新高考数学一轮复习热点练习专题40 统计、统计案例（2份，原卷版+解析版）

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主要以生活中的实际问题为背景，考查随机抽样与样本估计总体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验问题.统计与统计案例的命题，一般以一道小题、一道大题的形式考查，难度中等．
【重点知识回眸】
（一）随机抽样
1.简单随机抽样的特点
(1)抽取的个体数较少；(2)是逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
2.抽签法与随机数法的适用情况
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
3.分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
(3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝eq \f(样本容量,总体容量)＝eq \f(各层样本数量,各层个体数量)”．
提醒：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·eq \f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)．
（二）用样本估计总体
1.频率、频数、样本容量的计算方法
(1)eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
(2)eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，
样本容量×频率＝频数．
(3)各个小方形的面积总和等于1 .
2．频率分布表的画法
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差/组数；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3．频率分布直方图中数字特征的计算
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
(4)在很多题目中，频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布．
4.茎叶图
茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数．
①“叶”位置只有一个数字，而“茎”位置的数字位数一般不需要统一；
②茎叶图上重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
（三）中位数、众数、平均数、方差、标准差、百分位
1.众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平；
2.中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平；
平均数：反应一组数据的平均水平；
3.方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－n eq \x\t(x)2]或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－eq \x\t(x)2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
4.标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．
5.百分位：一般地，一组数据的第p百分位是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p%）的数据大于或等于这个值.
（四）回归分析
1.两个变量的线性相关
(1)正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．
(2)负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．
(3)线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2．回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程：方程eq \(y,\s\up7(^))＝eq \(b,\s\up7(^))x＋eq \(a,\s\up7(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq \(a,\s\up7(^))，eq \(b,\s\up7(^))是待定参数．
3．回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
(2)样本点的中心
对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中称为样本点的中心，即回归直线经过点．
(3)相关系数
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
（4）常用结论
= 1 \* GB3 ①回归直线必过样本点的中心．
= 2 \* GB3 ②当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
（五）独立性检验
1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
2×2列联表
构造一个随机变量，其中为样本容量．
【典型考题解析】
热点一 随机抽样
【典例1】（2021·全国高一课时练习）某班有30位同学，他们依次编号为01，02，，29，30，现利用下面的随机数表选取5位同学组建“文明校园督查组”．选取方法是从随机数表的第1行的第7列和第8列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5位同学的编号为（ ）
A．08B．21C．09D．29
【典例2】（2019·天津·高考真题（文））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
【总结提升】
1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．
2. 分层抽样的前提和遵循的两条原则
(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．
(2)遵循的两条原则：
①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．
热点二 频率分布直方图
【典例3】（2022·天津·高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8B．12C．16D．18
【典例4】（2021·全国·高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【典例5】（2019·全国高考真题（理））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.
（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
1.两个主要考查角度：
（1）利用频率分布直方图求频率、频数．
（2）利用频率分布直方图估计总体
2.熟记结论：(1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1；
(2) eq \f(频率,组距)×组距＝频率；
(3)频数/样本容量＝频率，此关系式的变形为频数/频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数
3.易错防范：频率分布直方图的纵坐标是频率组距，而不是频率
热点三 样本的数字特征
【典例6】（2022·全国·高考真题（理））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【典例7】（2022·全国·高考真题（文））分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【典例8】【多选题】（2021·全国·高考真题）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【典例9】（2021·全国·高考真题（理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
【总结提升】
主要命题角度有三个：
（1）样本的数字特征与频率分布直方图交汇
（2）样本的数字特征与茎叶图交汇
= 1 \* GB3 ①在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
= 2 \* GB3 ②茎叶图既可以表示两组数据，也可以表示一组数据，用它表示的数据是完整的数据，因此可以从茎叶图中看出数据的众数(数据中出现次数最多的数)、中位数(中间位置的一个数，或中间两个数的平均数)等．
（3）样本的数字特征与优化决策问题交汇：利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据
= 1 \* GB3 ①平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
= 2 \* GB3 ②用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征．
热点四 相关关系的判断
【典例10】（江西·高考真题（理））变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则 （ ）
A．B．C．D．
【典例11】（宁夏·高考真题（理））对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断．
A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
【规律方法】
判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)线性回归直线方程中：eq \(b,\s\up7(^))>0时，正相关；eq \(b,\s\up7(^))