2025年上海市闵行区中考数学一模试卷

这是一份2025年上海市闵行区中考数学一模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列运动中，能改变图形大小的是（ ）
A．平移B．旋转C．翻折D．放缩
2．（4分）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DE∥BC的是（ ）
A．DEBC=ADABB．CEEA=CFFBC．ADAE=ABACD．BDDA=BFFC
3．（4分）二次函数y＝ax2﹣2（a≠0）图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
4．（4分）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（ ）
A．i＝1：1.5B．i＝1：2C．i＝1：3D．i＝1：3.5
5．（4分）形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是（ ）
A．点D是边BC的黄金分割点
B．点D是边BC的中点
C．AD是边BC上的高
D．AD是∠BAC的平分线
6．（4分）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠D＝60°
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果ab=32，那么2aa−b的值为 ．
8．（4分）已知f（x）＝2x2﹣1，那么f(−3)= ．
9．（4分）已知两个相似三角形对应高之比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为 ．
10．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a 0．（填“＜”或“＞”）
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，csA=25，那么直角边AC长为 ．
12．（4分）圆柱的体积V的计算公式是V＝πr2h，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的 函数．
13．（4分）已知点A（2，﹣1）和B（m，﹣1）是抛物线y=12(x+1)2+k上的两点，那么m的值是 ．
14．（4分）用含特殊锐角的三角比的式子表示：2= ．
15．（4分）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是 .（不写定义域）
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 ．
17．（4分）如图，点D、E分别是线段BC和AC的中点，AD、BE交于点O，且AD⊥BE，BC＝22，AC＝16，那么OD长是 ．
18．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且FEDF=32，如果△AFE与△DFB相似，那么DEAB的值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：41+3−(cs30°)−1+|−tan45°|+π0．
20．（10分）已知：如图，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AD、BC交于点P，OBOA=ODOC=53.设OA→=a→，OC→=b→．
（1）AC→= ，BD→= （结果用含向量a→、b→的式子表示）
（2）由（1）可知AC→与BD→是 向量．
（3）如果|AP→|=6，那么|DA→|= ．
21．（10分）如图，已知直线y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=kx在第一象限分支交于点C，过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，OB＝2OD．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求k的值；
（3）求sin∠ACO的值．
22．（10分）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨OA和OB、支伞骨CM和DM以及伞柄OH组成，伞柄OH（OH＞OA）垂直于地面且平分∠AOB，OA＝OB＝l厘米，OC＝OD=15OA，OH＝h厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点M在伞柄OH上的位置来确定∠AOB的大小．当点C、M、D三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时∠AOB达到最大为150°．
（1）当OA＝OB＝120厘米，
i）在遮阳伞完全打开时，求A、B之间的距离．
ii）在伞打开的过程中（∠AOB从0°变到150°），点M上升了 厘米．
（2）设∠AOB的度数为2α（0＜α＜75°），在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面EF长为 （用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长，你的建议是 ．
（参考数据：sin75°=6+24，cs75°=6−24，tan75°=2+3，计算结果保留根号）
23．（12分）如图：在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ADC，且BD＝AD，点E在线段BD上且DE＝DC，联结AE并延长交BC于点F，联结CE并延长交AB于点G．
（1）求证：AE＝BC；
（2）求证：AG•EF＝FC•BG．
24．（12分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到新抛物线C2，新抛物线C2的顶点为Q，与抛物线C1的交点为点B，如果四边形PABQ是平行四边形，求m、n之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与直线AP交于点E，与抛物线C1交于点F，且S△PEQ：S△BFQ＝3：1，求此时抛物线C1上落在平行四边形PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标t的取值范围．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＞90°，点D在边AC上，直线l经过点D，与线段AB交于点E，且点A关于l的对称点A′在射线AB上．
（1）如图2，当点A′与点B重合时，求证：BC2＝AD•AC；
（2）当点A′在线段AB的延长线上时，联结A′C，BC交A′D于点F．
i）当直线BC经过△A′CD的重心时，求CFAA′的值；
ii）如果△A′FC是直角三角形且AB＝2BA′，求∠A的正切值．
2025年上海市闵行区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列运动中，能改变图形大小的是（ ）
A．平移B．旋转C．翻折D．放缩
【分析】根据平移，旋转，翻折，放缩的性质判断即可．
【解答】解：平移，旋转，翻折不改变图形的大小，放缩可以改变图形的大小．
故选：D．
【点评】本题考查几何变换类型，解题的关键是掌握平移，旋转，翻折，放缩的性质．
2．（4分）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，下列条件能判定DE∥BC的是（ ）
A．DEBC=ADABB．CEEA=CFFBC．ADAE=ABACD．BDDA=BFFC
【分析】利用平行线分线段成比例定理判断即可．
【解答】解：A、DEBC=ADAB，不能判断DE∥BC，本选项不符合题意；
B、CEEA=CFFB，可以判断EF∥AB，不能判断DE∥BC，本选项不符合题意；
C、ADAE=ABAC，即ADAB=AEAC，能判断DE∥BC，本选项符合题意；
D、BDDA=BFFC，可以判断DF∥AC，不能判断DE∥BC，本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
3．（4分）二次函数y＝ax2﹣2（a≠0）图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2（a≠0）图象的对称轴为直线x＝0确定顶点坐标即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2（a≠0）图象的对称轴为直线x＝0，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴二次函数y＝ax2﹣2（a≠0）图象的顶点坐标是（0，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质并灵活运用．
4．（4分）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高CD为2米，平台BC的长为1米，用7米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡AB的坡比是（ ）
A．i＝1：1.5B．i＝1：2C．i＝1：3D．i＝1：3.5
【分析】过点B作BE⊥AD于E，根据矩形的性质求出BE，根据题意求出AE，再根据坡比的概念计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于E，
则四边形BEDC为矩形，
∴BE＝CD＝2米，
由题意得：AE＝7﹣2﹣1＝4（米），
∴斜坡AB的坡比是：BE：AE＝2：4＝1：2，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
5．（4分）形状与大小都确定的一个锐角三角形ABC，点D是边BC上一点，下列条件不能唯一确定△ABD与△ADC面积的比值的是（ ）
A．点D是边BC的黄金分割点
B．点D是边BC的中点
C．AD是边BC上的高
D．AD是∠BAC的平分线
【分析】根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、点D是边BC的黄金分割点，而BC的黄金分割点有两个，所以△ABD与△ADC面积的比值不唯一，故A符合题意；
B、∵点D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴△ABD与△ADC面积的比值为1，
故B不符合题意；
C、∵AD是边BC上的高，
∴△ABD与△ADC面积的比值为BD：CD，
故C不符合题意；
D、∵AD是∠BAC的平分线，
∴△ABD与△ADC面积的比值为AB：AC，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（4分）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，下列条件能使四边形ABCD成为“全相似四边形”的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．∠D＝60°
【分析】如图，连接AC，BD交于点O．证明△ABC≌△ADC（SSS），推出∠ABC＝∠ADC，再证明当∠ABC＝90°时符合题意即可．
【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O．
在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC＝∠ADC，
当∠ABC＝90°时，∠ADC＝90°，
∵AB＝AD，BD＝DC，
∴AC⊥BD，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠ACB+∠BAO＝90°，
∴∠ABO＝∠ACB，
∵∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴△AOB∽△BOC，同法可证△AOD∽△DOC，
故选项B符合题意．
当∠A＝90°或∠C＝90°或∠D＝60°时不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果ab=32，那么2aa−b的值为 6 ．
【分析】利用设k法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵ab=32，
∴设a＝3k，b＝2k，
∴2aa−b=6k3k−2k=6kk=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8．（4分）已知f（x）＝2x2﹣1，那么f(−3)= 5 ．
【分析】将x=−3代入f（x）计算即可．
【解答】解：f（−3）＝2×（−3）2﹣1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查函数值，掌握代入自变量的值求函数值的方法是解题的关键．
9．（4分）已知两个相似三角形对应高之比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为 4：9 ．
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，
∴这两个三角形的相似比为4：9，
∴这两个相似三角形的周长比为4：9；
故答案为：4：9．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
10．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a ＞ 0．（填“＜”或“＞”）
【分析】由抛物线在对称轴左侧的部分是上升的可得出抛物线开口向下，进而即可得出a＞0，此题得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴抛物线开口向上，
∴a＞0．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记二次函数的性质是解题的关键．
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，csA=25，那么直角边AC长为 4 ．
【分析】根据余弦定义求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，csA=25，
∴ACAB=AC10=25，
∴AC＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（4分）圆柱的体积V的计算公式是V＝πr2h，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的 正比例 函数．
【分析】由正比例函数的定义，即可得到答案．
【解答】解：V＝πr2h，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数．
故答案为：正比例．
【点评】本题考查函数的概念，常量与变量，关键是掌握正比例函数的概念．
13．（4分）已知点A（2，﹣1）和B（m，﹣1）是抛物线y=12(x+1)2+k上的两点，那么m的值是 ﹣4 ．
【分析】利用二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵点A（2，﹣1）和B（m，﹣1）是抛物线y=12(x+1)2+k上的两点，
∴点A（2，﹣1）和B（m，﹣1）关于对称轴对称，
∵抛物线y=12(x+1)2+k的对称轴为直线x＝﹣1，
∴2+m2=−1，
∴m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
14．（4分）用含特殊锐角的三角比的式子表示：2= sin45°sin30°（答案不唯一） ．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：∵sin30°=12，sin45°=22，
∴2=sin45°sin30°（答案不唯一）．
故答案为：sin45°sin30°（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．（4分）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为x，如果设12月份比10月份多印了y万册，那么y关于x的函数解析式是 y＝x2+40x .（不写定义域）
【分析】根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案．
【解答】解：根据题意得：y＝20（1+x）2﹣20＝20x2+40x，
故答案为：y＝20x2+40x．
【点评】本题主要考查了平均增长率的问题，需注意第12月的印数量是在第10个月的印数量的基础上增加的，可以用公式a（1±x）2＝b来解题．
16．（4分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点A、B在抛物线y＝x2上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），b的值为 2 ．
【分析】利用“k型全等”求得B点的坐标，代入y＝x2即可求解．
【解答】解：过B作BE⊥y轴于E，过A作AD⊥y轴于D，
在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，则AC＝BC，
∵A、B两点的横坐标分别为1和b（b＞1），
∴AD＝1，BE＝b，
∵点A、B在抛物线y＝x2上，
∴A（1，1），B（b，b2），
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∴△BEC≌△CDA（AAS），
∴CE＝AD＝1，CD＝BE＝b，
∴OE＝OD+CD+CE＝1+b+1＝2+b，
∴b2＝2+b，
整理b2﹣b﹣2＝0，
解得：b＝2或﹣1（舍去），
∴b的值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形解题是关键．
17．（4分）如图，点D、E分别是线段BC和AC的中点，AD、BE交于点O，且AD⊥BE，BC＝22，AC＝16，那么OD长是 3 ．
【分析】连接AB、DE，由三角形中位线定理推出DE∥AB，DE=12AB，判定△DOE∽△AOB，推出OD：OA＝OE：OB＝DE：AB＝1：2，设OD＝x，OE＝y，由勾股定理得到x2+（2y）2＝112，y2+（2x）2＝82，求出x＝3（舍去负值），得到OD＝3．
【解答】解：连接AB、DE，
∵D、E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=12AB，
∴△DOE∽△AOB，
∴OD：OA＝OE：OB＝DE：AB＝1：2，
设OD＝x，OE＝y，则AO＝2x，OB＝2y，
∵AD⊥BE，
∴OD2+OB2＝BD2，OE2+AO2＝AE2，
∵BD=12BC=12×22＝11，AE=12AC=12×16＝8，
∴x2+（2y）2＝112，y2+（2x）2＝82，
∴x＝3（舍去负值），
∴OD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，二元二次方程组，关键是由勾股定理得到关于x、y的方程组．
18．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，将线段AD绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，ED与边AB交于点F，且FEDF=32，如果△AFE与△DFB相似，那么DEAB的值为 144 ．
【分析】根据题意，只能△AFE∽△DBF，设AD＝DE＝a，AB＝AC＝b，根据相似求出ab即可得出结论．
【解答】解：由题意得：只能△AFE∽△DBF，
过点D作DG⊥AE于点G，交AB于点H，
设AD＝DE＝a，AB＝AC＝b，则EF=35a，DF=25a，
∵∠CAE＝∠DGE＝90°，
∴DG∥AC，
∵∠BAD＝∠CAD＝∠ADG，
∴AH＝DH=12AB=12b，
∵∠ADG＝∠EDG，
∴ADDF=AHFH=52，
∴FH=15b，BF＝AB﹣AH﹣FH=310b，
∵△AFE∽△DBF，
∴EF•DF＝AF•BF，
∴35a⋅25a=710b⋅310b，
∴a2b2=78，
∴DEAB=ab=144，
故答案为：144．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：41+3−(cs30°)−1+|−tan45°|+π0．
【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：41+3−(cs30°)−1+|−tan45°|+π0
=4(3−1)(3+1)(3−1)−(32)−1+|−1|+1
=4(3−1)2−23+1+1
=2(3−1)−233+2
=23−2−233+2
=433．
【点评】本题考查了分母有理化、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（10分）已知：如图，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AD、BC交于点P，OBOA=ODOC=53.设OA→=a→，OC→=b→．
（1）AC→= b→−a→ ，BD→= 53b→−53a→ （结果用含向量a→、b→的式子表示）
（2）由（1）可知AC→与BD→是 平行 向量．
（3）如果|AP→|=6，那么|DA→|= 16 ．
【分析】（1）AC→=OC→−OA→=b→−a→，BD→=OD→−OB→=53b→−53a→；
（2）根据AC→=b→−a→，BD→=53b→−53a→，得出AC→与BD→是平行向量；
（3）根据OBOA=ODOC=53，得出AC∥BD，从而得到△APC∽△DPB，根据|AP→||PD→|=ACBD=35，求出|PD→|=10，从而得到|DA→|=16．
【解答】解：（1）AC→=OC→−OA→=b→−a→，BD→=OD→−OB→=53b→−53a→，
故答案为：b→−a→；53b→−53a→；
（2）∵AC→=b→−a→，BD→=53b→−53a→，
∴AC→与BD→是平行向量，
故答案为：平行；
（3）∵OBOA=ODOC=53，
∴AC∥BD，
∴△APC∽△DPB，
∴|AP→||PD→|=ACBD=35，
∵|AP→|=6，
∴|PD→|=10，
∴|DA→|=16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量，掌握平面向量是解题的关键．
21．（10分）如图，已知直线y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y=kx在第一象限分支交于点C，过点C作x轴的平行线，交y轴于点D，OB＝2OD．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求k的值；
（3）求sin∠ACO的值．
【分析】（1）令x＝0和y＝0时，代入解析式得出坐标即可；
（2）先确定D点的纵坐标，进一步求得C点的坐标，然后利用待定系数法求得k；
（3）作OE⊥AB于E，利用勾股定理求得AB、OC，利用三角形面积公式求得OE，然后解直角三角函数即可．
【解答】解：（1）直线y＝2x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
将x＝0代入y＝2x﹣4，得到：y＝﹣4，
∴B（0，﹣4），
将y＝0代入y＝2x﹣4，得到2x﹣4＝0，
解得：x＝2，
∴A（2，0）；
（2）∵B（0，﹣4），
∴OB＝4，
∵OB＝2OD，
∴OD＝2，
∴D的纵坐标为2，
把y＝2代入y＝2x﹣4得，x＝3，
∴C（3，2），
∵双曲线y=kx过点C，
∴k＝3×2＝6；
（3）作OE⊥AB于E，如图，
∵A（2，0），B（0，﹣4），
∴AB=22+42=25，
∴S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅OE，
∴OE=OA⋅OBAB=2×425=455，
∴C（3，2），
∴OC=32+22=13，
∴sin∠ACO=OEOC=45513=46565．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用以及解直角三角形等，求得交点坐标是解题的关键．
22．（10分）如图，一种遮阳伞的截面由主伞骨OA和OB、支伞骨CM和DM以及伞柄OH组成，伞柄OH（OH＞OA）垂直于地面且平分∠AOB，OA＝OB＝l厘米，OC＝OD=15OA，OH＝h厘米．使用遮阳伞时，可以通过调节点M在伞柄OH上的位置来确定∠AOB的大小．当点C、M、D三点在同一直线上时，遮阳伞完全打开，此时∠AOB达到最大为150°．
（1）当OA＝OB＝120厘米，
i）在遮阳伞完全打开时，求A、B之间的距离．
ii）在伞打开的过程中（∠AOB从0°变到150°），点M上升了 24+122 厘米．
（2）设∠AOB的度数为2α（0＜α＜75°），在平行的太阳光照射下，遮阳伞能遮住的地面EF长为 2lsinα （用式子表示）；如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长，你的建议是 增大主伞骨OA的长度 ．
（参考数据：sin75°=6+24，cs75°=6−24，tan75°=2+3，计算结果保留根号）
【分析】（1）i）连接AB，由题意得：CD∥AB，根据三角函数求出CM的长度，再利用△COD∽△AOB，求出AB的长；
ii）分别求出∠AOB＝0°时和∠AOB＝150°时OM的长度，作差即可得到点M上升的高度；
（2）用l和α表示AB的长度，即可得到EF的长；如可以通过增大主伞骨OA的长度，来增大遮阳伞遮住地面EF的长．
【解答】解：（1）i）连接AB，由题意得：CD∥AB，
∵OA＝OB＝120cm，OC＝OD=15OA，
∴OC＝OD＝24cm，
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOM＝75°，
∴CM＝OCsin∠AOM＝24×6+24=66+62（cm），
∴CD＝2CM=126+122（cm），
∵CD∥AB，
∴△COD∽△AOB，
∴OCOA=CDAB，
∴15=126+122AB，
∴AB=606+602（cm）；
ii）当∠AOB＝0°时，OM1＝OC+CM＝24+66+62（cm），
当∠AOB＝150°时，OM2=OCcs∠AOM=24×6−24=66−62（cm），
∴上升的高度为：OM1﹣OM2=24+122（cm），
故答案为：24+122；
（2）∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB＝2AM＝2OAsin∠AOM＝2lsinα；
如果想通过只改变一个条件来增大遮阳伞遮住地面EF的长，我的建议是增大主伞骨OA的长度，
故答案为：2lsinα；增大主伞骨OA的长度．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形等，掌握解直角三角形是解题的关键．
23．（12分）如图：在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ADC，且BD＝AD，点E在线段BD上且DE＝DC，联结AE并延长交BC于点F，联结CE并延长交AB于点G．
（1）求证：AE＝BC；
（2）求证：AG•EF＝FC•BG．
【分析】（1）证明△ADE≌△BDC（SAS），即可得到AE＝BC；
（2）证明△AGE∽△CFE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠BDC，
在△ADE和△BDC中，
AD=BD∠ADE=∠BDCDE=CD，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴AE＝BC；
（2）∵AD＝BD，DE＝CD，∠ADB＝∠CDB，
∴∠BAD＝∠ABD＝∠DCE＝∠DEC，
∵∠DEC＝∠BEG，
∴BG＝GE，∠BGE＝∠ADE＝∠BDC，
又∵△ADE≌△BDC，
∴∠AED＝∠BCD，
∵∠AED＝∠BEF，
∴∠BEF＝∠BCD，
∵∠CBD+∠BEF+∠BFE＝∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°，
∴∠BFE＝∠BDC，
∴∠BFE＝∠BGE，
∴∠EFC＝∠AGE，
∴△AGE∽△CFE，
∴AGFC=GEEF，
∴AGFC=BGEF，
∴AG•EF＝FC•BG．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形与相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上．
（1）求抛物线C1的解析式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到新抛物线C2，新抛物线C2的顶点为Q，与抛物线C1的交点为点B，如果四边形PABQ是平行四边形，求m、n之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与直线AP交于点E，与抛物线C1交于点F，且S△PEQ：S△BFQ＝3：1，求此时抛物线C1上落在平行四边形PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标t的取值范围．
【分析】（1）根据y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上，得出b＝2，c＝3，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）Q（1+m，4﹣n），B（m，3﹣n），根据B（m，3﹣n） 在C1上，得出3﹣n＝﹣m2+2m+3，即n＝m2﹣2m（m＞0）；
（3）先求出E，F的坐标，再根据S△PEQ：S△BFQ＝3：1，得出（m2﹣m）m＝6m，求出m的值，得出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上，
∴c＝3，b2=1，
∴b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵当x＝1时，y＝4，
∴P（1，4）；
（2）由题意得：Q（1+m，4﹣n），B（m，3﹣n），
∵B（m，3﹣n） 在C1上，
∴3﹣n＝﹣m2+2m+3，即n＝m2﹣2m（m＞0）；
（3）设 y＝kx+d，过A（0，3），P（1，4）得：y＝x+3，
当 x＝1+m 时，y＝m+4，即E（m+1，m+4），
将x＝1+m，代入y＝﹣x2+2x+3，得：y＝4﹣m2，即F（m+1，4﹣m2），
∴S△PEQ=12(m2−m)m，S△BFQ=12⋅2m⋅1=m，
∵S△PEQ：S△BFQ＝3：1，
∴（m2﹣m）m＝6m，
∴解得：m＝3或m＝﹣2（舍），
∵直线PQ：y＝﹣x+5与y＝﹣x2+2x+3的交点为（2，3），（1，4），
∴2＜t＜3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（14分）如图1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＞90°，点D在边AC上，直线l经过点D，与线段AB交于点E，且点A关于l的对称点A′在射线AB上．
（1）如图2，当点A′与点B重合时，求证：BC2＝AD•AC；
（2）当点A′在线段AB的延长线上时，联结A′C，BC交A′D于点F．
i）当直线BC经过△A′CD的重心时，求CFAA′的值；
ii）如果△A′FC是直角三角形且AB＝2BA′，求∠A的正切值．
【分析】（1）证明△ABC∽△ADB，得出ABAD=ACAB，则可得出结论；
（2）i）延长CF至G，使GF＝CF，连接A'G，证明△DFC≌△A'FG（SAS），得出∠A'GB＝∠DCF，证出BG＝A'B，则可得出答案；
ii）分三种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
【解答】（1）证明：由题意知AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ADB，
∴ABAD=ACAB，
∴AB2＝AD•AC，
∵AB＝BC，
∴BC2＝AD•AC；
（2）解：i）延长CF至G，使GF＝CF，连接A'G，
∵直线BC经过△A′CD的重心，
∴DF＝A'F，
∵∠DFC＝∠A'FG，CF＝GF，
∴△DFC≌△A'FG（SAS），
∴∠A'GB＝∠DCF，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠A'GB＝∠ACB＝∠A'AC＝∠BA'G，
∴BG＝A'B，
∴AA'＝CG＝2CF，
∴CFAA′=12；
ii）当∠A'CF＝90°时显然不成立．
当∠A'FC＝90°时，
∵∠A'BF＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠A'BF+∠BA'F＝90°，
∴3∠AA'D＝90°，
∴∠AA'D＝∠A＝30°，
∴tan∠A=33；
当∠CA'F＝90°时，连接BD，
∵∠DA'B＝∠DCB，
∴D，B，A'，C四点共圆，
∴∠DBC＝∠CA'F＝90°，
设A'B＝2x，DE＝y，
∴AB＝4y，
∴AE＝A'E＝3x，
∴BE＝A'E﹣A'B＝x，
∴DB=BE2+DE2=x2+y2，
∵∠A＝∠BCA，
∴tan∠A＝tan∠BCA，
∴DEAE=DBBC，
∴y3x=x2+y24x，
∴x2=79y2，
∴y3x=77，
∴tan∠A=y3x=77，
∴综上所述，∠A的正切值为33或77．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
答案
D
C
D
B
A
B