重庆市南开中学2024-2025学年高一下学期定时练习一数学试题（Word版附解析）

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本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.
A. B. C. D.
2. 在△ 中，“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A. c>b>a B. b>c>a C. b>a>c D. a>b>c
4. 已知 是第二象限角且 ， ，则 的值为（ ）
A 1 B. －1 C. －2 D.
5. 已知 ， ， ，则下列不等关系中必定不成立的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 已知 ， ，则 （ ）
A. 1 B. C. D.
7. 已知函数 ，其图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
若 ， 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
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8. 已知函数 在区间 上是增函数，且在区间
上，方程 恰好有两个不同的解，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列函数中，以 为周期的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 为偶函数
C. 的图象关于 对称 D. 的值域为
11. 已知函数 ，若存在实数 ，使得 是奇函数，则 的值可能为（ ）
A B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本大题 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.各题答案必须填写在答.题卡上相应位
置（只填结果，不写过程）
12. 若函数 为奇函数，则 最小值为__________.
13. 已知函数 的最大值为 0，则 的值是__________.
14. 如图，一块边长为 1 的正方形区域 ，在 处有一个可转动的探照灯，其照射角 始终为
，记探照灯照射在正方形 内部区域（阴影部分）的面积为 ．若设 ， ，
则 的最大值为______．
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四、解答题：本大题 5 个小题，共 77 分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说
明、演算步骤或推理过程）.
15. 已知 为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
16. 建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能
减排的号召，在气温低于 时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单
位： ）随时间 （ ，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足
关系.
（1）求 的表达式：
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.
17. 已知函数 最小正周期 .
（1）求 的值和函数 图象的对称中心；
（2）将函数 的图象上的各点向左平移 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；
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得到函数 的图象，当 时，方程 有两个解，求实数 的取值范围.
18. 已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若 时函数 值域为 ，求实数 的取值范围；
（3）若函数 在区间 上恰有 2024 个零点，求所有满足条件的实数 与
整数 .
19. 已知函数 （ ，且 ）满足 .
（1）求 a 的值；
（2）求证： 在定义域内有且只有一个零点 ，且 .
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