安徽省亳州市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1.答题前，考生务必将自已的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的一条渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中的常数项为（ ）
A.-60B.-20C.20D.60
3.若向量，，共面，则（ ）
A.6B. C.30D.
4.已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上，若P到直线的距离为5，则（ ）
A.3B.4C.5D.6
5.已知直线与平行，则（ ）
A.-1或3B.0或3C.0或-1D.-1或0或3
6.某学校门口有3辆A公司的共享单车，4辆B公司的共享单车，5名同学从这7辆车中各选1辆骑行，同品牌的车因编号不同也视作不同的车，若没有被选到的两辆车是同一公司的，则这5名同学选择共享单车的方法种数为（ ）
A.180B.360C.720D.1080
7.已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上的动点，则（ ）
A. B. 的最大值为4
C. 的最大值为3D. 的最小值为
10.某手机专卖店新进A，B，C，D，E，F，G这7款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说法正确的是（ ）
A.若A，B，C必须摆在前三个位置，则不同的摆法有144种
B.若A，B，C彼此不相邻，D，E，F，G也彼此不相邻，则不同的摆法有72种
C.若A，B，C彼此不相邻，则不同的摆法有1440种
D.若A不能摆在后两个位置，则不同的摆法有3600种
11.已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）
A.若点P到点B，，D，的距离相等，则
B.若，则长度的最小值为
C.若，则长度的最大值为2
D.若，则点P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在空间直角坐标系中，点到y轴的距离为_______.
13.已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点（B在x轴上方），且，则直线的斜率为_______.
14.若满足能被5整除的n的最小值为，设，则方程表示的不同直线的条数为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知椭圆C：经过点，且离心率为.
（I）求C的方程；
（Ⅱ）若直线与C交于点A，B，求.
16.（15分）
已知直线：和圆：.
（I）若直线与垂直，且经过圆的圆心，求的方程；
（Ⅱ）若P是直线上的动点，过P作圆的一条切线，切点为M，求的最小值.
17.（15分）
如图，在四棱锥中，，，两两垂直，，，.
（I）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）若平面平面，求.
18.（17分）
设.
（I）求；
（Ⅱ）若是中唯一的最大值，求的所有可能取值；
（Ⅲ）若，求.
19.（17分）
如图，过双曲线E：的右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于A，B两点，线段是E的虚轴，四边形是面积为的矩形.
（I）求的方程；
（Ⅱ）设P是上任意一点，直线与交于点G，直线PD与交于点H，证明：；
（Ⅲ）过的左焦点的直线与E交于M，N两点，以为直径的圆被直线截得的劣弧为，若直线变化时，劣弧所对的圆心角大小为定值，求的值.
亳州市普通高中2024—2025学年度第一学期高二期末质量检测
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.答案A
命题透析 本题考查双曲线的几何性质.
解析 在双曲线方程中，，，其一条渐近线的方程为，即.
2.答案D
命题透析 本题考查二项式定理的应用.
解析 的展开式中的常数项为.
3.答案B
命题透析 本题考查空间向量的线性运算.
解析 因为，，共面，所以存在实数，，使得，所以解得所以
4.答案A
命题透析 本题考查抛物线的几何性质.
解析 由题意知C的准线为，因为P到直线的距离为5，所以P到直线的距离为3，即.
5.答案B
命题透析 本题考查两直线平行
解析 由题意知，∴或或，当时，两直线重合，不符合题意，舍去，∴或符合题意.
6.答案D
命题透析 本题考查分类和分步计数原理的应用
解析 若没有被选到的两辆车是同一公司的，则A公司的选1辆或全选，所以这5名同学选择共享单车的方法种数为.
7.答案C
命题透析 本题考查圆与圆的位置关系.
解析 恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和，以A为圆心，为半径作圆，以B为圆心，为半径作圆，则两圆有两条公切线，即两个圆相交，所以，因为，所以，解得或 .
8.答案C
命题透析 本题考查椭圆的性质与基本不等式的应用.
解析 由题意知，.
设点P的坐标为，
则直线的方程为：，
与椭圆方程联立，消去，可得，
所以，所以，
同理可得，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最大值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.答案BC
命题透析 本题考查椭圆的几何性质.
解析 ，故A错误；
因为，所以，
当且仅当时取等号，故B正确；
由题意可得，，
设，则，
所以，故C正确；
，故D错误.
10.答案ACD
命题透析 本题考查分步乘法计数原理的应用.
解析 对于A项，A，B，C的摆法有种，D，E，F，G的摆法有种，所以不同的摆法有6×24=144种，故A项正确；
对于B项，采用插空法，先将D，E，F，G进行全排列，再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的3个空中，所以不同的摆法有种，故B项错误；
对于C项，先将D，E，F，G进行全排列，再将A，B，C插到D，E，F，G所形成的5个空中，所以不同的摆法有种，故C项正确；
对于D项，先将A摆在前五的某一个位置，再将剩下6个进行全排列，所以不同的摆法有种，故D项正确.
11.答案ABD
命题透析 本题考查空间向量在立体几何中的应用.
解析 对于A，若点P到点B，，D，的距离相等，
则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，
分别取，的中点，，
连接，如图（1），则点P在线段上，则，，
所以，故A正确；
图（1）
对于B，若，则点在上及其内部，
如图（2），
图（2）
则长度的最小值为点到平面的距离，
设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离，
易知为等腰直角三角形，所以，故B正确；
对于C，若，则点P在上及其内部，
如图（3），
图（3）
则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，，
所以长度的最大值为，故C错误；
对于D，若，则，
所以，
所以，所以，
则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上,这段圆弧的长度为，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案
命题透析 本题考查空间中的点到坐标轴的距离.
解析 因为，所以点A到y轴的距离为.
13.答案
命题透析 本题考查抛物线的定义，抛物线与直线的位置关系.
解析 过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，
过A作直线的垂线，垂足为，
依题知，，
∵，，，
∴，，
故的斜率为.
14.答案13
命题透析 本题考查二项式定理以及分类加法计数原理的应用.
解析 ，
当时，都不能被5整除，能被5整除，所以n的最小值为4，所以.
当，时，方程表示直线；
当，时，方程表示直线；
当且时，方程表示直线；
当且时，方程表示的直线条数为
（注意方程与表示同一条直线，方程与表示同一条直线）.
综上可得方程表示的不同直线的条数为13.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.命题透析 本题考查椭圆的方程与性质，椭圆与直线的位置关系.
解析 （I）由经过点，且离心率为，
得
解得，，
故C的方程为.
（Ⅱ）设，.
由得，
，
所以，，
所以
.
16.命题透析 本题考查直线与圆的位置关系.
解析 （I）因为直线与m：垂直，故设：.
圆C的方程可化为，圆心为，
因为经过圆心，所以，解得，
故的方程为.
（Ⅱ）设，由（I）可知圆C的半径，
则，
，
当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
17.命题透析 本题考查利用空间向量解决立体几何中的问题.
解析 以A为原点，直线，，分别为x轴、y轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
（I）由已知得 ，，，，，
则 ，，，
设平面的法向量为，则即
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（Ⅱ）设，则，所以 ，.
设的法向量为，则即
取.
由（Ⅰ）知平面的一个法向量为，
因为平面平面，所以，
解得，即.
18.命题透析 本题考查二项式定理的应用.
解析 （I）由，
令，可得，
令，可得，
所以.
（Ⅱ）由题意知的展开式的通项为，
所以，.
因为是中唯一的最大值，所以根据二项式系数的性质.
可得，即
解得，
则的所有可能取值为20，21，22.
（Ⅲ）
所以，，
则.
因为，
所以.
19.命题透析 本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系.
解析 （I）设，由题意知，.
将代入E的方程，得，则，.
因为四边形是面积为的矩形，
所以解得，
所以的方程为.
（Ⅱ）设，由（I）知，，，.
直线：，令，得，
所以.
直线：，令，得，
所以.
由点P在E上，可得，
所以，
又，所以.
（Ⅲ）由（I）知E的左焦点的坐标为（-2，0）.
当直线的斜率存在时，设其方程为，
由得，
由且，得.
设，，则，.
以为直径的圆的圆心到直线的距离.
半径.
若劣弧所对的圆心角为定值，则为定值，
只需令，即，可得，为定值.
当直线的斜率不存在时，其方程为，
以为直径的圆的圆心到直线的距离，
半径，此时同样有.
综上，.