（暑假班）（人教A版）高二数学暑假讲义第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2023·江苏扬州·高二统考开学考试）双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
所以．
故选：C．
2．（2023·全国·高二专题练习）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作于Q．则线段FQ的垂直平分线（ ）
A．经过点OB．经过点PC．平行于直线OPD．垂直于直线OP
【答案】B
【解析】连接PF，由题意及抛物线的定义可知，
则为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P．
故选：B．
3．（2023·高二课时练习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由题意知，，，所以，，
∴，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.
∴椭圆方程：或
故选：C
4．（2023·江苏镇江·高二统考期中）青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示，
设抛物线的方程为，其焦点为，
碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
设，过中点作轴，
由抛物线的定义可得，解得，
所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.
故选：B.

5．（2023·江西萍乡·高二统考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，
腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，
而椭圆的短轴长，即，
所以椭圆的离心率
故选：D
6．（2023·高二课时练习）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，若P，Q在抛物线准线上的射影为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于为焦半径，
所以，
题中求的是角，故把边转化到角，如图，

则，
，
，
又，
所以，
，从而.
故选：C
7．（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】抛物线的方程为，则其焦点，
设直线的方程为，
由，可得：，
，，
根据抛物线定义，，
因为，所以，
所以
即，解得：.
故选：B.
8．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，右支上一点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，则，即，
渐近线方程为，即，
则点到双曲线的两条渐近线的距离分别为：，
因为，则，
可得，即，
又由，可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点并且倾斜角为0°的直线方程为
B．双曲线的渐近线方程为
C．点关于的对称点坐标为
D．抛物线的准线方程是
【答案】BC
【解析】对A，过点并且倾斜角为0°的直线方程为，故错误；
对B，双曲线的渐近线方程为，故正确；
对C，设点关于的对称点坐标为，则由解得，故正确；
对D，抛物线，，准线方程为，故错误.
故选：BC
10．（2023·山西晋中·高二统考期末）关于、的方程表示的轨迹可以是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．直线D．抛物线
【答案】BC
【解析】当时，该方程表示的轨迹是直线；
当时，该方程表示的轨迹是直线；
当且时，原方程可化为.
当或时，，该方程表示的轨迹是双曲线；
当，又，则，此时方程为，该方程表示圆；
综上所述，方程所表示的曲线不可能是椭圆或抛物线.
故选：BC.
11．（2023·广西·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与双曲线C的一个焦点重合，点P是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的周长为16
C．的面积为D．
【答案】AB
【解析】由已知，双曲线右焦点，即，故A项正确．且抛物线方程为．
对于B项，联立双曲线与抛物线的方程，
整理可得．，解得或（舍去负值），
所以，代入可得，．
设，又，所以，，，则的周长为16，故B项正确；
对于C项，易知，故C项错误；
对于D项，由余弦定理可得，，故D项错误．
故选：AB

12．（2023·山西大同·高二统考期末）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（ ）
A．当与轴垂直时，最小B．
C．以弦为直径的圆与直线相离D．
【答案】ABD
【解析】

如图，设直线为，
联立，
得，即，
所以，，
故D正确，
，
将代入得，
故当时，取得最小值，此时直线与轴垂直，故A正确，
，
代入，，
得，故B正确，
设的中点为，则以弦为直径的圆的圆心为，半径为
分别过作抛物线的垂线，垂足分别为,
由抛物线的定义知，，
则,
故以弦为直径的圆与直线相切，C错误，
故选：ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江苏镇江·高二统考期中）双曲线：（，）的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】由已知可得双曲线的焦点坐标为，渐进线方程为，
则点到渐近线，即的距离.
又因为，所以，
所以，双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
14．（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.
【答案】/
【解析】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
15．（2023·高二单元测试）如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

【答案】
【解析】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，
又由，可得，
根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，
所以.
故答案为：.
16．（2023·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为__________.
【答案】/
【解析】由题意椭圆C：，M为椭圆C上任意一，
N为圆E：上任意一点，

故，当且仅当共线时等号成立，
故
，
当且仅当共线时等号成立，
而，故，
即的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·山西晋中·高二统考期末）抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【解析】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是，，，.
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，
根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，
与抛物线联立，得关于的一元二次方程，
则，设、，
则，，，
，
则，
线段的中点坐标为，中垂线方程为，
令，解得，即中垂线与轴交于，
所以，则.

18．（12分）
（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知双曲线，焦点为，其中一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线交于两点，若的面积为，求正实数的值.
【解析】（1）由条件知，，
故.
即双曲线标准方程为.
（2）设，到直线的距离为，
联立得，
由，解得，
又，故，
而又由，
故弦长，，
又，
解得，，
又，故.
19．（12分）
（2023·高二课时练习）已知椭圆的焦点分别是，点分别为椭圆的长轴端点，点B为椭圆的短轴端点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)求点B与两点，的连线的斜率的乘积；
(3)设点P在这个椭圆上，且，求的长．
【解析】（1）因为椭圆的焦点分别是，所以
又因为，，联立可得，，
所以椭圆的方程为；
（2）由分别为椭圆的长轴端点，所以不妨设，，
由点B为椭圆的短轴端点，所以或，
当时，，，
所以，
当时，，，
所以，
所以点B与两点的连线的斜率的乘积为；
（3）因为点P在这个椭圆上，所以，由小问（1）知，
所以，又，联立可得.
20．（12分）
（2023·山东青岛·高二统考期中）已知点，，中，只有一点不在抛物线上.
(1)求W的方程；
(2)若直线与W相切，证明：.
【解析】（1）若点A、C在上，则，，解得，
此时，点B不在W上；
若点A、B在上，则，，无解；
若点B、C在上，则，，无解；
综上，W的方程为.
（2）由题知，将代入得：，
所以，即，
所以.
21．（12分）
（2023·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)，直线过点交于，两点.并且，求直线方程.
【解析】（1）因为,
所以由椭圆的定义可知，轨迹是以点，为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，
则，∴，
又∵，则，
∴椭圆的方程为；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立方程，消去得：，
设，，则，，
∵，即，∴，即，
∴，，∴，且，
∴，解得，
∴直线方程为或.
22．（12分）
（2023·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，
①求的取值范围；
②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.
【解析】（1）由题意可得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线，
联立消去整理可得，
则，又 ，，
①因直线与双曲线交于两支，所以且，
即；
②设，
令，则
，
所以直线过定点.