安徽省合肥市第一中学淝河校区2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份安徽省合肥市第一中学淝河校区2024-2025学年高一上学期期末测试数学试题（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试总分：150分 考试时长：120分钟）
一、单选题（本题共计8小题，总分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A B. C. D.
4. 人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据边为，则2024年该地区产生的数据量为（ ）
A 1.5EBB. 1.75EBC. 2EBD. 2.25EB
5. 已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共计3小题，总分18分）
9. 下列说法正确是（ ）
A. 函数与的图象关于原点对称
B. 函数，且恒过定点
C. 已知命题，则的否定为：
D. 是的充分不必要条件
10. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 由知实数a，b满足，则（ ）
A. ab的最大值为
B. 的最大值为
C.
D. 当时，的最大值为
三、填空题（本题共计3小题，总分15分）
12. 已知圆心角为2的扇形，其弧长为5，则扇形的面积为___________．
13. 函数的值域是__________.
14. 已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确是________．
①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象
②
③在上有且仅有两条对称轴
④不存在，使得在上单调递减
四、解答题（本题共计5小题，总分77分）
15. 计算
（1）已知.求的值.
（2）已知，且，，求角的值；
16. 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）求使方程的根都在区间内的实数的取值范围.
17. 设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围．
18. 如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．
（1）设，用分别表示AB和AD；
（2）当为何值时，矩形场地ABCD面积S最大？最大值为多少？
19. 已知．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
安徽省合肥市第一中学淝河校区2024-2025学年高一
上学期期末测试数学试题
（考试总分：150分 考试时长：120分钟）
一、单选题（本题共计8小题，总分40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合，利用交集定于求出.
【详解】集合，，则.
故选：C
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，可得.
故选：D
3. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，即，解得或，
又由函数在单调递减，在单调递增，
因为在定义域上为单调递增函数，
结合复合函数单调性的判定方法，可得函数的单调递增区间为.
故选：D.
4. 人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据边为，则2024年该地区产生的数据量为（ ）
A. 1.5EBB. 1.75EBC. 2EBD. 2.25EB
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件得，解出，得到，将代入即可求出结果.
【详解】由题可得，解得，所以，
当时，，
故选：C.
5. 已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象，得到，进而可求出，再根据图象，当时，函数取到最大值，得到，即可求出结果.
【详解】由图易知，，，得到，
又，，所以，
又由图知，，得到，
又，令，得到，所以，
故选：B.
6. 若奇函数和偶函数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值.
【详解】由，用代替，可得，
因为是奇函数，是偶函数，所以，
联立，解得，，
所以，，则．
故选：D．
7. 已知则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数与正弦函数的性质，分别求得的范围，即可求解.
【详解】由对数函数性质，可得，即，所以，
又由正弦函数的性质，可得，
又因为，所以.
故选：D.
8. 已知，为锐角，，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正切公式，先进行化简，然后代入到所求式子后，结合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换以及基本不等式的运用，涉及诱导公式、两角和的正切公式，考查化简计算能力.
二、多选题（本题共计3小题，总分18分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数与图象关于原点对称
B. 函数，且恒过定点
C. 已知命题，则否定为：
D. 是的充分不必要条件
【答案】AC
【解析】
【分析】A：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B：令，由此确定出所过定点坐标；C：通过修改量词否定结论可得结果；D：根据与的互相推出情况进行判断.
【详解】对于A：设上任意一点，其关于原点的对称点为，
所以，所以，所以，即为图象上任意一点，故A正确；
对于B：令，所以，此时，所以过定点，故B错误；
对于C：修改量词否定结论可得，故C正确；
对于D：不能推出，但一定能推出，所以是的必要不充分条件，故D错误；
故选：AC.
10. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性，能求出结果．
【详解】函数同时满足（1）对于定义域上的任意，恒有；
（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”，
“理想函数”既是奇函数，又是定义域上的减函数，
对A：是偶函数，且不是单调函数，故A不是“理想函数”；
对B：是奇函数，且是减函数，故B是“理想函数”；
对C：是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故C不是“理想函数”;
对D：，定义域为，，
所以，所以是奇函数，且是上的减函数，故D是“理想函数”．
故选：BD
11. 由知实数a，b满足，则（ ）
A. ab的最大值为
B. 的最大值为
C.
D. 当时，最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式，可判定A正确；设，联立方程组，结合，可判定B不正确；设，联立方程组，可判定C正确；，转化为，结合三角函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由不等式，可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以A正确；
对于B中，设，联立方程组，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值为，所以B不正确；
对于C中，设，联立方程组，整理得，
由，解得，可得，
所以的最大值为，所以C正确；
对于D中，由，即，
设，则，
设，可得，可得，
因为，可得，即，
不妨设，可得
则，
所以
又因为为单调递增函数，所以无最大值，所以D不正确.
故选：AC.
三、填空题（本题共计3小题，总分15分）
12. 已知圆心角为2的扇形，其弧长为5，则扇形的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的弧长和面积公式，准确运算，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
因为扇形的圆心角为且弧长为，可得，解得，
所以扇形的面积为.
故答案为：.
13. 函数的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性即可求解.
【详解】的定义域为，
由于函数和函数均为上的单调递增函数，
所以，
故值域为，
故答案为：
14. 已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确的是________．
①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象
②
③在上有且仅有两条对称轴
④不存在，使得在上单调递减
【答案】②③④
【解析】
【分析】利用函数图象变换和诱导公式可以判定①错误；根据零点条件和单调性，列出不等式组，求解得到的范围，从而判定②正确；利用三角函数的对称轴求得的对称轴，根据②中被判定正确得的范围，对称轴条数判断 ③；根据三角函数的单调性，列出方程组，求得的范围，再与②中的范围对照，无交集，得出矛盾，判断④错误.
【详解】对①：
当时，的图象向右平移个单位，
得的图象，故①错；
对于②：当时，．
余弦函数在的零点依次是，
在上恰有两个零点，
所以（i）．
由，解得，
所以函数的单调递减区间为
因为已知函数在上递减，
所以存在实数使得，整理的.
又，所以，解得，
又因为，所以，所以（ii），
由（i）（ii）得，故②正确；
对③：由于余弦函数的零点为,
所以函数的零点对应，解得，.
由，得，所以，
当时，；
当时，，
当时， x≥7π3ω>7π3×4=7π12>π2，
所以函数在上有2条对称轴，故③正确；
对④：若函数在区间上单调递减，
则存在整数使得成立，
整理的.
所以，解得，又因为，所以.
2k+3≥ω>0，解得，又因为又因为，所以.
所以，所以：，
因为，所以与②的结论矛盾．
满足条件的不存在，故④正确．
故答案为：②③④.
四、解答题（本题共计5小题，总分77分）
15. 计算
（1）已知.求的值.
（2）已知，且，，求角的值；
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式和齐次式化简，化为关于的式子，代入求值即可；
（2）利用同角三角函数关系及角的范围得到和，从而利用余弦差角公式求出，从而求出角的值.
【小问1详解】
因为，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
故
，
因为，
所以.
16. 已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）求使方程的根都在区间内的实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可设，且，由在区间上的最大值是12，可得，求出的值，从而可求出的解析式，
（2）转化为方程的根都在区间内，令，则可得从而可求出实数的取值范围
【小问1详解】
因为是二次函数，且的解集是，
所以可设，
且易知，所以在区间上的最大值是，
由已知得，所以，所以.
【小问2详解】
方程等价于.
设，依题意有解得，
所以实数的取值范围.
17. 设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；
（2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由命题函数定义域为，
设，则在上恒成立，
当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：由（1）知，命题为真命题，则，
又由命题 ，使得不等式成立，
当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，
因为中只有一个真命题，
当为真命题，为假命题时，可得，解得；
当为假命题，为真命题时，可得，此时无解，
综上可得，实数的取值范围为.
18. 如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN．
（1）设，用分别表示AB和AD；
（2）当为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？
【答案】（1），.
（2）当时，最大，为
【解析】
【分析】借助三角函数表示和，进一步表示矩形的面积，可求矩形面积的最大值.
【小问1详解】
如图：过做于.
则，所以，.
【小问2详解】
，
当且仅当即时取“”.
故当时矩形场地的面积最大且最大为.
19. 已知．
（1）当时，求的值；
（2）若的最小值为，求实数的值；
（3）是否存在这样的实数，使不等式对所有都成立．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，的取值范围为
【解析】
【分析】（1）先化简，再代入进行求解；（2）换元法，化为二次函数，结合对称轴分类讨论，求出最小值时m的值；（3）换元法，参变分离，转化为在恒成立，根据单调性求出取得最大值，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，
【小问2详解】
设，则，
，，其对称轴为，
的最小值为，
则；
的最小值为；
则
综上，或
【小问3详解】
由，对所有都成立.
设，则，
恒成立，

在恒成立，
当时，递减，则在递增，
时取得最大值
得,
∴
所以存在符合条件的实数，且m的取值范围为