高考数学2025 等差数列、等比数列综合运用 专项训练15（word版）

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【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．978B．557C．467D．979
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A．B．C．D．58
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·全国·高三专题练习）数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．4或5D．5或6
例6．（2022·浙江·高三专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列， 从第5项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数m ，使得．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8B．9C．11D．10
3．（2022·浙江·高三专题练习）2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）
A．2655万元B．2970万元C．3005万元D．3040万元
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，若，，成等比数列，则（ ）
A．11B．13C．15D．17
5．（2021·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列．其前项和为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2019·山东·青岛二中高三阶段练习（文））已知为等差数列，为等比数列，其公比且，若，，则（ ）
A．B．
C．D．或
7．（2021·广东·红岭中学二模）已知等差数列的公差为，且、、成等比数列，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2021·北京育英中学高三阶段练习）已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是（ ）
A．B．C．或D．
9．（2020·宁夏·银川二中一模（理））设等比数列的前项和为,已知成等差数列,且,则（ ）
A．3B．6C．8D．9
二、多选题
10．（2020·江苏南通·高三期中）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列
B．若数列的前项和，则数列为等差数列
C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；
11．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有
A．数列的前10项和为100
B．若成等比数列，则
C．若，则n的最小值为6
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
13．（2019·江苏·无锡市第一中学高三开学考试）设等比数列的前项和为.若，，成等差数列，且，则的值为________．
14．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
15．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））设数列是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则________.
16．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列中，，，成等差数列，则_______.
17．（2022·浙江·高三专题练习）为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．
18．（2021·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列，记是数列的前n项和，则________.
19．（2021·河南·高三阶段练习（理））设为等比数列的前n项和，若，且成等差数列，则_________.
20．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三阶段练习（理））若数列是等差数列，，满足，且，则数列的通项公式为______.
四、解答题
21．（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知Sn是等差数列的前n项和，从以下3个条件中任选一条，回答问题.①，，②公差，③，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足公比，，求数列的前n项和.
22．（2021·黑龙江·牡丹江一中高三期中（理））已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.
23．（2021·广东惠州·一模）已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
24．（2021·江苏·高三开学考试）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为．
（1）若，求m的值；
（2）求的值．
25．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证:
26．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列满足，且、、成等比数列，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
27．（2022·浙江·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，=1，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
28．（2022·全国·高三专题练习）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.