中职高考数学一轮复习讲练测1.1集合及其运算（讲）（2份，原卷版+解析版）

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1．集合的基本概念
(1)我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合．
(2)集合中元素的三个特性：确定性，互异性，无序性.
(3)集合常用的表示方法：列举法和描述法．
(4)集合的分类：有限集和无限集.
2．常用数集的符号
3.元素与集合、集合与集合之间的关系
(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．
(2)集合与集合之间的关系：
结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
4．两个集合A与B之间的运算
5.集合运算中常用的结论
(1)①A∩B⊆A； ②A∩B⊆B； ③A∩A＝A； ④A∩∅＝∅； ⑤A∩B＝B∩A.
(2)①A∪B⊇A; ②A∪B⊇B； ③A∪A＝A； ④A∪∅＝A； ⑤A∪B＝B∪A.
(3)①∁U(∁UA)＝A； ②∁UU＝∅； ③∁U∅＝U； ④A∩(∁UA)＝∅； ⑤A∪(∁UA)＝U.
(4)①A∩B＝A⇔A⊆B ⇔A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B⇔A＝B.
考点一 集合的概念
【例题】（1）下列各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题B．高二（2）班全体学生家长
C．高三年级开设的所有课程D．高一（12）班个子高于1.7m的学生
【答案】A
【解析】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合，故选：A.
（2）已知集合，若，则（ ）
A．-1B．0C．2D．3
【答案】C
【解析】因为，所以或，而无实数解，所以，故选：C.
（3）集合用列举法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，可得，因为，所以，集合，
故选：B.
（4）已知集合，若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．1或
【答案】A
【解析】由于，所以对于集合有或，若，则，此时符合题意，，若，则集合不满足互异性，不符合，所以的值为，故选：A.
（5）已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】由集合，，根据，所以，所以中元素的个数是3，故选：C.
【变式】（1）判断下列元素的全体可以组成集合的是（ ）
①北京市所有的好学校；
②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点；
③n的近似值；
④不大于5的自然数．
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【解析】①“好学校”不具有确定性，因此①不能组成集合；②直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反数的点，满足集合的元素的特征，因此能组成集合；③n的近似值不具有确定性，因此③不能组成集合；④不大于5的自然数，满足集合的元素的特征，因此④能组成集合．故选：C．
（2）若，则实数的值等于（ ）
A． B．3 C． D．3或
【答案】A
【解析】当时，，不满足集合中元素的互异性；当时，即或（舍），此时，故选：A.
（3）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A：由是集合，所以，∴选项A错误；对于B：当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，∴选项B错误；对于C：当时，，，不合题意，∴选项C错误；对于D：当，时，，符合题意，∴选项D正确，故选：D.
（4）下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确，故选：B．
（5）用列举法表示集合 .
【答案】
【解析】因为，，而6的正的约数有1，2，3，6，所以用列举法表示该集合为：，故答案为：.
考点二 元素与集合、集合与集合间的关系
【例题】（1）给出下列四个关系式：，其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为是无理数，所以正确，因为是有理数，所以不正确，因为空集是集合，所以与不是属于关系，所以不正确，因为是负整数，所以正确，故选：C.
（2）已知集合，集合.若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若，则，符合，排除B，D两个选项.若，则，符合，排除A选项，故选C.
（3）集合的子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
【答案】B
【解析】集合，集合A含有3个元素，所以集合A的子集个数是，故选：B.
（4）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】在数轴上表示出集合A，B，，由于，如图所示，则，故答案为：.
（5）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于，所以，其它选项不正确，故选C.
【变式】（1）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确，故选：B.
（2）已知集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．C．7D．8
【答案】B
【解析】由题意得：，则的子集个数为个，故选：B.
（3）已知集合，，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】∵集合，，且，∴，故答案为：.
（4）集合，，若，则的值为__________.
【答案】0
【解析】因为，所以，显然，若，则与集合元素的互异性矛盾，舍去；若，则或（舍去），综上，，故答案为：0．
（5）满足的集合A共有 个．
【答案】3
【解析】由题设，元素4、5至少有一个属于集合A，∴时，，时，，
时，，∴集合A共有3个，故答案为：3.
考点三 集合的运算
【例题】（1）已知集合，，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，∴，∵，，∴.∴。故选：C.
（2）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解不等式得：，即有，而，所以，故选：C.
（3）设集合，，则（ ）
A．⫋B．⫋C．D．
【答案】A
【解析】，所以，所以，所以，所以⫋，故选：A.
（4）已知全集.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1) (2)
【解析】解：(1)由己知，所以.
(2)∵，所以，所以.
（5）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)； (2).
【解析】解：(1)当时，，；
(2)由，则有：，解得：，即，实数的取值范围为．
【变式】（1）已知集合则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由解得，所以，又因为，所以，故选D.
（2）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，所以，故选C．
（3）已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，；∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，故选C．
（4）已知
(1)求集合A和B；
(2)求A∪B，A∩B，
【答案】(1)； (2)；
【解析】解：(1)解不等式得，所以，解不等式得，所以；
(2)，.
（5）已知集合.
(1)求，；
(2)，求实数m的取值范围.
【答案】(1)， (2)
【解析】解：(1)由已知得；∵，∴；
∵，∴，当集合时，，即；.当集合时，，即，综上所述，实数的取值范围为.
【方法总结】
1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．
3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．
5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N*(N＋)
Z
Q
R
C
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A⊆B且B⊆A ⇔A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A，∅B (B≠∅)
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集记为∁UA
Venn图表示(阴影部分)
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U且x∉A}