2023-2024学年广东省广州市越秀区执信中学七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市越秀区执信中学七年级（下）期中数学试卷（含答案），共20页。试卷主要包含了9 的算术平方根是 (，下列各式计算正确的是 (，下列命题中，假命题是 (，解列方程组 等内容，欢迎下载使用。
023-2024 学年广东省广州市越秀区执信中学七年级（下）期中数学试卷
1．（3 分）9 的算术平方根是 (
)
A． −3
B． ±3
C．3
D． 3
2．（3 分）若点 P 的坐标为 (5,−4) ，则点 P 在 (
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

x = 2,
3
．（3 分）已知 
是二元一次方程 ax + y = 2 的一个解，则 a 的值为 (
)
y = 4

A．2
B． −2
C．1
D． −1
4．（3 分）将含30° 的直角三角板与直尺如图所示放置，若 ∠2 = 40°，则 ∠1的度数为 (
)
A． 30°
B． 40°
C．50°
D． 60°
5．（3 分）下列各式计算正确的是 (
)
A．
3
1 = ±1
B． 23 = 2
C． (−6)2 = 6
C．在 4 与 5 之间
D． 1.44 = ±1.2
D．在 3 与 4 之间
6
．（3 分）估算 26 的值 (
)
A．在 6 与 7 之间
B．在 5 与 6 之间
7．（3 分）下列命题中，假命题是 (
)
A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．如果 a / /b ， c / /b ，那么 a / /c
8
．（3 分）“践行垃圾分类 ? 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我
比你多收集了 7 节废电池．”乙说：“如果你给我 9 节废电池，我的废电池数量就是你的 2 倍”设甲收集了
x 节废电池，乙收集了 y 节废电池，根据题意可列方程组为 (
)

y − x = 7
x − y = 7
B． 
x − y = 7
x − y = 7
D． 
2(x − 9)
A． 
C． 
x + 9 = 2(y − 9)
=
y
x
− =
9
2(y + 9)
=
y
+
9

2(x − 9)

第 1 页（共 20 页）

9．（3 分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB 、CD ，若CD / /BE ，∠1= 37° ，
则 ∠2 的度数是 (
)
A．106°
B．103°
C．100°
D．97°
1
0．（3 分）如图，将边长为 1 的正方形 OABC 沿 x 轴正方向连续翻转 2024 次，点 A 依次落在点 A 、 A 、
1
2
A 、 A  A 的位置上，则点 A2024 的坐标为 (
)
3
4
2024
A． (2023,0)
B． (2023,1)
C． (2024,0)
D． (2024,1)
二、填空题（每题 3 分。共 18 分）
2．（填“ > ”“ < “或“ = ” ) ．
1
1．（3 分）比较大小： 13
3
1
1
2．（3 分）若 262.44 =16.2 ，则 2.6244 =
．
3．（3 分）如图，将 ∆ABC 沿CB 平移得到 ∆DEF ，若 BC = 6 ， BE = 4，则 BF 的长是
．

x + y = k
1
1
4．（3 分）若关于 x ，y 的二元一次方程组 
的解也是二元一次方程 2x − 3y = 3的解，则 k =
．
x − y = 2k

5．（3 分）在平面直角坐标系中，若点 M (2 − a,3a + 6) 到两坐标轴的距离相等，则 a 的值是
．
1
6．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，如果 AB / /CD ，∠A = 60° ， P 是边 AB 上一点， DE 平分 ∠ADP 交
．（填写序号）
边 AB 于点 E ， DF 平分 ∠CDP 交边 BC 于点 F ．以下四个结论中正确的是
①
②
③
④
∠EDF = 60° ，
∠C = 60°，
若 ∠AED = ∠ADF ，则 DP 平分 ∠EDF ，
若 ∠APD = 60°，则 ∠DEB = ∠DFB ．
第 2 页（共 20 页）

三、解答题（共 9 小题，共 72 分）
1
7．（4 分）计算：|1− 2 | + (−2)2
+
3
−27 ．

3x − y = 4
1
8．（4 分）解列方程组 
．
2x + 3y = −1

1
9．（6 分）填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点 E ， F 分别在线段 AB ， CD 上， AB / /CD ， ∠BED = ∠AFC ．
求证： ∠A + ∠AED =180° ．
证明：D AB / /CD （已知），
∴
∠BED = ∠D(
) ．
D∠BED = ∠AFC （已知），
∴
∴
∴
∠D = ∠AFC(
/ /
) ．
(
) ．
∠A + ∠AED =180°(
) ．
2
0．（6 分）已知某正数的两个平方根分别是 a − 3 和 2a +15 ，b 的立方根是 −2 ，求：
（
（
1）该正数是多少？
2） −2a − b 的算术平方根．
第 3 页（共 20 页）

2
1．（8 分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，∆ABC 的三个顶点的位置如图所示，
现将 ∆ABC 平移，点 A 平移到点 D 的位置， B ， C 点平移后的对应点分别是 E ， F ．
（
（
（
1）画出平移后的 ∆DEF ．
2）连接 AD ， BE ，则这两条线段的数量、位置关系是
．
3）求 ∆DEF 的面积．
2
2．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P ，给出如下定义：
点 P 的“第 I 类变换”：将点 P 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度；
点 P 的“第 II 类变换”：将点 P 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度．
（
②
（
1）①已知点 A(3, 0) ，对点 A 进行 1 次“第 I 类变换”后得到的点的坐标是
点 B 为平面内一点，若对点 B 进行 1 次“第 II 类变换”后得到点 (0, 2) ，则点 B 的坐标是
2）已知点 C(m,n) ，若对点 C 连续进行 5 次“第 I 类变换”，再连续进行 4 次“第 II 类变换”后得到点 D ，
；
．
求点 D 的坐标（用 m ， n 表示）．
（
3）点 P 的坐标 (−10,3) ，对点 P 进行“第 I 类变换”和“第 II 类变换”共计 20 次后得到点 Q ，请问是
否存在一种上述两类变换的组合，使得点 Q 恰好在 y 轴上？如果存在，请求出此时点 Q 的坐标；如果不存
在，请说明理由．
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2
3．（10 分）在平面直角坐标系中，已知 A(0,7) ， B(3, 7) ，C(7,0) ，
（
1） AB =
， OA =
， OC =
．
（
2）如图，点 M 在线段 OA 上，线段 PQ / /x 轴，PQ =1，M 、P 、Q 在一条直线上，点 P 从点 M 出发，
沿 x 轴正方向平移，若 S四边形ABQP : S四边形OCQP = 5: 4 ，求点 M 的坐标．
（
3）在（2）的条件下，点 Q 在四边形 ABCO 内，若 S∆AOP = 2S∆BCQ ，求点 Q 的坐标．
第 5 页（共 20 页）

2
4．（12 分）某体育用品商场销售 A 、 B 两款足球，售价和进价如表：
类型
A 款
B 款
进价（元 / 个）
售价（元 / 个）
m
n
120
90
若该商场购进 10 个 A 款足球和 20 个 B 款足球需 2000 元；若该商场购进 20 个 A 款足球和 30 个 B 款足球
需 3400 元．
（
1）求 m 和 n 的值；
（
2）某校在该商场一次性购买 A 款足球 x 个和 B 款足球 y 个，共消费 3600 元，那么该商场可获利多少元？
（
3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买 1 个 A 款足球送 1 根跳绳，买 3 个 B 款
足球送 2 根跳绳”，每根跳绳的成本为 10 元，某日售卖两款足球总计盈利 600 元（统计购买 B 款足球的数
量为 3 的倍数），那么该日销售 A 、 B 两款足球各多少个？
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2
5．（12 分）如图，过点 P 作直线分别与直线 AB ，CD 相交于 E 、F 两点，∠PFC 的角平分线交直线 AB
于点 M ，射线 MP 交直线 CD 于点 N ．设 ∠EPN = x° ， ∠PEB = y° ， ∠PND = ∠PEB ，其中 x 、 y 满足
(x − 80)2 + 2x − y − 20 = 0．
（
1） x =
， y =
．
（
2）求证： AB / /CD ．
3）过点 P 作直线 QR 分别交直线 AB 于点 Q ，交直线 CD 于点 R ，且 Q 不与 M 重合， R 不与 N 重合，
（
作 ∠MQR 的角平分线交线段 MF 于点 S ，探究 ∠FSQ 与 ∠FPQ 的数量关系．
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2
023-2024 学年广东省广州市越秀区执信中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
1．（3 分）9 的算术平方根是 (
)
A． −3
B． ±3
C．3
D． 3
【
解答】解：9 的算术平方根是 3．
故选： C ．
2．（3 分）若点 P 的坐标为 (5,−4) ，则点 P 在 (
)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【
解答】解：D点 P 的坐标为 (5,−4)
∴
∴
符号特征为 (+,−) ，
点 P 位于第四象限，
故选： D ．

x = 2,
3
．（3 分）已知 
是二元一次方程 ax + y = 2 的一个解，则 a 的值为 (
)
y = 4

A．2
解答】解：把 
B． −2
C．1
D． −1

x = 2
【
代入方程得： 2a + 4 = 2 ，
y = 4

解得： a = −1，
故选： D ．
4．（3 分）将含30° 的直角三角板与直尺如图所示放置，若 ∠2 = 40°，则 ∠1的度数为 (
)
A． 30°
B． 40°
C．50°
D． 60°
【
解答】解：标出字母，如图：
D∠3 = ∠2 = 40° ， ∠ACB = 90° ，
第 8 页（共 20 页）

∴
∠4 = 90° − ∠3 = 50° ，
DDE / /FG ，
∠1= ∠4 = 50°．
故选： C ．
∴
5
．（3 分）下列各式计算正确的是 (
A． 1 = ±1 B． 23 = 2
解答】解： A ． 1 =1，故此选项错误不合题意；
)
3
C． (−6)2 = 6
D． 1.44 = ±1.2
【
3
B ． 23 = 2 2 ，故此选项错误不合题意；
C ． (−6)2 = 6 ，故此选项正确符合题意；
D ． 1.44 =1.2 ，故此选项错误不合题意；
故选： C ．
6．（3 分）估算 26 的值 (
)
A．在 6 与 7 之间
B．在 5 与 6 之间
C．在 4 与 5 之间
D．在 3 与 4 之间
【
解答】解：D25 < 26 < 36 ，
5 < 26 < 6 ．
∴
故选： B ．
7．（3 分）下列命题中，假命题是 (
)
A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．对顶角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．如果 a / /b ， c / /b ，那么 a / /c
【
解答】解： A 、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；
B 、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，符合题意；
D 、如果 a / /b ， c / /b ，那么 a / /c ，是真命题，不符合题意；
故选： C ．
8
．（3 分）“践行垃圾分类 ? 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我
比你多收集了 7 节废电池．”乙说：“如果你给我 9 节废电池，我的废电池数量就是你的 2 倍”设甲收集了
x 节废电池，乙收集了 y 节废电池，根据题意可列方程组为 (
)

y − x = 7
x − y = 7
A． 
B． 
x + 9 = 2(y − 9)
2(x − 9)
=
y
y


x − y = 7
x − y = 7
C． 
D． 
x − 9 = 2(y + 9)
2(x − 9)
=
+
9

第 9 页（共 20 页）

【
解答】解：D甲比乙多收集了 7 节废电池，
∴
x − y = 7 ；
D若甲给乙 9 节废电池，则乙的废电池数量就是甲的 2 倍，
∴
2(x − 9) = y + 9 ．

x − y = 7
∴
根据题意可列方程组为 
．
2(x − 9) = y + 9

故选： D ．
9．（3 分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB 、CD ，若CD / /BE ，∠1= 37° ，
则 ∠2 的度数是 (
)
A．106°
B．103°
C．100°
D．97°
【
解答】解：D翻折前后角度不变，
∴
∠5 = ∠6 ，
D AF / /BE ，CD / /BE ，
∴
∴
AF / /BE / /CD ，
∠1 = ∠3 ， ∠4 = ∠6 ，
D AD / /BC ，
∴
∴
∴
∴
∠3 = ∠4 ，
∠1= ∠3 = ∠4 = ∠6 = 37° ，
∠5 = ∠6 = 37° ，
∠2 =180° − 2×37° =106°，
故选： A ．
1
0．（3 分）如图，将边长为 1 的正方形OABC 沿 x 轴正方向连续翻转 2024 次，点 A 依次落在点 A 、 A 、
1
2
A 、 A  A 的位置上，则点 A2024 的坐标为 (
)
3
4
2024
第 10 页（共 20 页）

A． (2023,0)
B． (2023,1)
C． (2024,0)
D． (2024,1)
【
解答】解：由题知，
点 A1 的坐标为 (1, 0) ；
点 A2 的坐标为 (1, 0) ；
点 A3 的坐标为 (2,1) ；
点 A4 的坐标为 (4,1) ；
点 A5 的坐标为 (5, 0) ；
点 A6 的坐标为 (5, 0) ；
，
依次类推，每翻转四次，点 Ai (i 为正整数）的横坐标增加 4，且纵坐标按 0，0，1，1 循环出现，
又因为 2024 ÷ 4 = 506 ，
所以 4 + 4× (506 −1) = 2024 ，
所以点 A2024 的坐标为 (2024,1) ．
故选： D ．
二、填空题（每题 3 分。共 18 分）
11．（3 分）比较大小：
3
13
>
2．（填“ > ”“ < “或“ = ” ) ．
【
解答】解： (
3
13)3 =13 ， 23 = 8，
D13 > 8，
∴
3
13 > 2 ．
故答案为： > ．
2．（3 分）若 262.44 =16.2 ，则 2.6244 = 1.62
1
．
【
解答】解：D 262.44 =16.2，
∴
2.6244 =1.62．
故答案为：1.62．
3．（3 分）如图，将 ∆ABC 沿CB 平移得到 ∆DEF ，若 BC = 6 ， BE = 4，则 BF 的长是
1
2
．
【
解答】解：由平移可得： EF = BC = 6 ，
∴
BF = EF − BE = 6 − 4 = 2 ．
故答案为：2
第 11 页（共 20 页）


x + y = k
2
3
1
4．（3 分）若关于 x ，y 的二元一次方程组 
的解也是二元一次方程 2x − 3y = 3的解，则 k =
．
x − y = 2k


x + y = k①
【
解答】解： 
，
x − y = 2k②

①
+ ②，得： 2x = 3k ，
3
解得： x = k ，
2
3
3
把 x = k ，代入①得： k + y = k ，
2
2
1
解得： y = − k ，
2

3
x =
k

2
∴
方程组的解为： 
，
1

y = − k


2

x + y = k
D关于 x ， y 的二元一次方程组 
的解也是二元一次方程 2x − 3y = 3的解，
x − y = 2k

3
1
∴
2⋅ k − 3⋅(− k) = 3 ，
2
2
2
3
解得： k =
．
2
3
故答案为：
．
1
5．（3 分）在平面直角坐标系中，若点 M (2 − a,3a + 6) 到两坐标轴的距离相等，则 a 的值是
解答】解：D点 M (2 − a,3a + 6) 到两坐标轴的距离相等，
| 2 − a |=| 3a + 6 |，即 2 − a = 3a + 6或 2 − a = −3a − 6 ；
−1或 −4
．
【
∴
解得： a = −1或 −4 ．
故答案为： −1或 −4 ．
1
6．（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，如果 AB / /CD ，∠A = 60° ， P 是边 AB 上一点， DE 平分 ∠ADP 交
边 AB 于点 E ， DF 平分 ∠CDP 交边 BC 于点 F ．以下四个结论中正确的是 ①③ ．（填写序号）
①
②
③
④
【
∴
∠EDF = 60° ，
∠C = 60°，
若 ∠AED = ∠ADF ，则 DP 平分 ∠EDF ，
若 ∠APD = 60°，则 ∠DEB = ∠DFB ．
解答】解：D AB / /CD ，
∠A + ∠ADC =180° ，
又D∠A = 60°，
第 12 页（共 20 页）

∴
∠ADC =120° ，
D∠EDF = ∠EDP + ∠FDP ，
又DDE 、 DF 为角平分线，
1
1
∴
∠EDP = ∠ADP,∠FDP = ∠CDP ，
2
2
1
1
1
1
∴
∠EDF = ∠EDP + ∠FDP = ∠ADP + ∠CDP = (∠ADP + ∠CDP) = ∠ADC = 60° ，
2
2
2
2
故①正确；
D根据 AB / /CD 无法判断四边形 ABCD 是平行四边形，
无法判断 ∠C = 60°，故②错误；
D AB / /CD ，
∠AED = ∠CDE = ∠EDF + ∠CDF ，
D∠AED = ∠ADF = ∠EDF + ∠ADE ，
∠ADE = ∠CDF ，
而 ∠ADE = ∠EDP ， ∠CDF = ∠FDP ，
∴
∴
∴
∴
∴
∠EDP = ∠FDP ，
DP 平分 ∠EDF ，
故③正确；
若 ∠APD = 60°，
则 ∆ADP 为等边三角形，
D线段 DE 为角平分线，
∴
∴
∠DEP = 90° ，
1
1
∠CDF = ∠CDP = ∠APD = 30° ，
2
2
要证 ∠DEB = ∠DFB = 90°，
需证明 ∠C = 60°，
根据题目给出的条件无法证明四边形 ABCD 为平行四边形，故无法证明 ∠C = 60°，
故④错误；
故答案为：①③．
三、解答题（共 9 小题，共 72 分）
1
7．（4 分）计算：|1− 2 | + (−2)2
+
3
−27 ．
【
解答】解：原式 = ( 2 −1) + 2 − 3
=
2 − 2．
第 13 页（共 20 页）


3x − y = 4
1
8．（4 分）解列方程组 
．
2x + 3y = −1

【
解答】解：由①×3 ，得9x − 3y =12 ③，
由② + ③，得11x =11，
解得 x =1．
把 x =1代入①，得3×1− y = 4 ，
解得 y = −1，

x =1
∴
原方程组的解是 
．
y = −1

1
9．（6 分）填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点 E ， F 分别在线段 AB ， CD 上， AB / /CD ， ∠BED = ∠AFC ．
求证： ∠A + ∠AED =180° ．
证明：D AB / /CD （已知），
∴
∠BED = ∠D( 两直线平行，内错角相等 ) ．
D∠BED = ∠AFC （已知），
∴
∴
∴
∠D = ∠AFC(
/ /
) ．
(
) ．
∠A + ∠AED =180°(
) ．
【
解答】证明：D AB / /CD （已知），
∴
∠BED = ∠D （两直线平行，内错角相等），
D∠BED = ∠AFC （已知），
∴
∴
∴
∠D = ∠AFC （等量代换），
DE / /AF （同位角相等，两直线平行），
∠A + ∠AED =180° （两直线平行，同旁内角互补 ) ．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； DE / /AF ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同
旁内角互补．
2
0．（6 分）已知某正数的两个平方根分别是 a − 3 和 2a +15 ，b 的立方根是 −2 ，求：
（
（
【
1）该正数是多少？
2） −2a − b 的算术平方根．
解答】解：（1）由题意，得： a − 3 + 2a +15 = 0 ，
第 14 页（共 20 页）

解得： a = −4 ；
∴
∴
(a − 3)2 = (−4 − 3)2 = 49 ；
该正数是：49；
（
∴
∴
2）Db 的立方根是 −2 ，
b = (−2)3 = −8 ；
−2a − b = −2× (−4) − (−8) = 8 + 8 =16 ，
∴
−2a − b = 16 = 4 ．
2
1．（8 分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，∆ABC 的三个顶点的位置如图所示，
现将 ∆ABC 平移，点 A 平移到点 D 的位置， B ， C 点平移后的对应点分别是 E ， F ．
（
（
（
1）画出平移后的 ∆DEF ．
2）连接 AD ， BE ，则这两条线段的数量、位置关系是 平行且相等
．
3）求 ∆DEF 的面积．
【
解答】解：（1）由题意知， ∆ABC 是向右平移 4 个单位长度，向上平移 1 个单位长度得到的 ∆DEF ．
如图， ∆DEF 即为所求．
（
2）由平移可知， AD = BE ， AD / /BE ，
∴
这两条线段的数量、位置关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
1
1
1
3
2
7
2
（
3） ∆DEF 的面积为 × (1+ 3)×3 − × 2×1− ×1×3 = 6 −1−
=
．
2
2
2
第 15 页（共 20 页）

2
2．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，对于点 P ，给出如下定义：
点 P 的“第 I 类变换”：将点 P 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度；
点 P 的“第 II 类变换”：将点 P 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度．
（
②
（
1）①已知点 A(3, 0) ，对点 A 进行 1 次“第 I 类变换”后得到的点的坐标是
点 B 为平面内一点，若对点 B 进行 1 次“第 II 类变换”后得到点 (0, 2) ，则点 B 的坐标是
2）已知点 C(m,n) ，若对点 C 连续进行 5 次“第 I 类变换”，再连续进行 4 次“第 II 类变换”后得到点 D ，
(2, 2)
；
．
求点 D 的坐标（用 m ， n 表示）．
（
3）点 P 的坐标 (−10,3) ，对点 P 进行“第 I 类变换”和“第 II 类变换”共计 20 次后得到点 Q ，请问是
否存在一种上述两类变换的组合，使得点 Q 恰好在 y 轴上？如果存在，请求出此时点 Q 的坐标；如果不存
在，请说明理由．
【
解答】解：（1）①D点 A 的坐标为 (3, 0) ，
点 A 进行 1 次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标 (2, 2) ，
故答案为： (2, 2) ；
∴
②
D点 B 进行 1 次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为 (0, 2) ，
点 B 的坐标是 (0 − 3,2 +1) ，即 (−3, 3) ；
故答案为： (−3, 3) ；
2）对点C(m,n) 连续进行 5 次“第 I 类变换”后，得到的点的坐标是 (m − 5×1,n + 5× 2) ，化简得 (m − 5,n +10) ，
再进行 4 次“第 II 类变换”后，得到的点的坐标是 (m − 5 + 4×3,n +10 − 4×1) ，
∴
（
∴
D(m + 7,n + 6) ；
（
3）不存在，理由如下：
DP(−10,3) ，
设点 P 经过 m 次“第 I 类变换”，经过 n 次“第 II 类变换，
得到点 Q 的坐标为 (−10 − m + 3n,3 + 2m − n) ，
D点 Q 恰好在 y 轴上，

m + n = 20
∴
，

−10 − m + 3n = 0


25
2
15
m =

解得 
，

n =


2
Dm 、 n 为非负整数，
∴
∴
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点 Q 恰好在 y 轴上．
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2
3．（10 分）在平面直角坐标系中，已知 A(0,7) ， B(3, 7) ，C(7,0) ，
（
1） AB =
3
， OA =
，OC =
．
（
2）如图，点 M 在线段 OA 上，线段 PQ / /x 轴，PQ =1，M 、P 、Q 在一条直线上，点 P 从点 M 出发，
沿 x 轴正方向平移，若 S四边形ABQP : S四边形OCQP = 5: 4 ，求点 M 的坐标．
（
3）在（2）的条件下，点 Q 在四边形 ABCO 内，若 S∆AOP = 2S∆BCQ ，求点 Q 的坐标．
【
解答】解：（1）D A(0,7) ， B(3, 7) ，C(7,0) ，
∴
AB = 3， OA = 7 ， OC = 7 ；
故答案为：3，7，7；
2）设 M (0,n) ，
OM = n ， AM = 7 − n ，
（
∴
(PQ
+
AB)⋅
( + )⋅( − )
AM
1 3
7
n
S四边形ABQP
=
=
=
2 7
= ( − )，
n
2
2
(PQ
+
OC)⋅OM ( + )⋅
1 7
n
S四边形OCQP
=
= 4n ，
2
2
DS四边形ABQP : S四边形OCQP = 5: 4 ，
5
∴
2× (7 − n) = × 4n ，
4
解得 n = 2 ．
∴
点 M (0, 2) ．
（
3）由（2）得，点 M (0, 2) ，
设 Q(m,2) ，
∴
∴
P(m −1, 2) ，
OA⋅ MP
7
2
S∆AOP
=
=
(m −1) ，
2
由 n = 2 ，得 S四边形ABQP
=
2
7
2
10
×( − ) = ， S四边形OCQP = 4× 2 = 8 ，
(
AB OC)⋅OA (3 + 7)×
+
7
∴
S四边形ABCO
=
=
= 35，
2
2
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DS∆AOP = 2S∆BCQ
，
7
∴
S∆BCQ
=
(m −1) ，
4
D点 Q 在四边形 ABCO 的内部，
∴
∴
S∆AOP + S∆BCQ = S四边形ABCO − S四边形ABQP − S四边形OCQP
，
2
1
(m −1) = S − S − S =17 ，
1
2
3
4
8
9
∴
∴
m =
，
2
1

89
点Q ,2 ．
21



2
4．（12 分）某体育用品商场销售 A 、 B 两款足球，售价和进价如表：
类型
A 款
B 款
进价（元 / 个）
售价（元 / 个）
m
n
120
90
若该商场购进 10 个 A 款足球和 20 个 B 款足球需 2000 元；若该商场购进 20 个 A 款足球和 30 个 B 款足球
需 3400 元．
（
1）求 m 和 n 的值；
（
2）某校在该商场一次性购买 A 款足球 x 个和 B 款足球 y 个，共消费 3600 元，那么该商场可获利多少元？
（
3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买 1 个 A 款足球送 1 根跳绳，买 3 个 B 款
足球送 2 根跳绳”，每根跳绳的成本为 10 元，某日售卖两款足球总计盈利 600 元（统计购买 B 款足球的数
量为 3 的倍数），那么该日销售 A 、 B 两款足球各多少个？

10m + 20n = 2000
m = 80
，解得： 
【
解答】解：（1）依题意得： 
．
20m + 30n = 3400
n
=
60


答： m 的值为 80， n 的值为 60．
（
∴
∴
2）依题意得：120x + 90y = 3600 ，
4x + 3y =120 ，
(120 − 80)x + (90 − 60)y =10(4x + 3y) =10×120 =1200 ．
答：该商场可获利 1200 元．
（
3）设该日销售 A 款足球 a 个， B 款足球 b 个，
1
依题意得： (120 −10 − 80)a + × (90×3 − 60×3 −10× 2)b = 600 ，
3
7
∴
a = 20 − b ，
9
又Da ，b 均为正整数，
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
a =13 a = 6
或 
b = 9 b =18
∴
．


答：该日销售 A 款足球 13 个， B 款足球 9 个或 A 款足球 6 个， B 款足球 18 个．
5．（12 分）如图，过点 P 作直线分别与直线 AB ，CD 相交于 E 、F 两点，∠PFC 的角平分线交直线 AB
2
于点 M ，射线 MP 交直线 CD 于点 N ．设 ∠EPN = x° ， ∠PEB = y° ， ∠PND = ∠PEB ，其中 x 、 y 满足
(x − 80)2 + 2x − y − 20 = 0．
（
1） x = 80 ， y =
．
（
2）求证： AB / /CD ．
（
3）过点 P 作直线 QR 分别交直线 AB 于点 Q ，交直线 CD 于点 R ，且 Q 不与 M 重合， R 不与 N 重合，
作 ∠MQR 的角平分线交线段 MF 于点 S ，探究 ∠FSQ 与 ∠FPQ 的数量关系．
【
解答】解：（1）D (x − 80)2 + 2x − y − 20 = 0，

x − 80 = 0
x = 80
，解得： 
∴
，

2x − y − 20 = 0
y
=140


故答案为： x = 80 ， y =140 ；
（
2）证明：如图，过 P 作 PH / /AB ，
DPH / /AB ， ∠BEP =140°，
∠EPH =180° − ∠BEP = 40° ，
D∠EPN = 80° ，
∠NPH = ∠EPN − ∠EPH = 80° − 40° = 40° ，
D∠PND =140° ，
∴
∴
∴
∴
∠HPN + ∠PND =180° ，
PH / /AB ．
DPH / /AB ， PH / /CD ，
∴
AB / /CD ．
第 19 页（共 20 页）

（
3）设 ∠MQS = α ， ∠CFM = β ， ∠CFM = β ，
DSQ 、 FM 分别平分 ∠MQR 、 ∠PFC ，
∠PQS = ∠MQS = α ， ∠PQM = 2∠PQS = 2α ，
∴
同理可得， ∠CFM = β ， ∠PFC = 2β ，
当点 Q 在线段 ME 上时，如图所示：
过点 S 作， ST / /AB ， PV / /CD ，
D AB / /CD ，
∴
∴
ST / /CD ， PV / /AB ，
∠QST = ∠SQM = a ， ∠FST = ∠SFC = b ，
∠
∴
∠
OPV =180° − ∠MOP =180 − 2a ， ∠FPV =180° − ∠CFE =180° − 2b ，
∠FSQ = ∠QST + ∠FST = a + b ，
FPQ = ∠QPV + ∠VPF = (180° − 2a) + (180° − 2b) = 360° − 2(a + b)
∴
2∠FSQ + ∠FPQ = 360° ；
当点 Q 在点 M 的左侧时，过点 S 作 ST / /AB ， PV / /CD 如图所示：
同理可得，∴∠FSQ = ∠QST + ∠FST = a + (180° − b) =180° + (a − b) ，
∠FPQ = ∠QPV + ∠VPF = 2a + (180° − 2b) =180° + 2(a − b)? ，
∴
2∠FSQ − ∠FPQ =180° ，
当点 Q 在点 E 的右侧时，过点 S 作 ST / /AB ， PV / /CD ，如图所示：
同理可得， ∠FSQ = ∠QST + ∠FST = a + b ， ∠FPQ = ∠QPV + ∠VPF = 2a + 2b ，
1
∴
∠QSF = ∠FPQ ．
2
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