，连接，

因为底面是边长为2的正方形，
所以⊥，由勾股定理得，故，
因为平面，平面，
所以，，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，
所以或其补角为二面角的平面角，
由（1）知，⊥平面，
平面，所以⊥，
又，，由勾股定理得，
由（1）知，⊥平面，平面，故⊥，
由勾股定理得，
所以，
因为，故，
所以，
所以二面角大小的正切值为；
【小问3详解】
，理由如下：

取的中点，连接，，，
因为，所以⊥，故为三棱锥的高，
又⊥，所以，
，
由得，
由勾股定理逆定理得⊥，
所以，
所以点到平面的距离，
因为为中点，所以，，
故⊥平面，因为平面，所以⊥，
由勾股定理得，
又，故点为四面体外接球球心，
故外接球半径，
显然，故.