吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
2. 袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
3. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ）
A. B.
C D.
4. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 若直线截得圆的弦长为2，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 16
6. 抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A 5B. 9C. 8D. 10
7. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A B. 2C. D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（ ）
A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法
B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法
C. 5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法
D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法
10. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
11. 已知曲线，称曲线上的点为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（ ）
A. “边线曲线”关于对称
B. “边线曲线”在处切线的斜率为
C. 存在“边线点”，使得
D. “边线点”到原点距离的最小值为2
三、填空题
12. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则______.
13. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点的坐标为__________.
14. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.
四、解答题
15. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，.
（1）求直线的斜率；
（2）求椭圆方程.
16. 已知数列的通项公式为，.
（1）求数列的前项和；
（2）设，求的前项和.
17. 已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点.

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角.
18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程，并求的值；
（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程.
19. 定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ 对应图1，对应图2）.
（1）判断椭圆与椭圆是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由；
（2）证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
（3）已知椭圆椭圆的离心率为，与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，，表示）.