中职高考数学一轮复习讲练测6.2 等差数列（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋)．
2．等差中项 三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的等差中项．
3．等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式an＝a1＋(n－1)d .
单调性：d＞0时，{an}为单调递增数列；d＜0时，{an}为单调递减数列；d＝0时，{an}为常数列．
4．等差数列的前n项和公式
(1)等差数列前n项和公式Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)，其推导方法是倒序相加法．
(2){an}成等差数列，求Sn的最值：
若a1＞0，d＜0，且满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an ，,an＋1 ))时，Sn最大；( ≥0 ≤0 )
若a1＜0，d＞0，且满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an ，,an＋1 ))时，Sn最小；(≤0 ≥0 )
或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．
5．等差数列的性质
(1)am－an＝(m－n)d，即d＝eq \f(am－an,m－n).
(2)在等差数列中，若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋an；若2m＝p＋q，则有2am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．但要注意：在等差数列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易证得am＝ap＋aq成立的充要条件是b＝0，故对一般等差数列而言，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq并不一定成立．
(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为等差数列，且公差分别为pd1，d1，d1±d2.
(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.
(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.
考点一 等差数列及其通项公式
【例题】（1）下列数列不是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，…，0，… B．－2，－1，0，…，n－3，…
C．1，3，5，…，2n－1，… D．0，1，3，…，，…
【答案】D
【解析】选项A中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；选项B中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；选项C中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；选项D中，，不是等差数列，故选：D．
（2）若、、成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为、、成等差数列，则，可得，故选：A.
（3）已知等差数列中首项，公差，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D
【解析】因为等差数列的首项，公差，所以，故选：D.
（4）等差数列中，若，则等于（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以；故选：B
（5）已知数列满足，，则 .
【答案】32
【解析】由题意可知，对任意的，，故数列是公差为的等差数列，所以，，故答案为：.
【变式】（1）在等差数列中，若，，则公差d＝ .
【答案】2
【解析】由题意，，故答案为：2．
（2）等差数列的前三项依次是，，，则值为（ ）
A．2B．1C．4D．8
【答案】C
【解析】由题意，解得，故选：C．
（3）已知数列满足，，则此数列的通项公式 .
【答案】
【解析】因为，，所以，故答案为：
（4）已知为等差数列，，则（ ）．
A．14B．16C．18D．20
【答案】A
【解析】因为，所以，故选：A．
（5）在等差数列中，若，，则数列的公差d＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由，，得，解得，故选：A.
考点二 等差数列的性质及前n项和
【例题】（1）记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，由，得，即，又，所以，故，故选：D.
（2）记为等差数列的前n项和.若，，则（ ）
A．-54B．-18C．18D．36
【答案】C
【解析】设公差为，则，解得，所以，所以，故选：C.
（3）在等差数列中，，则此等差数列的前9项之和为（ ）
A．5B．27C．45D．90
【答案】C
【解析】依题意，即，即，所以，故选：C.
（4）设等差数列的前n项和为，若，，则 .
【答案】36
【解析】由，解得，，故答案为：.
（5）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】C
【解析】在等差数列中，，，故，又，故，
则，故，故选：C.
（6）一个等差数列的第4项为12，第8项为4，则此数列的第12项为___________.
【答案】
【解析】设等差数列为，由题意，，，又，所以由等差数列的性质有，即，解得，故答案为：.
【变式】（1）等差数列的前n项和为，若，则公差( )
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】由题可知，故选：B．
（2）设为等差数列的前n项和，若，公差，，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】因为，，所以，解得（舍负），故选：B.
（3）记分别为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】100
【解析】，所以前10项的和为，故答案为：100.
（4）设等差数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】20
【解析】由题意得，故，故答案为：20.
（5）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．8B．12C．14D．20
【答案】D
【解析】等差数列的前n项和为，，，则，，，构成首项为2，公差为2的等差数列，则+()+ ()+ ()=2+4+6+8=20，故选：D.
（6）已知等差数列的前项和为若则的值为（ ）
A．18B．17C．16D．15
【答案】D
【解析】因为，故，又，故，所以，故选：D.
【方法总结】
1．等差数列中，已知5个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个．除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．注意，我们把a1，d叫做等差数列的基本元素．将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常重要的基本思想．
2．求等差数列{an}前n项的绝对值{|an|}之和，首先应分清这个数列哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求和．
3．等差数列前n项和的最值通常是在正负项分界的位置产生，利用这一性质可求其最值；另一种方法是利用二次函数的性质．
4．灵活运用等差数列的性质(如等差中项的性质)，可简化运算．