九年级上学期期末数学试题 (81)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (81)，共26页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)
1. 下面四个古典园林花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故C符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
2. 如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求出答案.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
3. 下列说法中正确的是（）
A. “过圆内一点的直线与圆相交”是随机事件
B. “方程有两个不相等的实数根”是必然事件
C. “二次函数与轴相交”是不可能事件
D. “过平面内三点可画圆”是必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查事件的可能性，解题的关键是掌握直线与圆的关系、一元二次方程的根、二次函数图象与轴的交点情况、圆的定义．
根据直线与圆的关系、一元二次方程的根、二次函数图象与轴的交点情况、圆的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．“过圆内一点的直线与圆相交”是必然事件，此选项不符合题意；
B．，故“方程有两个不相等的实数根”是必然事件，此选项符合题意；
C．“二次函数与轴相交”是随机事件，此选项不符合题意；
D．“过平面内三点可画圆”是随机事件，此选项不符合题意；
故选：B．
4. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解，即可．
【详解】解：由旋转性质可知：，
∵点D恰好落在的延长线上，
∴，
∴，
即旋转角的度数是，
故选：B．
5. 已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把化为顶点式，再根据二次函数的图象、增减性进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
当，，则抛物线与y轴的交点为，
关于的对称点为，
如图所示，
∵当时，y最大值为3，最小值为2，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，画出图像，数形结合是解题的关键．
6. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A. 1000（1+x）2＝1000+440B. 1000（1+x）2＝440
C. 440（1+x）2＝1000D. 1000（1+2x）＝1000+440
【答案】A
【解析】
【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案．
【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．
7. 如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
8. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 当时，y随x的增大而增大D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得，可得结论；应该是时，随的增大而增大；设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可．
【详解】解：A．抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，
抛物线交轴的负半轴，
，
，故本选项不符合题意，
B．，，
，故本选项不符合题意，
C．观察图象可知，当时，随的增大而减小，本选项不符合题意，
D．抛物线经过，，
可以假设抛物线的解析式为，
，，
过点作轴于点，设对称轴交轴于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确，符合题意；
故选：D
9. 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC
∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：
故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形
10. 如图，四边形是边长为1的正方形，E是射线上的动点(点E不与点A，B重合)，点F在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接．设，四边形的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，全等三角形的判定与性质，结合图形分析题意并解答是解题关键．
当点在上时，作于，证明与全等，得出，根据四边形面积公式计算即可；当点在延长线上时，作于，证明与全等，得出，根据四边形面积公式计算即可．
【详解】解：如图，当点在上时，作于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形的面积为；
如图，当点在延长线上时，作于，
同理可证：，，
，
四边形的面积为；
综上可知，当时，函数图象是开口向下的抛物线；当时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B，
故选：B．
二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)
11. 点关于原点对称的点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
故答案为：．
12. 在，，3，0四个数中，随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数的对称轴在轴右侧的概率是______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】二次函数的对称轴在y轴的右侧得出，从所列4个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：二次函数的对称轴为，
当对称轴在y轴右侧时，，得到，
而-2，-1，3，0这四个数中，小于0的个数有2个，
∴该二次函数的对称轴在轴右侧的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
13. 若m，n是一元二次方程的两根，则的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：1．
14. 如图，将⊙O内接三角形ABC绕点B顺时针旋转40°后得到△A'BC'，其中点C' 恰好落在⊙O上，则∠A的度数是______°．
【答案】
【解析】
【分析】利用旋转的性质求解，连接利用圆的内接四边形的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：
连接

四边形为圆的内接四边形，


故答案为：
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
15. 如图，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P与OB、AB均相切，点P是线段AC与抛物线y＝ax2的交点，则a的值为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】⊙P与OB、AB均相切M、N，连接PM、PN，设点P的坐标为（x，－x＋6），由点P、A的坐标得，则，由，得，进而求解．
【详解】解：如图，设⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，连接PM、PN，
设圆的半径为x，则PN＝PM＝x，
由题意得：OC＝AO＝6，
∴直线AC与y轴的夹角为45°，
∴CM＝MP＝x，
∵点A（6，0）、C（0，6），
∴直线AC的表达式为：，
∴点P的坐标为（x，－x＋6），
∵A（6，0），
∴，
∴，
∵⊙P与OB、AB分别相切于点M、N，
∴，
在中，OA＝6，OB＝8，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验，x=1是方程的解，
∴点P的坐标为（1，5），
将点P的坐标为（1，5）代入y＝ax2，
得：．
故答案为：．
【点睛】本题为几何和函数综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的切线的性质、勾股定理的运用等，综合性强，难度适中．
三、解答题(共9小题，共75分)
16. 解下列方程：
（1）5x+2=3x2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9．
【答案】（1）x1=﹣，x2=2；（2）x1=3，x2=9．
【解析】
【分析】（1）先移项化简，再用因式分解法即可解出；
（2）先移项化简，再用因式分解法即可解出.
详解】（1）5x+2=3x2，
3x2﹣5x﹣2=0
（3x+1）（x﹣2）=0
所以x1=﹣，x2=2；
（2）2（x﹣3）2=x2﹣9，
2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]=0，
x﹣3=0或x﹣9=0，
所以x1=3，x2=9．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-因式分解法.
17. 、、、四名选手参加赛跑，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签方式决定各自的跑道，请用画树状图或列表的方法，求、两位选手抽中相邻跑道的概率．
【答案】12，详见解析．
【解析】
【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率等知识点，画树状图得出两位选手抽中赛道的所有等可能的结果数以及两位选手抽中相邻跑道的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握树状图法或列表法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】画树状图表示两位选手抽中赛道的情况如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中两位选手抽中相邻跑道的结果有，共6种，
∴两位选手抽中相邻跑道的概率为．
18. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为．
（1）画出绕点O逆时针旋转后的；
（2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留π)．
【答案】（1）图见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积：
（1）依据旋转变换的性质画出图形即可；
（2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积扇形的面积扇形的面积，由此计算即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
由勾股定理，得：，
∴线段扫过的面积为：．
19. 如图，抛物线经过坐标原点O和点，对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）设直线与该抛物线两交点的横坐标分别为，当时，求k的值．
【答案】（1）
（2）k的值为3或
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）联立解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过坐标原点O和点，对称轴为直线．
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
由题意，得：为方程的两个实数根，
整理，得：，
∵，
∴k为任意实数．
由根与系数的关系可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴k的值为3或．
20. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】（1）
（2）2或6m
【解析】
【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解；
（2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解．
小问1详解】
解：根据题意可知抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
【小问2详解】
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
21. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE ．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）5．
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据等边对等角得出∠ODA＝∠OAD，进而得出∠OAD＝∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根据垂径定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．
【详解】
（1）证明：连结OA．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA．
∴∠OAD＝∠EDA，
∴EC∥OA．
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF＝AE＝4cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3cm．
在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，
即⊙O的半径为5cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
22. 小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式（，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．（注：销售利润=售价-成本）．
【答案】（1）日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为
（2）当x=10时，销售利润最大，最大=450元
（3）a的值为6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：，解方程组即可；
（2）设日销售利润用w表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系然后配方为顶点式即可；
（3）根据函数的性质，k=-2＜0，y随x的增大而减小，x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），根据，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，得出小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，利用销量×每盏台灯的利润=450+30，列方程即可．
【小问1详解】
解：设该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系为，代入数据得：
，
解得：，
∴日销售量p（盏）与时间x（天）之间函数关系为；
【小问2详解】
解：设日销售利润用w表示，
，
当x=10时，销售利润最大，最大=450元；
【小问3详解】
∵，k=-2＜0，y随x的增大而减小，
∴x=1时，p最大=盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a），
∵，k=,y随x的增大而二增大，x=20时y最大=元/盏，
∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a）元/盏，
根据题意：，
整理得，
解得（舍去），
∴a的值为6．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键．
23. 如图，△ABC与△CDE是等边三角形，连接AD，取AD的中点P，连接BP并延长至点M，使PM=BP，连接AM，EM，AE，将△CDE绕点C顺时针旋转．

（1）如图1，当点D在BC上，点E在AC上时，则△AEM的形状为_____；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转至图2的位置，请判断△AEM的形状，并说明理由；
（3）若CD=BC，将△CDE由图1位置绕点C顺时针旋转，当ME=CD时，请直接写出的值．
【答案】（1）等边三角形；（2）等边三角形，理由见解析；（3）60°或300°
【解析】
【分析】（1）结论：△AEM是等边三角形，根据三个角是60°的三角形是等边三角形证明即可．
（2）结论：△AEM是等边三角形．想办法证明AM=AE，∠MAE=60°即可．
（3）利用勾股定理的逆定理证明∠AEC=90°，分两种情形分别求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵AP=PD，PB=PM，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴∠AME=∠ABC=60°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DEC=60°，
∴∠AEM=∠DEC=60°，
∴△AEM是等边三角形，
故答案：等边三角形；
（2）如图2中，结论：△AEM是等边三角形．

理由：设AE交BD于O，AC交BD于K，连接DM．
∵△ABC，△DEC都是等边三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠CBK=∠OAK，
∵∠BKC=∠AKO，
∴∠AOK=∠BCK=60°，
∵AP=PD，BP=PM，
∴四边形ABDM是平行四边形，
∴AM=BD，AM∥BD，
∴∠AOB=∠OAM=60°，AM=AE，
∴△AEM是等边三角形．
（3）设CD=a，则AC=2a，AE=，
∴AC2=AE2+EC2，
∴∠AEC=90°，
①如图3中，当点D在AC的中点时，满足条件，此时=60°，

②如图4中，当点E落在BC的中点时，满足条件，此时=300°．

综上所述，满足条件的的值为60°或300°．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
24. 如图，直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，抛物线经过点B，与直线y=x-3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点M，当∠MBE=75°时，求点M的横坐标；
（3）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在矩形，
【解析】
【分析】（1）直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，-3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y=x2-x-3…①；
（2）当∠MBE=75°时，如下图所示，分M在x轴上和x轴下分别求解即可；
（3）存在①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n=-m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1=，P′B所在的直线k2=，则：k1•k2=-1即可求解，②当BC为矩形一边时，矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y=-x-3，则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），则Q（2，8），即可求解．
【详解】：（1）直线y=x-3与坐标轴交于A、B两点，
则A（3，0）B（0，-3），
把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：
抛物线的解析式y=x2-x-3；
（2）符合条件的有M和M′，如下图所示，
当∠MBE=75°时，
∵OA=OB，∴∠MBO=30°，
此时符合条件的M只有如图所示的一个点，
MB直线的k为-，所在的直线方程为：y=-x-3…②，
联立方程①、②可求得：x=4-4，
即：点M的横坐标4-4；
当∠M′BE=75°时，∠OBM′=120°，
直线MB的k值为-，其方程为y=-x-3，
将MB所在的方程与抛物线表达式联立，
解得：x=，
故：即：点M的横坐标4-4或．
（3）存在．
①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，
设：P′（m，n），
n=-m2-m-3…③，
P′C所在直线的k1=，
P′B所在的直线k2=，则：k1•k2=-1…④，
③、④联立
解得：m=0或6
解得: m=0或6,这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故:这种情况不存在,舍去.；
②当BC为矩形一边时，
情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，
直线BC所在的方程为：y=x-3，
则：直线BP的k为-2，所在的方程为y=-2x-3…⑤，
联立①⑤解得点P（-4，5），
则Q（2，8），
情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，
此时，P″在抛物线上，其指标为：（-10，32）．Q″坐标为（-16,29）．
故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（-16，29）．