2025年高考数学解密汇编训练之常用逻辑用语（Word版附解析）

这是一份2025年高考数学解密汇编训练之常用逻辑用语（Word版附解析），共33页。试卷主要包含了已知命题，，则命题的否定为，“”是“”的，已知，，下列命题是真命题的是，已知命题，，命题，，则，已知，，则“”是“”，已知，，则“”是“”的，若，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
1．（2024•吉林四模）已知命题，，则命题的否定为
A．，B．，C．，D．，
2．（2024•天津模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2024•辽宁一模）已知，．则“且”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024•济南二模）下列命题是真命题的是
A．且B．或
C．D．方程有实根
5．（2024•回忆版）已知命题，，命题，，则
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
6．（2024•顺义区一模）已知，，则“”是“”
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024•天津模拟）“”是“”的
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．（2024•商洛模拟）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2024•天津模拟）若，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（2024•浙江模拟）已知，．设甲：，乙：，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二．多选题（共5小题）
11．（2024•孝南区校级模拟）关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有
A．B．C．D．
12．（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有
A．若方程表示圆，则的取值范围是
B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点在圆上，的最大值为1
D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为
13．（2024•山东模拟）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题正确的有
A．直线和平面所成的角为定值
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线和所成的角为定值
D．直线和平面平行
14．（2024•江西模拟）已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
15．（2024•重庆模拟）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•北京模拟）命题“，”的否定是 ．
17．（2024•辽宁模拟）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 ．
18．（2024•潍坊二模）已知命题，，，则为 ．
19．（2024•安徽模拟）已知下列命题：
①命题“，”的否定是“，”；
②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是 ．
20．（2024•安康模拟）已知命题，若为假命题，则的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•向阳区校级模拟）已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22．（2023•酉阳县校级模拟）命题：任意，成立；命题：存在，成立．
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．
23．（2023•大荔县一模）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
24．（2023•和平区校级一模）已知命题：函数在，上单调递增；命题：函数在，上单调递减．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若，中有一个为真命题．一个为假命题，求实数的取值范围．
25．（2022•高新区校级模拟）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
（1）若，且且为真，求实数的取值范围；
（2）非是非的充分不必要条件，求实数的取值范围．
2025年菁优高考数学解密之常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•吉林四模）已知命题，，则命题的否定为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考点】求全称量词命题的否定
【专题】简易逻辑；定义法；对应思想；逻辑推理
【分析】根据命题的否定的定义求解．
【解答】解：命题，，则命题的否定为：，．
故选：．
【点评】本题考查命题的否定，属于基础题．
2．（2024•天津模拟）“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】整体思想；不等式；数学运算；综合法
【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】解：不等式等价于，等价于，
所以，
即，解得或，
故能推出成立，但是成立不一定有，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题考查充分必要条件，考查了集合的包含关系，属于基础题．
3．（2024•辽宁一模）已知，．则“且”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：当且时，，
则，当且仅当，即时取等号，
所以充分性成立；
当且时，，
则，当且仅当，即时取等号，
所以必要性不成立；
所以“且”是“”的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
4．（2024•济南二模）下列命题是真命题的是
A．且B．或
C．D．方程有实根
【答案】
【考点】四种命题
【专题】简易逻辑；综合法；逻辑推理；整体思想
【分析】根据真命题的定义判断．
【解答】解：对于，不成立，所以且是假命题，故错误；
对于，成立，所以或是真命题，故正确；
对于，是假命题，故错误；
对于，因为△，所以方程无实根，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了命题真假的判断，属于基础题．
5．（2024•回忆版）已知命题，，命题，，则
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
【答案】
【考点】复合命题及其真假；全称量词命题的否定
【专题】计算题；简易逻辑；转化思想；数学运算；综合法
【分析】判断命题的真假，命题的否定的真假，即可得到选项．
【解答】解：命题：，，时，不成立，所以命题：是假命题；则是真命题．
命题，，时成立，所以命题是真命题，是假命题；
所以和都是真命题．
故选：．
【点评】本题考查命题的真假的判断，命题的否定命题的真假的判断，是基础题．
6．（2024•顺义区一模）已知，，则“”是“”
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想；计算题；不等式
【分析】根据题意，利用不等式的性质与基本不等式，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：当，时，满足，但，所以充分性不成立；
当时，由且，可得，即，必要性成立．
综上所述，“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
7．（2024•天津模拟）“”是“”的
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件必要条件的判断
【专题】对应思想；转化法；简易逻辑
【分析】不等式的基本性质，“”不一定能得出“”的结论，因为必须有这一条件；反过来若“”，说明一定成立，一定可以得出“”，即可得出答案．
【解答】解：当时，；
当时，说明，
有，得．
故”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题以不等式为载体，考查了充分必要条件的判断，充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，得出正确结论的重要条件．
8．（2024•商洛模拟）已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】转化思想；数学运算；计算题；综合法；简易逻辑
【分析】根据不等式的性质与幂函数的单调性，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：若，则，可得，充分性成立；
若，则，但不一定、都是正数，推不出，故必要性不成立．
综上所述，“”是“ 的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查的知识点是不等式的基本性质、充要条件的定义与判断，同时考查了逻辑推理能力，属于基础题．
9．（2024•天津模拟）若，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；转化思想；计算题；数学运算
【分析】根据题意对两个条件进行化简，结合充要条件的定义判断出正确答案．
【解答】解：若，则或．当时，；当时，．
所以“”不是“”的充分条件；
当时，即，
所以“”是“”的必要条件．
综上所述，若，则“”是“”的必要不充分条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分必要条件的定义与判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
10．（2024•浙江模拟）已知，．设甲：，乙：，则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；综合题；逻辑推理
【分析】利用构造函数法，结合导数以及充分和必要条件等知识确定正确答案．
【解答】解：依题意，，，
对于甲：，即，
设，
所以在上单调递增，故．
对于乙：，两边取以为底的对数得，，
由于，，所以，，则，
设，
所以在区间上，单调递增，
在区间上，单调递减，
所以由，即（a）（b），若，，或，，，则，若，不在的同一单调区间，则，
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
二．多选题（共5小题）
11．（2024•孝南区校级模拟）关于的不等式对任意恒成立的充分不必要条件有
A．B．C．D．
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】数学运算；综合法；简易逻辑；转化思想；不等式的解法及应用
【分析】先求不等式对任意恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可．
【解答】解：当不等式对任意恒成立时，有△，
解得，
记．
由题知，集合的真子集即为不等式对任意恒成立的充分不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（2024•海州区校级模拟）下列命题正确的有
A．若方程表示圆，则的取值范围是
B．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C．已知点在圆上，的最大值为1
D．已知圆和，圆和圆的公共弦长为
【答案】
【考点】圆的标准方程；命题的真假判断与应用
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；简易逻辑；逻辑推理；数学运算
【分析】利用圆的方程的体积求解的范围判断；通过已知条件求解圆的方程，判断；利用直线与圆的位置关系判断；求解公共弦长，判断即可．
【解答】解：对于，圆方程可化为．由于该方程表示圆，故，解得，故错误；
对于，圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，圆心的纵坐标是1，
设圆心坐标，则，又，，
该圆的标准方程是，故正确；
对于，设，即，则圆的标准方程为，
则圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，即，
即，平方得，解得，
故的最大值是，故错误；
对于，两圆方程相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：，即．
圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长，故正确．
故选：．
【点评】本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系的应用，命题真假的判断，是基础题．
13．（2024•山东模拟）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题正确的有
A．直线和平面所成的角为定值
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线和所成的角为定值
D．直线和平面平行
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，判定、、、的结论．
【解答】解：如图所示：
对于，由线面所成角的定义，令与的交点为，可得即为直线和平面所成的角，当移动时是变化的，故错误．
对于，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而大小一定，
，而平面，
点到平面的距离即为点到该平面的距离，
三棱锥的体积为定值，故正确；
对于，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，
平面，平面，
，故这两个异面直线所成的角为定值，故正确；
对于，直线和平面平行，
直线和平面平行，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：正方体的性质，几何体的体积公式，线面平行的判定和性质，异面直线的夹角，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
14．（2024•江西模拟）已知函数，给出下列四个结论，其中正确的是
A．曲线在处的切线方程为
B．恰有2个零点
C．既有最大值，又有最小值
D．若且，则
【答案】
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究曲线上某点切线方程
【专题】计算题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用；数学运算
【分析】先求出函数的定义域，当时，求导，利用导数的几何意义即可求得切线方程，可判断；
当时，判断导数，即可得单调性，同理可得在上的单调性，即可判断；
由函数的单调性及，（1），可判断；
当，，由得，由单调性可得，同理可证当，时，命题也成立，可判断．
【解答】解：依题意，对于，的定义域为，，，
当时，，
所以（1），可知曲线在点处的切线方程为，即，所以错误；
对于，，（1），所以正确；
对于，因为，
所以在上为减函数；
同理可求得在上为减函数，所以错误；
对于，若，，由得，即，
因为在0，上为减函数，所以，即，同理可证当，时，命题也成立，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线在某一点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15．（2024•重庆模拟）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】充分条件与必要条件
【专题】简易逻辑；综合法；数学运算；转化思想
【分析】转化为，结合二次函数的性质求得；进而求解结论．
【解答】解：存在，使得，即，
即时，的最小值为，
故；
所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是：的真子集，
结合选项可得，符合条件的答案为：．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．填空题（共5小题）
16．（2024•北京模拟）命题“，”的否定是 ， ．
【答案】，．
【考点】求存在量词命题的否定
【专题】简易逻辑；转化思想；数学运算；转化法
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“，”的否定是：，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
17．（2024•辽宁模拟）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 ， ．
【答案】，．
【考点】存在量词命题的否定；命题的真假判断与应用
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理
【分析】根据题意，若“，使”是假命题，则其否定“，都有”是真命题，则有在上恒成立，由此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若“，使”是假命题，
则其否定“，都有”是真命题，
即在上恒成立，
变形可得，
又由，当且仅当时等号成立，
若在上恒成立，
必有，即的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定方法，属于基础题．
18．（2024•潍坊二模）已知命题，，，则为 ，， ．
【答案】，，．
【考点】求存在量词命题的否定
【专题】综合法；简易逻辑；整体思想；数学抽象
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可．
【解答】解：由特称命题的否定为全称命题可得为，，．
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
19．（2024•安徽模拟）已知下列命题：
①命题“，”的否定是“，”；
②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；
③“”是“”的充分不必要条件；
④“若，则且”的逆否命题为真命题．
其中所有真命题的序号是 ② ．
【考点】：命题的真假判断与应用
【专题】38：对应思想；48：分析法；：简易逻辑
【分析】①，命题“，”的否定是“，”；
②，若“”为假命题、均为假命题则、均为真 “为真命题；
③，“”是“”的必要不充分条件；
④，“若，则且”是假命题，命题与其逆否命题同真假．
【解答】解：对于①，命题“，”的否定是“，”，故错；
对于②，若“”为假命题、均为假命题则、均为真 “为真命题，故正确；
对于③，“”是“”的必要不充分条件，故错；
对于④，“若，则且”是假命题，命题与其逆否命题同真假，故错．
故答案为：②
【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
20．（2024•安康模拟）已知命题，若为假命题，则的取值范围是 ．
【考点】全称量词命题真假的应用
【专题】转化法；数学运算；转化思想；简易逻辑
【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案．
【解答】解：由题意知命题为假命题，
则为真命题，
设，则，
由于在上单调递增，故在，上单调递减，
则，故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
四．解答题（共5小题）
21．（2023•向阳区校级模拟）已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）实数的取值范围为；
（2）数的取值范围为．
【考点】充分条件与必要条件；交集及其运算
【专题】简易逻辑；转化法；对应思想；数学运算
【分析】（1）求出，通过讨论和解关于的不等式，解出即可；
（2）根据集合的包含关系得到关于的不等式，解出即可．
【解答】解：（1），
由，①若，即时，，符合题意；
②若，即时，
或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）由已知是的真子集，
故（两个端不同时取等号），解得．
由实数的取值范围为．
【点评】本题考查了集合的运算，考查充分必要条件，是基础题．
22．（2023•酉阳县校级模拟）命题：任意，成立；命题：存在，成立．
（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或或．
【考点】复合命题及其真假；命题的真假判断与应用
【专题】数学运算；综合法；分类讨论；简易逻辑
【分析】（1）由真，由判别式求得的取值范围，进而得到假的条件；
（2）求得真的条件，由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，然后分别求的的取值范围，再取并集即得．
【解答】解：（1）由真：△，得或，
所以假：；
即实数的取值范围为：；
（2）真：△推出，
由和有且只有一个为真命题，
真假，或假真，
即或，
或或．
即实数的取值范围为：或或．
【点评】本题考查复合命题的真假判定和含有量词的命题真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立问题，不等式的求解，关键是由和有且只有一个为真命题，得到真假，或假真，属于中档题．
23．（2023•大荔县一模）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）当时，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2），．
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；交集及其运算
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算
【分析】（1）先解一元二次不等式求出，再利用交集运算求解即可．
（2）将充要条件转化为，得到不等式，求解即可．
【解答】解：（1）当时，
，
又或，
．
（2）当时，，
是的充分条件，，
或，
或，又，
，
实数的取值范围为，．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集运算，充要条件的应用，属于中档题．
24．（2023•和平区校级一模）已知命题：函数在，上单调递增；命题：函数在，上单调递减．
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若，中有一个为真命题．一个为假命题，求实数的取值范围．
【答案】（1），．
（2），，．
【考点】复合命题及其真假
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算
【分析】（1）利用复合函数的单调性即可解出；
（2）分别讨论命题，的真假，即可解出．
【解答】解：（1）因为，
所以，
又据题意知，当函数在区间，上单调递减时，
对，成立，即对，成立，
又当，时，，
所以，即所求实数的取值范围为，，
（2）据题设知“真，假”或“假，真”，
据题设知，若为真命题，则，且，
所以，
当“真，假”时，此时不等式无解；
当“假，真”时，，
所以或，
综上，所求实数的取值范围为，，．
【点评】本题考查了函数的性质，命题，学生的数学运算能力，属于基础题．
25．（2022•高新区校级模拟）设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
（1）若，且且为真，求实数的取值范围；
（2）非是非的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【考点】充分条件、必要条件、充要条件；复合命题及其真假
【专题】简易逻辑
【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是绝对值不等式及对数不等式的解法．
【解答】解：（1）命题：实数满足，其中，
由，得．又，所以，
当时，，
即为真命题时，实数的取值范围：．
又命题：实数满足．
由解得即
所以为真时，实数的取值范围：．
若且为真，
真真，则
实数的取值范围是
（2）不妨设，或，，或
非是非的充分不必要条件，
．
且，即．
实数的取值范围是，．
【点评】判断充要条件的方法是：
①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；
②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；
③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；
④若为假命题且为假命题，则命题是命题的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算性质：
①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．充分条件必要条件的判断
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
4．全称量词命题真假的应用
【知识点的认识】
全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀
应熟练掌握全称命题的判定方法
全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．
﹣
【解题方法点拨】在应用全称量词命题时，首先要准确判断命题的真假，然后根据判断结果进行推理．例如，在证明几何命题时，可以先验证全称量词命题的真假，然后根据真假性进行相应的几何推理和计算．
【命题方向】全称量词命题真假的应用在代数和几何题中广泛存在．例如，利用全称量词命题的真假来推导数的整除性、代数式的恒等关系，或几何图形的某些性质．这类题型要求学生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力．
若命题“∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0为真命题，则a的最小值为_____．
解：∀x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，则，
当x∈[1，3]时，，当且仅当x＝1时，等号成立，
故．
所以实数a的最小值为．
故答案为：．
5．全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．
【解题方法点拨】
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．
6．求全称量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．
【解题方法点拨】
写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．
【命题方向】
全称量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于实数性质的全称命题的否定，几何中关于图形性质的全称命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．
写出命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定：_____．
解：因为特称命题的否定为全称命题，
所以命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定是“∃x∈Z，|x|∉N”，
故答案为：∃x∈Z，|x|∉N．
7．存在量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．
【解题方法点拨】
写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．
【命题方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现．难度一般不大，从考查的数学知识上看，能涉及高中数学的全部知识．
8．求存在量词命题的否定
【知识点的认识】
一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：
特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．
【解题方法点拨】
写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．
【命题方向】
存在量词命题否定的求解在代数和几何中广泛存在．例如，代数中关于方程解的存在性命题的否定，几何中关于图形性质的存在性命题的否定等．这类题型要求学生能够灵活运用逻辑思维进行否定命题的改写和判断．
写出下列存在量词命题的否定：
（1）某箱产品中至少有一件次品；
（2）方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数；
（3）∃x∈R，使x2+x+1≤0．
解：（1）某箱产品中都是正品；
（2）方程x2﹣8x+15＝0每一个根都不是偶数；
（3）∀x∈R，使x2+x+1＞0．
9．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．
【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
10．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
11．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
13．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
14．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
15．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
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命题
全称命题∀x∈M，p（x）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q