九年级上学期期末数学试题 (97)

这是一份九年级上学期期末数学试题 (97)，共18页。试卷主要包含了 下列事件是随机事件的是， 一元二次方程根的情况是等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，正方形ABCD的对称轴的条数有( )

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义即可确定正方形的对称轴条数．
【详解】如图：

正方形是轴对称图形，共有4条对称轴．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2. 已知☉O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线a的距离为d,若dr,则直线与与圆相离.
【详解】解：∵x2-4x-12=0，
(x+2)(x-6)=0，
解得：x1=-2(不合题意舍去)，x2=6，
∵点O到直线l距离是方程x2-4x-12=0的一个根，即为6，
∴点O到直线l的距离d=6，r=5，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离.
故选C
【点睛】本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.
3. 若两个连续整数的积是56，则它们的和为（ ）
A. 11B. 15C. ﹣15D. ±15
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用. 设这两个连续整数中较小的一个是为x，则较大的是x+1．根据两个连续整数的积是x（x+1），根据关键描述语“两个连续整数的积是56”，即可列出方程求得x的值，进而求得这两个数的和．
【详解】解：设这两个连续整数为x，x+1．
则x（x+1）=56，
解之得，x=7或x=-8，
则x+1=8或-7，
则它们的和为±15．
故选D．
4. 过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3， BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．
A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③
【答案】C
【解析】
【详解】经过不在同一直线上的三点可以确定圆，能构成三角形的三点一定可以确定一个圆,因为只有C选项中的三点能构成三角形，故选C.
5. 下列事件是随机事件的是（ ）
A. 在一个标准大气压下，水加热到100℃会沸腾B. 购买一张福利彩票就中奖
C. 有一名运动员奔跑的速度是50米/秒D. 在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件的类型特点及性质进行判断.
【详解】A、是必然事件，选项错误；
B、是随机事件，选项错误；
C、是不可能事件，选项错误；
D、不可能事件，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查的是随机事件的特性，熟练掌握随机事件的特性是本题的解题关键.
6. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率为P1，是3的倍数的概率为P2，则（ ）
A. P1＜P2B. P1＞P2C. P1＝P2D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知数据可知2的倍数有4个，3的倍数有3个，计算出概率比较大小即可．
【详解】解：1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，
2的倍数有2，4，6，8，共4个，即,
3的倍数有3，6，9，共3个，即,
∵，
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查概率的性质，理清题意正确计算概率是解题的关键．
7. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 无实数根B. 有一个正根，一个负根
C. 有两个正根，且都小于3D. 有两个正根，且有一根大于3
【答案】D
【解析】
【详解】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值．
详解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，则x2﹣4x+2=0，（x﹣2）2=2，解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，故有两个正根，且有一根大于3．
故选D．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
8. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ）
A. 12寸B. 24寸C. 13寸D. 26寸
【答案】D
【解析】
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：如图，连接，
，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
寸，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键．
9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】解：由方程组得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
10. 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回.点P在运动过程中速度大小不变.则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】（是二次函数），点P从A–B时，AP变长，点P从B–A时，AP变短，故选A
11. 如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A. 18+36πB. 24+18πC. 18+18πD. 12+18π
【答案】C
【解析】
【详解】分析：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出AE=6，通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF进行计算．
详解：作FH⊥BC于H，连接FH，如图，
∵点E为BC的中点，点F为半圆的中点，
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE==6，
易得Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
=12×12+•π•62﹣×12×6﹣•6×6
=18+18π．
故选C．
点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
12. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a＋b＝0；（2）9a＋c＞3b；（3）8a＋7b＋2c＞0；（4）当x=2时，函数有最小值；其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a的大小，由抛物线与y轴的交点判断c的大小，然后根据对称轴与抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：（1）函数的对称轴为直线x＝2，即，化简得：，故（1）正确，符合题意；
（2）当时，，故（2）错误，不符合题意；
（3）当时，，即，
∵，
∴，则，故（3）正确，符合题意；
（4）抛物线开口朝下，当x=2时，函数有最大值，故（4）错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图像与性质的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点与顶点．
二．填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
13. 在平面直角坐标系中，点M（a+1，2），N（-3，b-1）关于原点对称，则a、b分别为________ ．
【答案】2，-1
【解析】
【分析】关于原点对称的两个数，横纵坐标都互为相反数，即可求出答案．
【详解】解：∵点M（a+1，2），N（-3，b-1）关于原点对称，
∴，解得；
故答案为：2，﹣1．
【点睛】本题考查坐标系点对称，关于原点对称的点坐标互为相反数．
14. 某校九年级（3）班在体育毕业考试中，全班所有学生得分的情况如下表所示：
那么该班共有___人，随机地抽取1人，恰好是获得30分的学生的概率是___．
【答案】 ①. 60 ②.
【解析】
【分析】把每个分数段的人数相加即可求出总人数，再用满足条件的人数除以总人数即可．
【详解】解：把每个分数段人数相加，得：2＋3＋12＋20＋13＋10＝60，
即总共有60人，
∵获得30分的学生共有10人，
∴恰好是获得30分的学生的概率是；
故答案为：60，．
【点睛】本题考查概率，理清题意，找准满足条件的数据运用正确公式是解题的关键．
15. 二次函数y=2x2+3x﹣9的图象与x轴交点的横坐标是__________.
【答案】﹣3或1.5
【解析】
【分析】利用二次函数图象与x轴交点的横坐标即为y=0时，求出x的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：y=0时，0=2x2+3x-9，
则（2x-3）（x+3）=0，
解得：x1=1.5，x2=-3．
故答案为﹣3或1.5．
【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴交点求法，正确解一元二次方程是解题关键．
16. 一个圆锥的母线长是 4，底面圆的半径是 3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ________．
【答案】270°##270度
【解析】
【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：∵底面圆的半径是 3，母线长是 4，
∴圆锥侧面展开图的弧长是：，
设圆心角的度数为n度，母线长是 4，则，
解得：270；
故答案为：270°．
【点睛】本题考查圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来扇形之间的关系是解题的关键．
17. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
【答案】k＞且k≠1.
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故答案为k＞且k≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义.
18. 如图，在平面直角坐标系中，P是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点Q，则线段的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．
【详解】解：连接PQ、OP，如图，
∵直线OQ切⊙P于点Q，
∴PQ⊥OQ，
Rt△OPQ中，OQ==，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y=2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为==．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】方程两边都加上，配成完全平方式，再两边开方即可得．
【详解】解：，
，即，
则，
，
即，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，必须熟练的计算,这是中考的必考题.
20. 已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0时，求x的取值范围．
【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2
（2）﹣1＜x＜2
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）结合函数与x轴交点进行判断．
【小问1详解】
解：把A（﹣1，0），B（2，0）两点分别代入y＝x2+mx+n，得
，解得，
故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x﹣2．
【小问2详解】
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，且开口方向向上，
∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式，难度不大．
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）先将竖直向下平移5个单位长度，再水平向右平移1个单位长度得到，请画出；
（2）将绕点顺时针旋转，得，请画出；
（3）求线段变换到的过程中扫过区域的面积．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到；
（2）依据旋转的方向和距离，即可得到；
（3）依据扇形的面积计算公式，即可得到线段B1C1变换到B2C1的过程中扫过区域的面积．
【详解】（1）如图为所求，
（2）如图为所求，
（3）B1C1=
∴线段B1C1变换到B2C1的过程中扫过区域的面积为：．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换和平移变换及扇形面积求解，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQAP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
（1）求证：△BOQ≌△POQ；
（2）若直径AB的长为12．当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）6，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明全等即可；（2）当四边形对角线互相垂直且平分时，四边形AEOP为菱形，利用勾股定理即可求得PE的长．
【小问1详解】
证明：
∵PA∥OQ，
∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，
而OA＝OP，
∴∠OPA＝∠OAP，
∴∠POQ＝∠BOQ，
在△BOQ和△POQ中
，
∴△BOQ≌△POQ（SAS）．
【小问2详解】
6
∵PE⊥AB，
∴当OC＝AC，PC＝EC，四边形AEOP为菱形，
∵OC＝OA＝＝AB=3，
∴PC＝＝3，
∴PE＝2PC＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理、平行线的性质、直角三角形勾股定理的运算及菱形的判定定理，这是个综合题，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
23. 如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B；转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你画树状图说明理由．
【答案】不公平；图表见解析
【解析】
【分析】先根据题意画出树状图，求出甲、乙获胜的概率，然后再进行比较即可．
【详解】解：不公平．画树状图得：
∵共有24种等可能的结果，所得的积是偶数的有18种情况，是奇数的有6种情况，
∴P（甲获胜）==，
P（乙获胜）==，
∴不公平．
【点睛】本题主要考查了列表或画树状图求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键．
24. 人民商场销售某种商品，统计发现：每件盈利元时，平均每天可销售件．经调查发现，该商品每降价元，商场平均每天可多售出 件．
假如现在库存量太大，部门经理想尽快减少库存，又想销售该商品日盈利达到元，请你帮忙思考，该降价多少？
假如部门经理想销售该商品的日盈利达到最大，请你帮忙思考，又该如何降价？
【答案】（1）降价20元可使销售利润达到1750元；（2）当x=15时 日盈利达到最大，为1800元．
【解析】
【分析】（1）设每件应降价x元，则每件盈利元，每天可以售出30+2x，所以此时商场平均每天要盈利（30+2x）元，根据商场平均每天要盈利1750元，为等量关系列出方程求解即可．（2）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件应降价x元之间的函数关系为：y=（30+2x），用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少．
【详解】（1）设每件降价x元，则每天可以售出（30+2x）件．
根据题意得：（45-x）（30+2x）=1750，
解得x1=10，x2=20．
因为要减少库存，所以x=20．
答：降价20元可使销售利润达到1750元．
设商场平均每天盈利元，则商场平均每天盈利元与每件应降价元之间的函数关系为：
．
∴当时 日盈利达到最大，为元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．
25. 在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，）或（0，﹣）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8；当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入得
，解得，
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入得，
整理得t2﹣2t=0，解得（舍去），，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
分数段
18分以下
18～20分
21～23分
24～26分
27～29分
30分
人数
2
3
12
20
13
10