专题04 万有引力定律及其应用（讲义）-高考物理二轮复习讲练测（新高考通用）

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\l "_Tc186641393" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc186641393 \h 3
\l "_Tc186641394" 03核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc186641394 \h 4
\l "_Tc186641395" 题型一 开普勒定律与万有引力定律 PAGEREF _Tc186641395 \h 4
\l "_Tc186641396" 【核心精讲】 PAGEREF _Tc186641396 \h 4
\l "_Tc186641397" 考点1 开普勒定律的应用技巧 PAGEREF _Tc186641397 \h 4
\l "_Tc186641398" 考点2 万有引力定律的两个重要推论 PAGEREF _Tc186641398 \h 4
\l "_Tc186641399" 考点3 万有引力与重力的关系 PAGEREF _Tc186641399 \h 4
\l "_Tc186641400" 考点4 应用万有引力定律解决天体问题的一般思路及方法 PAGEREF _Tc186641400 \h 5
\l "_Tc186641401" 考点5 天体质量及密度的计算 PAGEREF _Tc186641401 \h 5
\l "_Tc186641402" 【真题研析】 PAGEREF _Tc186641402 \h 5
\l "_Tc186641403" 【命题预测】 PAGEREF _Tc186641403 \h 8
\l "_Tc186641404" 考向1 开普勒定律的综合应用 PAGEREF _Tc186641404 \h 8
\l "_Tc186641405" 考向2 万有引力定律的综合应用 PAGEREF _Tc186641405 \h 9
\l "_Tc186641406" 考向3 天体质量、密度的计算 PAGEREF _Tc186641406 \h 11
\l "_Tc186641407" 题型二 卫星运行参数的分析与计算 PAGEREF _Tc186641407 \h 13
\l "_Tc186641408" 【核心精讲】 PAGEREF _Tc186641408 \h 13
\l "_Tc186641409" 考点1 天体及卫星运动的规律 PAGEREF _Tc186641409 \h 13
\l "_Tc186641410" 考点2 几种特殊卫星的规律 PAGEREF _Tc186641410 \h 14
\l "_Tc186641411" 考点3 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较 PAGEREF _Tc186641411 \h 15
\l "_Tc186641412" 【真题研析】 PAGEREF _Tc186641412 \h 16
\l "_Tc186641413" 【命题预测】 PAGEREF _Tc186641413 \h 17
\l "_Tc186641414" 考向1 不同轨道行星、卫星运行参数的计算与比较 PAGEREF _Tc186641414 \h 17
\l "_Tc186641415" 考向2 同步卫星、近地卫星与赤道上物体的比较 PAGEREF _Tc186641415 \h 19
\l "_Tc186641416" 难点突破 卫星变轨、追及相遇及双星问题 PAGEREF _Tc186641416 \h 20
\l "_Tc186641417" 【核心精讲】 PAGEREF _Tc186641417 \h 20
\l "_Tc186641418" 考点1卫星变轨 PAGEREF _Tc186641418 \h 20
\l "_Tc186641419" 考点2 卫星追及问题 PAGEREF _Tc186641419 \h 21
\l "_Tc186641420" 考点3 双星问题 PAGEREF _Tc186641420 \h 22
\l "_Tc186641421" 考点4 星球“瓦解”问题及黑洞 PAGEREF _Tc186641421 \h 22
\l "_Tc186641422" 【真题研析】 PAGEREF _Tc186641422 \h 22
\l "_Tc186641423" 【命题预测】 PAGEREF _Tc186641423 \h 25
\l "_Tc186641424" 考向1 卫星变轨 PAGEREF _Tc186641424 \h 25
\l "_Tc186641425" 考向2 追及相遇问题 PAGEREF _Tc186641425 \h 27
\l "_Tc186641426" 考向3 双星及多星问题 PAGEREF _Tc186641426 \h 28
题型一 开普勒定律与万有引力定律
考点1 开普勒定律的应用技巧
1.开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运转,也适用于卫星绕地球的运转
2.中学阶段一般把行星的运动看成匀速圆周运动,太阳处在圆心,开普勒第三定律中的a可看成行星的轨道半径R．
3.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
4.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
考点2 万有引力定律的两个重要推论
1. 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
2. 推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
考点3 万有引力与重力的关系
1. 地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F向,
1)在赤道上: .
2)在两极上: .
3)一般位置: .
式中r为物体到地球转轴的距离。越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即.
2. 星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，，得.所以，式中g为地球表面附近重力加速度.
考点4 应用万有引力定律解决天体问题的一般思路及方法
1.基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得：
2.应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析或计算
考点5 天体质量及密度的计算
1.天体表面处理方法
①天体质量，由，得天体质量.
②天体密度，由天体质量及球体体积公式，得天体密度
2.利用环绕天体处理方法
①天体质量，由，得天体质量.
②天体密度，由天体质量及球体体积公式，得天体密度
③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
1．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（ ）
A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C．小行星甲与乙的运行周期之比
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比=
【考点】开普勒定律的综合应用
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误；
B．根据，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误；
C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比，故C错误；
D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比≈，故D正确。
故选D。
2．（2023·湖南·高考真题）根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快．不考虑恒星与其它物体的相互作用．已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ）
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
【考点】万有引力定律的综合应用
【答案】B
【详解】A．恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；
B．恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大。B正确；
C．由第一宇宙速度物理意义可得，整理得，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；
D．由质量分布均匀球体的质量表达式得，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则，联立整理得，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。
故选B。
3．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】天体质量、密度的计算
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有，，可得，，可得，设某球体天体的半径为，在星球表面，有，，联立可得
故选C。
考向1 开普勒定律的综合应用
1．（2025届高三上学期·陕西宝鸡·一模）中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承， 被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置， 分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是（ ）
A．冬至时地球的运行速度最小
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的
D．地球在冬至和夏至时， 所受太阳的万有引力之比为
【答案】B
【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时运行速度大，A错误；
B．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积；同理行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积，；根据开普勒第二定律，得，即速度之比为，B正确；
C．由开普勒第二定律可知，冬至附近速度快，时间短，所以周期小于公转的，C错误；
D．由万有引力公式 可知，与成反比，所以引力之比为，D错误。
故选B。
考向2 万有引力定律的综合应用
2．（2024·湖南郴州·一模）通过几年火星探究发现，火星大气经人类改造后，火星有可能成为适宜人类居住的星球。已知火星半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的九分之一，某高中男同学在校运会上的跳高纪录为1.8m。把地球和火星均看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转及空气阻力，假设该同学离地时的速度大小不变，则在火星上他跳高的纪录约为（ ）
A．6mB．5mC．4mD．3m
【答案】C
【详解】根据，可得，，解得，把跳高看作竖直上抛运动，由，可得，则在火星上他跳高的纪录为，故在火星上他跳高的纪录为4m。
故选C。
3．（2024·河北·模拟预测）如图所示，一兴趣小组提出了一个大胆假设：有一条隧道从A点到B点直穿地心，地球的半径为R、质量为M，将一质量为m的物体从A点由静止释放（不计空气阻力），C点距地心距离为x，已知均匀球壳对放于其内部的质点的引力为零，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．物体在A点的加速度与在C点的加速度之比为x:R
B．物体到达O点的动能为
C．物体将做简谐运动
D．物体从A运动到B的时间为
【答案】C
【详解】A．由题意可知，在距地心x处，物体受到地球的引力为，根据牛顿第二定律得，可知，从A到O加速度随位移均匀减小，物体在A、C两点的加速度之比为R:x，故A错误；
B．根据前面分析可知引力随下降的位移线性变化，故根据动能定理，从A到O有，故B错误；
C．从A到B引力大小满足，方向始终指向O，所受引力与位移方向相反，故物体将在A、B之间做简谐运动，故C正确；
D．物体做简谐运动的周期为，可知，物体从A运动到B的时间为，故D错误。
故选C。
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）随着中国航天科技的飞跃发展，中国将向月球与火星发射更多的探测器。假设质量为的探测器在火星表面下降的过程中，一段时间做自由落体运动获得的速度为，如图所示，探测器在落到火星表面之前，绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的距离等于，火星的半径为，万有引力常量为，下列说法正确的是（ ）
A．当探测器在圆轨道上，对火星的张角为B．火星的第一宇宙速度为
C．探测器在圆轨道上，向心加速度为D．探测器在圆轨道上，受到的重力为
【答案】C
【详解】A．探测器做匀速圆周运动时，过探测器作火星表面的两条切线，两切线的夹角就是探测器对火星的张角，连接球心与探测器，连接球心与切点，由几何关系可得，解得，，故A错误；
B．根据，可得，根据万有引力提供向心力，则有，在火星表面有，联立解得火星的第一宇宙速度为，故B错误；
C．根据，，联立解得，故C正确；
D．探测器在圆轨道上，所受的重力等于向心力，故D错误。
故选C。
5．（2025届高三上学期·广西·模拟预测）物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m0的质点距离质量为M0的引力源中心为r0时，其引力势能（式中G为引力常数）。现有一颗质量为m的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，由于受高空稀薄空气的阻力作用，卫星的圆轨道半径从r1缓慢减小到r2，已知地球的质量为M，引力常数为G，则此过程中（ ）
A．卫星的引力势能减小B．卫星克服阻力做的功为
C．外力对卫星做的总功为D．卫星的势能减少量小于动能增加量
【答案】B
【详解】A．设卫星轨道半径为r，由题目条件知其引力势能为，所以，卫星引力势能的减小量为，故A错误；
CD．由万有引力提供向心力，卫星动能为，卫星动能增加量即外力对卫星做的总功为，所以，卫星的势能减少量大于动能增加量，故C、D错误；
B．根据能量守恒和功能关系得，，联立得，故B正确。
故选B。
考向3 天体质量、密度的计算
6．（2024·贵州黔南·二模）（多选）我们可以采用不同方法“称量”星球的质量。例如，卡文迪许在实验室里通过测量铅球之间的作用力，推算出引力常量G，就可以“称量”地球的质量。已知引力常量G，利用下列数据可以“称量”星球的质量的是（ ）
A．已知月球绕地球做圆周运动的周期和线速度、可以“称量”地球的质量
B．已知月球表面重力加速度和绕地球做圆周运动的半径，可以“称量”月球的质量
C．已知地球绕太阳做圆周运动的周期和半径，可以“称量”太阳的质量
D．已知火星自转周期和绕太阳做圆周运动的半径，可以“称量”火星的质量
【答案】AC
【详解】A．已知月球绕地球做圆周运动的周期和线速度，据，，可求得地球质量，故A正确；
B．设月球的质量为，半径为，月球表面物体的质量为，则有，可求得月球质量，由于月球半径未知，无法得到月球质量，故B错误；
C．已知地球绕太阳做圆周运动的周期和半径，据，可求得太阳质量故C正确；
D．已知火星自转周期和绕太阳做圆周运动的半径，无法求出火星的质量，D错误。
故选AC。
7．（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（ ）
A．黑洞质量约为B．黑洞质量约为
C．恒星S2质量约为D．恒星S2质量约为
【答案】B
【详解】设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公转周期为T=1年；由万有引力提供向心力可得，解得，对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期为（2002-1994）年=8年，则周期为T′=16年，根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出，其中R为S2的轨迹半长轴，因此有，代入数据解得M黑≈4×106M，根据题中条件无法求解恒星S2的质量。
故选B。
8．（2024·河南·模拟预测）人类有可能在不久的将来登上火星。未来某航天员在地球表面将一重物在离地高h处由静止释放，测得下落时间为，来到火星后，也将一重物在离火星表面高h处由静止释放，测得下落时间为，已知地球与火星的半径之比为k，不考虑地球和火星的自转，则地球与火星的密度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据，可得，可知，在星球表面，，可得，可得。
故选A。
题型二 卫星运行参数的分析与计算
考点1 天体及卫星运动的规律
1.卫星轨道：卫星运动的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和倾斜轨道。
2. 基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得：
3．基本公式：
1)线速度：
2)角速度：
3)周期：
4)向心加速度：
公式中r指轨道半径，是卫星到中心天体球心的距离，R通常指中心天体的半径，有r＝R＋h.．
小结：飞得越高，飞得越慢（r越大，v、ω、a越小，T越大）．
考点2 几种特殊卫星的规律
1.近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)．
2.极地卫星：运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星
3.地球同步卫星
所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的，这种卫星位于赤道上方某一高度的稳定轨道上，且绕地球运动的周期等于地球的自转周期，即T=24h=86400s，离地面高度，运行速率均为v＝3.1×103 m/s，
同步卫星的轨道一定在赤道平面内，并且只有一条.所有同步卫星都在这条轨道上，以大小相同的线速度，角速度和周期运行着.
4. 倾斜轨道“同步” 卫星：如果某卫星运行在一个轨道平面和赤道平面夹角不为0°的轨道上时，则称该卫星被叫做倾斜轨道卫星，该夹角也被称为“轨道倾角”。若该卫星的运行周期等于地球的自转周期，则该卫星为倾斜轨道同步卫星。与常规的同步轨道相比,同步卫星倾斜轨道的轨道平面呈现倾斜状态，只是周期与地球自转同步，不能实现定点悬停。
5. 月球：绕地球的公转周期T＝27.3天，月球和地球间的平均距离约38万千米，大约是地球半径的60倍．
考点3 同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
1. 地球同步卫星与赤道物体的区别：属于同轴转动，角速度、周期相同。
2.同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较
如图所示，2为近地卫星，轨道半径为r2；3为地球同步卫星，轨道半径为r3；4为高空卫星，轨道半径为r4；1为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r1.
分析思路：
1)比较赤道上物体与同步卫星，用同轴转动的知识分析；
2)比较近地卫星、同步卫星、高空卫星，用天体轨道与运动规律分析；
1．（2024·福建·高考真题）（多选）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”（ ）
A．角速度大小比“哈勃”的小B．线速度大小比“哈勃”的小
C．运行周期比“哈勃”的小D．向心加速度大小比“哈勃”的大
【考点】不同轨道行星、卫星运行参数的计算与比较
【答案】CD
【详解】根据万有引力提供向心力可得，可得，，，，由于巡天号的轨道半径小于哈勃号的轨道半径，则有，，，。
故选CD。
2．（2023·浙江·高考真题）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为，则（ ）
A．木卫一轨道半径为B．木卫二轨道半径为
C．周期T与T0之比为D．木星质量与地球质量之比为
【考点】不同轨道行星、卫星运行参数的计算与比较
【答案】D
【详解】根据题意可得，木卫3的轨道半径为
AB．根据万有引力提供向心力，可得，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为,可得木卫一轨道半径为，木卫二轨道半径为，故AB错误；
C．木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力，分别有，，联立可得，故D正确。
故选D。
3．（2024·天津·高考真题）（多选）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时（ ）
A．角速度之比为B．线速度之比为
C．向心加速度之比为D．受到地球的万有引力之比为
【考点】同步卫星、近地卫星与赤道上物体的比较
【答案】AC
【详解】A．卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角速度之比为，故A正确；
B．根据题意，由公式可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为轨道半径之比，故B错误；
C．根据题意，由公式可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度之比为轨道半径之比，故C正确；
D．根据题意，由公式可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨道半径的平方成反比，即，故D错误。
故选AC。
考向1 不同轨道行星、卫星运行参数的计算与比较
1．（2025届高三上学期·广东·模拟预测）“戴森环”是人类为了解决地球能源危机提出的一种科学构想，它通过一系列搭载太阳能接收器的卫星来接收能量，并且这些卫星布置在同一个绕太阳公转的轨道上。若这些卫星绕太阳公转的轨道是半径为0.4AU（1AU代表地球到太阳中心的距离）的圆周，则下列说法正确的是（ ）
A．这些卫星的发射速度要小于
B．这些卫星公转的加速度为地球公转加速度的0.4倍
C．这些卫星公转的线速度为地球公转线速度的2.5倍
D．这些卫星公转的周期约为0.25年
【答案】D
【详解】A．发射太阳的卫星，卫星的发射速度要大于地球第二宇宙速度，故A错误；
B．根据，得，由题知这些卫星的半径为0.4AU，故这些卫星公转的加速度为地球的倍，故B错误；
C．根据，得，由题知这些卫星的半径为0.4AU，这些卫星公转的线速度为地球公转的倍，故C错误；
D．根据开普勒第三定律，由题知这些卫星的半径为0.4AU，故这些卫星公转的周期年，故D正确。
故选D。
2．（2024·山西太原·三模）宇宙中行星的半径，各自相应卫星环绕行星做匀速圆周运动，卫星轨道半径与周期的关系如图所示，若不考虑其它星体对的影响及之间的作用力，下列说法正确的是（ ）
A．行星的质量之比为B．行星的密度之比为
C．行星的第一宇宙速度之比为D．行星的同步卫星的向心加速度之比为
【答案】C
【详解】A．根据牛顿第二定律，解得，则图像的斜率为，又，故行星的质量之比为，故A错误；
B．根据牛顿第二定律，解得，故行星的密度为，由题意可知，卫星在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相等，故行星A的密度等于行星B的密度，故B错误；
C．行星的第一宇宙速度等于卫星在行星表面做匀速圆周运动的线速度，则有，则行星的第一宇宙速度之比为，故C正确；
D．同步卫星的相关物理量未知，无法计算加速度比值，故D错误。
故选C。
考向2 同步卫星、近地卫星与赤道上物体的比较
3．（2024·陕西西安·三模）如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是（ ）
A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力
B．周期关系为
C．线速度的大小关系为
D．向心加速度的大小关系为
【答案】B
【详解】A．b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由万有引力和地面给的支持力的合力提供向心力，故A错误；
B．c为地球同步卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，根据，解得，由图可知，可得，故B正确；
C．c为地球同步卫星，根据，a、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有，根据，解得，c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的线速度小于b的线速度，则有，故C错误；
D．c为地球同步卫星，根据，a、c角速度相等，a的运动半径小一些，则有，根据，解得，由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度小于b的加速度，则有
故D错误。
故选B。
难点突破 卫星变轨、追及相遇及双星问题
考点1卫星变轨
1.变轨操作：1→2→3
1)在1轨道Q点点火加速，万有引力不足以提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机做离心运动，进入轨道2
2)在2轨道中，从Q点到P点飞行过程中，万有引力做负功，万有引力与航天飞机速度方向夹角大于90°，航天飞机速度减小，动能减小，势能增加，机械能不变。
在2轨道P点处，万有引力大于航天飞机做匀速圆周运动向心力，如果不进行任何操作，航天飞机做向心运动，沿着椭圆轨道2运行回Q，从P到Q，万有引力做正功，万有引力与航天飞机速度方向夹角小于90°，航天飞机速度增加，动能增加，势能减小，机械能不变。
3)在2轨道P点点火加速，当万有引力恰好能提供航天飞机做匀速圆周运动向心力，航天飞机将沿着3轨道运行，完成变轨操作
2.各点参数关系
1)线速度大小：
2)角速度关系：
3)向心加速度关系：
4)周期关系：
5)能量关系：
考点2 卫星追及问题
1. 两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上另一卫星，我们称之为追及问题。两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圈周运动，当两星某时相距最近时我自们称之为两卫星相遇问题。
2. 分类
①最近到最近
②最近到最远
考点3 双星问题
1．模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统．
2．特点：
1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
.
2)两颗星的周期及角速度都相同，即.
3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：.
4)两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
5)双星的运动周期T＝2πeq \r(\f(L3,Gm1＋m2)).
6)双星的总质量m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G).
考点4 星球“瓦解”问题及黑洞
1．星球的瓦解问题：当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是赤道上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即eq \f(GMm,R2)＝mω2R，得ω＝eq \r(\f(GM,R3)).当ω>eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ωr2>r1
角速度
ω2>ω1＝ω3>ω4
线速度
V2>v3>v1 ？v4
向心加速度
a2>a3>a1？a4
行星名称
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30