2024-2025学年陕西省咸阳市高一上册第一次月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市高一上册第一次月考数学检测试题（含解析），共18页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．
第I卷（选择题共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则
A B. C. D.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
3. 如果，那么下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若关于不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
6. 已知，则的最大值是（ ）
A. B. 4C. 6D. 7
7. 命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 用表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. 
C. D.
10. 下列四个命题中的假命题为（ ）
A. ，
B. 集合与集合是同一个集合
C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件
11. 若正实数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最小值7
C. 有最小值D. 有最小值
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设，，则、的大小关系是____________.
13. 已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是______
14. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为__________．
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，，全集.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16. （1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值
17. 已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，求关于的不等式的解集．
18. 为了丰富学生课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知．
（1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
19. 已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由；
（3）若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集．
2024-2025学年陕西省咸阳市高一上学期第一次月考数学检测试题
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试题不回收．
第I卷（选择题共58分）
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
先求出集合B再求出交集.
【详解】，
∴，则，
故选A．
本题考查了集合交集的求法，是基础题.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】A
【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“，”的否定是“，”.
故选：A
3. 如果，那么下列说法正确是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】举反例排除ABC，利用不等式的性质判断D，从而得解.
【详解】对于AB，当时，，，故AB错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：D.
4. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，由此可判断二次函数的图象可能的位置，即得答案.
【详解】根据一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可判断出，则图像，开口向上，对称轴为；D正确.
故选：D
5. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或D.
【正确答案】A
【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分类讨论与即可得解.
【详解】因为在上恒成立，
当时，得，显然成立；
当时，要使问题成立则，解得；
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
6. 已知，则的最大值是（ ）
A. B. 4C. 6D. 7
【正确答案】A
【分析】将变形为，利用均值不等式进行求解.
【详解】，，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值是.
故选：A.
7. 命题“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用恒成立求出参数范围，然后利用必要不充分性的定义求解即可.
【详解】，即，
故任意，即，
故“对任意”为真命题的一个必要不充分条件是.
故选：B
8. 用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】
要使，则，分类讨论利用判别式来确定集合中方程根的情况，进而可得实数的取值范围.
【详解】解：要使，则，
所以或或，
解得或，
又当时，，不合题意，
综上，实数的取值范围是，
故选：B.
本题考查集合新定义，考查学生理解能力和计算能力，是中档题.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. 
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，根据元素与集合的关系，可得，所以A正确；
对于B中，根据集合与集合间关系，可得，所以B正确；
对于C中，根据集合相等的定义，可得，所以C正确；
对于D中，集合为数集，集合为点集，所以，所以D错误.
故选：ABC.
10. 下列四个命题中的假命题为（ ）
A. ，
B. 集合与集合是同一个集合
C. “为空集”是“A与B至少一个为空集”的充要条件
D. 命题p：．命题q：．则p是q的充分不必要条件
【正确答案】BCD
【分析】A选项，当时，满足要求，故A为真命题；B选项，求出，，故B为假命题；CD选项，可举出反例.
【详解】A选项，当时，，故，，A为真命题；
B选项，集合与集合不是同一个集合，B为假命题；
C选项，不妨设，此时“为空集”，但不满足“A与B至少一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题；
D选项，，解得或，不妨设，满足，但不能推出．则p不是q的充分条件，D为假命题.
故选：BCD
11. 若正实数，满足，则下列选项正确是（ ）
A. 有最小值B. 有最小值7
C. 有最小值D. 有最小值
【正确答案】ABD
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】，
令，则，解得，即，
当且仅当时等号成立，故A正确；
由得，因为，，所以，
，
当且仅当，即，时等号成立，故B正确；
，
令，则，解得，即，
当且仅当时等号成立，故C错，D正确.
故选：ABD.
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设，，则、的大小关系是____________.
【正确答案】##
【分析】利用作差法判断即可.
【详解】因为，，
所以，当且仅当时取等号，
所以.
故
13. 已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是______
【正确答案】
【分析】由题可知命题的否定为真命题，是一个存在性问题，据此求解.
【详解】因为命题为假命题，
所以为真命题，
因此，解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为.
14. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为__________．
【正确答案】
【分析】分别求解两个不等式，对于不等式，按照的取值进行分类比较两根的大小，求得不等式的解集，再根据题意，借助于数轴表示即可求出的取值范围.
【详解】由可得，解得或，
由可得（*）.
① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意；
② 若，即时，由（*）可得，
因原不等式组仅有一个整数解，故，解得；
③ 若， 即时，由（*）可得，
因原不等式组仅有一个整数解，则，解得.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，，全集.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）化简集合A，根据补集运算、交集运算求解；
（2）由题意转化为，列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
当时，集合，或，
故
【小问2详解】
由题知：，即且，
当时，，解得，
当时，，解得，
由得，；
综上所述：实数取值范围为.
16. （1）已知实数，满足，，求和的取值范围
（2）已知正实数，满足：，求的最小值
【正确答案】（1），；（2）9
【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可;
（2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以的取值范围是．
因为，所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为9.
17. 已知函数．
（1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，求关于的不等式的解集．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据题意可得，且，3是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，求出，，进一步可得不等式等价于，即，最后求解不等式即可；
（2）当时，时，不等式等价于，从而分类讨论，，三种情况即可求出不等式所对应的解集．
小问1详解】
若关于的不等式的解集为，
则和3是方程的两根，且，
由韦达定理得，解得，
所以不等式，
解得或，
所以不等式的解集为．
【小问2详解】
若，则，
1）当时，由解得；
2）当时，方程的两根为，
当时，，解不等式得；
当时，，解不等式得或；
当时，，解不等式得或；
当时，由得．
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
18. 为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园．学校决定在原有的矩形花园的基础上，拓展建成一个更大的矩形花园．为了方便施工，建造时要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示．已知．
（1）当的长度为多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
（2）要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
【正确答案】（1）时，矩形的面积最小，最小面积2400
（2）
【分析】（1）设出的长为，则，表示出矩形面积的解析式，利用不等式求解；
（2）化简矩形面积，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
设出的长为，则，
，，，
∴矩形的面积，
由基本不等式得：，
当且仅当时，取“=”，当,即时，；
【小问2详解】
由（1）得，即，
∴，
∴或，
的范围在．
19. 已知是的非空真子集，如果对任意，都有，则称是封闭集．
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断“命题：非空集合是封闭集，则是是封闭集的充要条件”的真假，并说明理由；
（3）若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集．
【正确答案】（1）是封闭集；集合不是封闭集，理由见解析
（2）命题是真命题，理由见解析
（3）证明见解析
【分析】（1）根据封闭集的定义结合元素特征进行检验即可判断；
（2）先推充分性，由可任取，推即得；再推必要性，由是封闭集易得，故为真命题；
（3）对非空集合进行分类考虑，当时，，得证；当时，运用反证法思想，假设是封闭集合，分和两种情况进行分析讨论，引出矛盾，从而得证.
【小问1详解】
是封闭集，不是封闭集，理由如下：
对于集合，因，故是封闭集；
对于集合，因，
故集合不是封闭集．
【小问2详解】
命题是真命题，理由如下：
若，不妨任取，则有，
又集合是封闭集，则，同理，
因此，即是封闭集；
反之，若是封闭集，则是非空集合，即，
故是是封闭集的充要条件，命题是真命题．
【小问3详解】
因非空集合是封闭集合，
当时，，因此不是封闭集合；
当时，假设是封闭集合，
若，在中任取一个，则，
否则，此时，与矛盾，
因此，而，与矛盾，
则当时，则不是封闭集合，
同理当时，也不是封闭集合，
所以的补集不是封闭集．