四川省南充市顺庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份四川省南充市顺庆区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版），共28页。
2．答题前将姓名、座位号、准考证号填在答题卡指定位置．
3．所有解答内容均需涂、写在答题卡上．
4．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂．
5．非选择题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 车辆的三角警示牌能收纳，说明三角形不具有稳定性
B. 三角形的角平分线、高、中线都是线段
C. 钝角三角形的三条中线和三条高都在其内部
D. 五边形的外角和与内角和相等
4. 若把分式中和都扩大倍，那么该分式的值（ ）
A. 扩大为原来的倍B. 缩小为原来的
C. 缩小为原来的D. 不变
5. 下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（ ）
A. ①和②B. ①和③C. ②和④D. ③和④
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
7. 已知，现将一直角三角板（，）按如图所示的位置摆放，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，将折叠使点落在处，折痕为，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. “洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，幻方正来源于此，它被世界公认为组合数学的鼻祖，是中华民族对人类作出的一项伟大贡献．如图，将1，3，4，7填入图中使其成为幻和为15的三阶幻方（各行、各列及两条对角线所含的3个数之和为15），则的值为（ ）
A. 64B. C. 8D.
10. 如图，有两张边长分别为的正方形纸片，按图，图两种方式放置在同一长方形内（该长方形的长比宽多，两种方式中正方形纸片均有部分是重叠的，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为．则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 若分式值等于，则的值为______．
12. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：______．
13. 如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是______．（填写序号）
14. 规定：若且，则．根据该规定，的值为______．
15. 如果，则的值等于______．
16. 三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在中，，则的面积为______．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 先化简，然后从，0，1，2四个数中选取一个适当的数作为x的值再代入求值．
19. 如图，在中，平分，G为边上的一点，过点G作的平行线交于E，交的延长线于F．若，求的度数．
20. （1）分解因式：
（2）解分式方程：
21. 数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远．例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．

（1）由图2，你能得到的数学等式为： ；
（2）观察图3，解决以下问题：若，求的值．
22. 如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
23. 2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球．这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同．
（1）求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？
（2）航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案．
24. 如图，已知和都等边三角形，且B、C、E三点共线，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）试问之间有何数量关系，请说明理由．
25. 如图，在平面直角坐标系中，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限内，顶点A的坐标为，，且，P为线段上一点（不与端点重合）．
（1）如图1，当时，过点B作垂直于x轴，垂足D，连接．
①求证：；
②求的度数；
（2）如图2，若平分，M为线段（不含端点）上一动点，N为线段（不含端点）上一动点，连接．请在图3中作出点M、N使得的周长值最小，试猜想周长的最小值与线段的大小关系，并说明理由．
2024—2025学年度（上）期末教学质量监测八年级数学试卷
注意事项：
1．考试时间120分钟，试卷满分150分．
2．答题前将姓名、座位号、准考证号填在答题卡指定位置．
3．所有解答内容均需涂、写在答题卡上．
4．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂．
5．非选择题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）
1. 以下四款手机图样中，从整体外观上看，在美学设计上运用轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．
本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴符合题意；
∵不是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂乘方，积的乘方，零指数幂，同底数幂的除法计算判断即可．
【详解】解：A. ，正确，符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. 错误，不符合题意；
D. 错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方，零指数幂，同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键．
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 车辆的三角警示牌能收纳，说明三角形不具有稳定性
B. 三角形的角平分线、高、中线都是线段
C. 钝角三角形的三条中线和三条高都在其内部
D. 五边形的外角和与内角和相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性，三角形高线，中线，角的平分线的性质，多边形的外角和，内角和定理解答即可．
【详解】解：A. 车辆的三角警示牌能收纳，说明三角形具有稳定性，
故原说法错误，不符合题意；
B. 三角形的角平分线、高、中线都是线段
故原说法正确，符合题意；
C. 钝角三角形的三条中线在形内，一条高在其内部，两条在形外，
故原说法错误，不符合题意；
D. 五边形的外角和，内角和，不相等，
故原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，三角形高线，中线，角的平分线的性质，多边形的外角和，内角和定理，钝角三角形的高线分布，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
4. 若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（ ）
A. 扩大为原来的倍B. 缩小为原来的
C. 缩小为原来的D. 不变
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，通过分式的基本性质可对变形后的分式进行化简．先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可．
【详解】解：分式中，和都扩大倍，则分式的值为：，
即该分式的值缩小为原来的
故选：C．
5. 下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（ ）
A. ①和②B. ①和③C. ②和④D. ③和④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等形．据此即可解答．
【详解】解：图③和④是全等形．
故选：D
6. 已知，，则的值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式．先把的左右两边同时平方，然后利用完全平方公式展开，即可求出即可．
【详解】解：，，
，
∴，
∴，
∴，
．
故选：D．
7. 已知，现将一直角三角板（，）按如图所示的位置摆放，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了对顶角的性质，四边形的内角和，掌握对顶角相等以及四边形内角和是是解题的关键．
根据对顶角相等以及四边形内角和是进行计算即可．
【详解】解：如图，
四边形的内角和是，
∴，
∵，，， ，
∴，
∴，
故选：．
8. 如图，将折叠使点落在处，折痕为，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解．
【详解】解：如图，
由折叠性质可知，，
∵，，
∴，
∴，
故选：．
9. “洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，幻方正来源于此，它被世界公认为组合数学的鼻祖，是中华民族对人类作出的一项伟大贡献．如图，将1，3，4，7填入图中使其成为幻和为15的三阶幻方（各行、各列及两条对角线所含的3个数之和为15），则的值为（ ）
A. 64B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值．根据“各行、各列及两条对角线所含的3个数之和为15”求得a、b、c、d的值，再代入计算即可．
【详解】解：根据题意可得，，
，，
∴，
故选：D．
10. 如图，有两张边长分别为的正方形纸片，按图，图两种方式放置在同一长方形内（该长方形的长比宽多，两种方式中正方形纸片均有部分是重叠的，未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若设图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为．则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法与图形的面积，解题的关键是得到图中阴影部分的面积与图中阴影部分的面积．
令该长方形长为，宽为，根据图形分别表示出和，然后相减即可．
【详解】解：令该长方形长为，宽为，则，
∴，
∴
，
∴，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 若分式的值等于，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义和分式的值为的条件可得，据此解答即可求解，掌握分式有意义和分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
12. 已知a，b，c是三角形的三边长，化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系、绝对值、整式的加减应用，熟练掌握以上知识点，学会利用三角形三边关系正确去掉绝对值符号是解题的关键．先根据三角形的三边关系得出，，再去掉绝对值符号合并即可解答．
【详解】解：，b，c是三角形的三边长，
，，
，，
．
故答案为：．
13. 如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是______．（填写序号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握判定三角形全等的方法．根据全等三角形的判定与性质逐一进行判断即可．
【详解】解：，
在和中
，故正确；
，
．
在和中
，故正确；
在和中
．
．
在和中
，故正确；
在和中，
．
．
在和中
，故正确；
能作为添加条件的是．
故答案为：．
14. 规定：若且，则．根据该规定，的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查新定义运算、有理数的乘方运算，解题的关键是理解的含义．求出3的几次方等于9即可．
【详解】解：∵且，则，
而，
，
故答案：2．
15. 如果，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则与运算率进行分式的化简求值是解题的关键．
先得到，然后把分式得分子、分母，同时除以，再把代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 三角形在几何学中有着举足轻重的地位，其研究历史可以追溯到古代，人们为了测量天体位置制定天文历法，在农业生产上为了丈量土地大小，发展了最初解决三角形问题的理论和方法．请根据所学知识解决下面问题：如图，在中，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作交于点，可证是等腰直角三角形，过点作于，由三线合一可得：，证明得，进而可求出的面积．
【详解】解：过点作交于点，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
过点作于，
∴
过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故面积为：，
故答案为．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据积的乘方，整式的加减解答即可．
（2）根据平方差公式，完全平方公式，整式的加减解答即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方，平方差公式，完全平方公式，整式的加减，熟练掌握公式是解题的关键．
18. 先化简，然后从，0，1，2四个数中选取一个适当的数作为x的值再代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，0，
∴把代入得：原式．
19. 如图，在中，平分，G为边上的一点，过点G作的平行线交于E，交的延长线于F．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线性质和三角形内角和定理．
根据两直线平行，内错角相等；三角形内角和为，即可求出的度数．
【详解】解：平分,
,
,
,
．
．
．
．
20. （1）分解因式：
（2）解分式方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，解分式方程．
（1）先提取公因式，再用平方差公式分解；
（2）方程两边都乘以化为整式方程求解，然后检验．
【详解】解：（1）原式
（2）方程两边都乘以，得
检验：当时，，
故原分式方程的解为．
21. 数形结合是一种重要的数学思想．《周髀算经》中记载有“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，这表明当时人们已经将几何与代数结合在一起研究，其意义重大、影响深远．例如，对于等式，可由图1进行解释：整个大长方形的长为，宽为a，其面积可用长乘以宽得到，也可用1个小正方形的面积与2个小长方形的面积之和来表示．

（1）由图2，你能得到的数学等式为： ；
（2）观察图3，解决以下问题：若，求的值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积：
（1）两种方法表示出整个长方形的面积，即可得出结果；
（2）两种方法表示出整个正方形的面积，得到关系式，变形求值即可．
【小问1详解】
解：由图2可得：；
故答案为：
【小问2详解】
由图3，可得到：
，
，
，
，
．
22. 如图，在和中，，点、、、在同一条直线上，且，．
（1）求证：；
（2）若，，，求长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．
（1）根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出，进而可得答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
23. 2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰”的九天无人机，它首次亮相便震撼全球．这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同．
（1）求A款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？
（2）航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案．
【答案】（1）A款无人机模型的单价是1500元，B款无人机模型单价是900元
（2）购买方案为：A款无人机模型3架，B款无人机模型15架；A款无人机模型6架，B款无人机模型10架；A款无人机模型9架，B款无人机模型5架
【解析】
【分析】本题考查分式方程解决实际问题，二元一次方程解决实际问题．
（1）设A款无人机模型的单价是x元，则B款的单价为元，根据“用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同”列出方程，求解并检验即可解答；
（2）设购买A款型无人机模型m架，B款无人机模型n架，根据“用18000元购买无人机模型，要求A、B两款模型都要购买且钱刚好用完”列出二元一次方程，根据题意求出其正整数解，即可解答．
【小问1详解】
解：设A款无人机模型的单价是x元，则B款的单价为元．根据题意，得
方程两边乘，得，
解得，
经检验：时，
是该分式方程的解．
则B款无人机模型单价是：（元）
答：A款无人机模型的单价是1500元，B款无人机模型单价是900元．
【小问2详解】
解：设购买A款型无人机模型m架，B款无人机模型n架，根据题意，得
．
∵m、n均为正整数
或10或15；
此时或6或3
综上，购买方案为：
A款无人机模型3架，B款无人机模型15架；
A款无人机模型6架，B款无人机模型10架；
A款无人机模型9架，B款无人机模型5架．
24. 如图，已知和都是等边三角形，且B、C、E三点共线，交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）试问之间有何数量关系，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），见解析
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，第二问通过添加辅助线构造等边三角形是解题的关键．
（1）结合等边三角形的性质证明，推出，即可证明；
（2）在上截取，连接，先证是等边三角形，再证，推出，即可得出．
【小问1详解】
证明： 和都是等边三角形，
，．
，
即：．
在和中，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：之间的数量关系为：，
理由如下：
在上截取，连接，
（已证），
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
在和中，
．
，
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限内，顶点A的坐标为，，且，P为线段上一点（不与端点重合）．
（1）如图1，当时，过点B作垂直于x轴，垂足为D，连接．
①求证：；
②求的度数；
（2）如图2，若平分，M为线段（不含端点）上一动点，N为线段（不含端点）上一动点，连接．请在图3中作出点M、N使得的周长值最小，试猜想周长的最小值与线段的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；②
（2）相等，见解析
【解析】
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）①利用全等三角形的性质证明，再证明可得结论；
②证明，都是等腰直角三角形即可；
（2）作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小．求出，的长可得结论．
【小问1详解】
①证明：如图1中，轴于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
②解：，
，，
，
，即，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于点，交于点，连接，，此时的周长最小．
结论：的周长的最小值．
理由：过点作于．
在中，，，
，，，
平分，
，
，
，
，，
，关于对称，，关于对称，
，，，
，
，，
，
的周长的最小值的长，
的周长的最小值．
8
a
b
c
5
9
6
d
2
8
a
b
c
5
9
6
d
2