河北省石家庄市新乐市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河北省石家庄市新乐市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共28页。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上．
2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列实数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 式子有意义的x的取值范围是【 】
A. 且x≠1B. x≠1C. D. 且x≠1
4. 已知，且，则以a、b、c为三边长的三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
5. 以下说法错误的是（ ）
A. 的平方根是B. 的整数部分是3
C. D. 的绝对值是
6. 如图，在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A 3B. 6C. D.
8. 如图，已知点D、E分别是等边中、边上的中点，，点F是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A 3B. 6C. 9D.
9. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A. 3米B. 4米C. 5米D. 7米
10. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）

A. 20°B. 35°C. 40°D. 70°
11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
12. 题目：当时，定义一种新运算：，例：，．若，求m的值．小明的答案是，小亮的答案是，下列判断正确的是（ ）
A. 只有小明的正确B. 只有小亮的正确
C. 小明，小亮的答案合在一起才正确D. 小明，小亮的答案合在一起也不正确
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13. 计算：__________．
14. 若解分式方程产生增根，则k的值为________．
15. 一个等腰三角形两边长分别是、，则它的周长为______．
16. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 __________．

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解方程：
18. 先化简，再找一个你喜欢的数作为x的值，代入求值．
19. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
20. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
21. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
22. 某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染．
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高，
王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件．
问：甲、乙每件商品的进价是多少元？
23. （1）用“”、“”、“”填空： ， ， ．
（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
24. 在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
（1）如图1，点在线段上，如果，则__________度．

（2）如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

（3）如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

（4）设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测八年级
数学试卷（B）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级等信息填写在答题卡相应位置上．
2．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．答非选择题时，用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试卷上作答无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列实数中，是无理数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】A选项：无限不循环小数，故是无理数；
B选项：是有理数；
C选项：＝3，故是有理数；
D选项：＝2，故是有理数；
故选A.
2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．轴对称图形的关键是找对称轴，中心对称图形的关键是找对称中心．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
3. 式子有意义的x的取值范围是【 】
A. 且x≠1B. x≠1C. D. 且x≠1
【答案】A
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须且．故选A．
4. 已知，且，则以a、b、c为三边长的三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的值为0的条件求得a=3，根据非负数的性质求出b=4，c=5，根据勾股定理的逆定理即可得出以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形．
【详解】解：∵，
∴a2-9=0，a+3≠0，
∴a=3，
∵，
，，
∴b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为三边长的三角形为直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件、非负数的性质、勾股定理的逆定理，掌握分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
5. 以下说法错误的是（ ）
A. 的平方根是B. 的整数部分是3
C. D. 的绝对值是
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了无理数的估算、实数的性质、立方根和平方根等知识．利用相关法则计算后进行判断即可．
【详解】A. ，的平方根是，故选项错误，符合题意；
B. ∵，∴，∴的整数部分是3，故选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故选项正确，不符合题意；
D. ∵，∴，则，∴的绝对值是，故选项正确，不符合题意；
故选：A
6. 如图，在与中，，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：A、在与中，，故，不符合题意；
B、∵，∴，即，在与中，，故，不符合题意；
C、添加无法证明，故符合题意；
D、在与中，，故，不符合题意；
故选：C．
7. 如图，在中，D是的中点，，，则的长是（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴．
故选：A．
8. 如图，已知点D、E分别是等边中、边上的中点，，点F是线段上的动点，则的最小值为（ ）

A. 3B. 6C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．
【详解】解：连接交于点，连接，

是等边三角形，
，
，
此时的值最小，最小值为，
、分别是中、边的中点，
，
，
，
的最小值为6，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质．
9. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（ ）
A. 3米B. 4米C. 5米D. 7米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】解：由题意可知．，，
由勾股定理得，
故离门4米远的地方，灯刚好打开．
故选：B．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息．
10. 如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）

A. 20°B. 35°C. 40°D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
如图，作于，
，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
12. 题目：当时，定义一种新运算：，例：，．若，求m的值．小明的答案是，小亮的答案是，下列判断正确的是（ ）
A. 只有小明的正确B. 只有小亮的正确
C. 小明，小亮的答案合在一起才正确D. 小明，小亮的答案合在一起也不正确
【答案】B
【解析】
【分析】根据m与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程可求出m的值，据此即可判断．
【详解】解：当时，
，
解得，不合题意，舍去；
当时，
，
解得．
经检验，是方程的解，
综上，，只有小亮的正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查新定义与分式方程的求解，注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案填在题中的横线上）
13. 计算：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的减法、二次根式的性质，先根据二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 若解分式方程产生增根，则k的值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
x的系数化为1，得，
∵分式方程产生增根，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15. 一个等腰三角形的两边长分别是、，则它的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形两腰长相等的性质，要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．分是腰长与底边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，
所以，周长；
②是底边时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为．
故答案为：．
16. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 __________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键．
依次求出，，的边长，根据发现的规律：等边三角形的边长依次乘以2，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故的边长为2．
同理可得，，
故的边长为．
，
故的边长为．
…，
∴的边长为．
当时，的边长为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：．
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解分式方程：
（1）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可；
（2）去分母，将方程转化整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：方程两边同乘，得：，
，
，
；
检验：当时，，
所以是原方程的解．
18. 先化简，再找一个你喜欢的数作为x的值，代入求值．
【答案】，当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法约分即可化简，最后代入合适的值计算即可得解．
【详解】解：原式
∵，，，
∴，，，
∴当时，原式．
19. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】（1）全等（2）是直角三角形
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．
解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
点评：考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．
20. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求．
（2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．
【小问1详解】
解：如下直线l即为所求．
【小问2详解】
连接如下图：
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
21. 如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据直角三角形的性质，得出，根据题意，得，，结合等边三角形的性质，列式作答即可；
（2）因为为直角三角形，所以分类讨论，即当时，或当时，，进行列式求解，即可作答．
【小问1详解】
解：，，
，．
，
，
动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，，
，
，
，，；
当时，为等边三角形．
即．
．
即当时，为等边三角形；
【小问2详解】
解：若为直角三角形，
①当时，，
即，
．
②当时，，
即，
，
即当或时，为直角三角形．
22. 某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单（下表）已被墨水污染．
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高，
王师傅：甲商品比乙商品的数量多60件．
问：甲、乙每件商品进价是多少元？
【答案】甲商品在每件进价为75元，乙商品的每件进价为50元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙商品每件的进价为x元，则甲商品每件进价为元，根据“甲商品比乙商品的数量多60件”列出分式方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
【详解】解：设乙商品每件的进价为x元，则甲商品每件进价为元
根据题意，得
解得：
经检验，是所列方程的解，且符合题意。
∴元
答：甲商品在每件进价为75元，乙商品的每件进价为50元．
23. （1）用“”、“”、“”填空： ， ， ．
（2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【答案】（1），，；（2）；（3）40米
【解析】
【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；
（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．
【详解】解：（1）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：＞，＞，＝．
（2）理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵
∴
∴
∴
（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，
根据（2）的结论可得：．
∴篱笆至少需要40米．
故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．
24. 在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．
（1）如图1，点在线段上，如果，则__________度．

（2）如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

（3）如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

（4）设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
【答案】（1）90 （2）120
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；
（2）由“”可证，得，可求的度数；
（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；
（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：90；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：120；
【小问3详解】
，
理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
【小问4详解】
如图4，当点D在的延长线上时，，

证明方法同（3）；
如图5，当点D在的延长线上时，，

理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
综上，或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
9300
乙
3200
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
9300
乙
3200