2022-2023学年河北省邯郸市十一中九年级（上）期末数学试卷解析版

这是一份2022-2023学年河北省邯郸市十一中九年级（上）期末数学试卷解析版，共39页。试卷主要包含了的图象如图所示，则下列结论等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
3．（3分）AB是⊙O的弦，∠AOB＝160°，则AB所对的圆周角是（ ）
A．40°B．40°或140°C．20°D．80°或100°
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．黔西南州明天一定下雨
D．任意画一个四边形，其内角和是360°
6．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x＝1和x＝3时，函数值相等；
③4a+b＝0；
④当y＝﹣2时，x的值只能取0；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤且k≠0B．k≤C．k＜且k≠0D．k≥
9．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD＝2：1，若DE＝4，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．8D．16
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
11．（2分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15B．20C．25D．30
12．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对
13．（2分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54B．36C．27D．21
14．（2分）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
15．（2分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二.填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
17．（3分）如图，a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、B、F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为 ．
18．（3分）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
则y关于x的函数关系式是 ．
19．（3分）图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，水雾喷出的路径可以近似看作抛物线y＝﹣x2+x+c的一部分（如图2），已知＝，则喷洒半径OQ为 米（喷枪长度忽略不计）；现有一块四边形农田，它的四个顶点A，B，C，D恰好在⊙O上（如图3），∠ABC＝90°，AD＝60米，BD＝25米，csC＝．焊接一个底座支架可升高喷水口，如果喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，要使喷水区域覆盖整块四边形ABCD农田，那么喷水口点P应至少升高 米．
三.解答题（共7小题，满分69分）
20．（9分）如图，平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（1，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转180°后的图形；
（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后的图形；并写出点A，B，C的对应点的坐标．
21．（9分）已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6）．
（1）求m和n的值．
（2）请直接写出不等式＜﹣3x的解集．
（3）将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，与反比例函数y＝的图象交于点C和点D．求△COD的面积．
22．（9分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：
（1）表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有 人；
（3）为更好地响应号召，某中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D．
（1）①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为 ；
③直线BD的解析式为 ；
（2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
（3）若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
求证：（1）△PAB∽△PBC；
（2）PC＝PA．
25．（10分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若该公司的日销售利润不低于2250元，应该如何确定销售价格？
26．（12分）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
2022-2023学年河北省邯郸十一中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共16小题，满分42分）
1．（3分）下列标识中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）已知一元二次方程x2+kx+3＝0有一个根为3，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把x＝3代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝3代入方程得：9+3k+3＝0，
移项合并得：3k＝﹣12，
解得：k＝﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（3分）AB是⊙O的弦，∠AOB＝160°，则AB所对的圆周角是（ ）
A．40°B．40°或140°C．20°D．80°或100°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】D
【分析】此题要分两种情况：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．
【解答】解：如图：
当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：
∠ACB＝∠AOB＝×160°＝80°；
当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：
∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°；
所以弦AB所对的圆周角是80°或100°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，注意：弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数的定义求出sinA即可．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
5．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是6
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．黔西南州明天一定下雨
D．任意画一个四边形，其内角和是360°
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；
C、黔西南州明天一定下雨，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个四边形，其内角和是360°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．（3分）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致（ ）
A．B．
C．D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】D
【分析】k＜0时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象经过二、四象限，
故D选项的图象符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，掌握当k＜0时，一次函数和反比例函数的图象都经过第二、四象限是解题的关键．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x＝1和x＝3时，函数值相等；
③4a+b＝0；
④当y＝﹣2时，x的值只能取0；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．
其中，正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】探究型；应用意识．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由函数图象可得，
a＞0，b＜0，即a、b异号，故①错误，
x＝﹣1和x＝5时，函数值相等，故对称轴为直线x＝＝2，则x＝1和x＝3时的函数值相等，故②正确，
∵﹣，得4a+b＝0，故③正确，
由图象可得，当y＝﹣2时，x＝0或x＝4，故④错误，
由图象可得，当﹣1＜x＜5时，y＜0，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
8．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤且k≠0B．k≤C．k＜且k≠0D．k≥
【考点】根的判别式；实数的运算．
【专题】新定义；判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，
整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，
因为方程有两个实数解，
所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，
解得k≤且k≠0．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
9．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA：OD＝2：1，若DE＝4，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．8D．16
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，得到△AOB∽△DOE，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴AB：DE＝OA：OD＝2：1，
∵DE＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似的两个图形对应边平行是解题的关键．
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的8倍
D．已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据圆的相关概念进行分析即可．
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C、如果⊙A的周长是⊙B周长的4倍，那么⊙A的面积是⊙B面积的16倍，故该选项不符合题意；
D、已知⊙O的半径为8，A为平面内的一点，且OA＝8，那么点A在⊙O上，故该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解题的关键．
11．（2分）在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设红球个数为x个，
根据题意得：＝0.25，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例，再计算其个数．
12．（2分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD交于点O，E，F分别为边BC，CD上的点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合），BE＝CF，连接OE，OF，EF．关于以下三个结论，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：∠EOF始终是90°；
结论Ⅱ：△OEF面积的最小值是2；
结论Ⅲ：四边形OECF的面积始终是8．
A．结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错B．结论Ⅰ和Ⅲ都对，结论Ⅱ错
C．结论Ⅱ和Ⅲ都对，结论Ⅰ错D．三个结论都对
【考点】二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】二次函数的应用；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意可证明△BOE≌△COF，从而可证明∠EOF＝90°，且OE＝OF，所以四边形OECF的面积始终等于△BOC的面积4，当OE⊥BC（OE＝2）时，△OEF面积取最小值2．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝∠OCF＝45°，
∵BE＝CF，
∴△BOE≌△COF，
∴OE＝OF，∠BOE＝∠COF，
∴∠BOE+∠COE＝∠COF+∠COE，
即∠EOF＝∠BOC＝90°，
且S△COE+S△COF＝S△COE+S△BOE，
即S四边形OECF＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×4×4＝4，
由垂线段最短可得，
当OE⊥BC时，OE＝BC＝×4＝2，
△OEF面积取最小值为×2×2＝2，
∴结论Ⅰ和Ⅱ都对，结论Ⅲ错，
故选：A．
【点评】此题考查了正方形综合问题的解决能力，关键是能证得△BOE≌△COF，再辨别各结论的对错．
13．（2分）△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为12，则△DEF的周长是（ ）
A．54B．36C．27D．21
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】（1）方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，根据相似三角形的对应边的比相等列等式，解出即可；
方式二：根据相似三角形的周长的比等于相似比，列出等式计算．
【解答】解：方法一：设2对应的边是x，3对应的边是y，
∵△ABC∽△DEF，
∴＝＝，
∴x＝6，y＝9，
∴△DEF的周长是27；
方式二：∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
∴C△DEF＝27；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质的应用是解题关键．
14．（2分）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】D
【分析】设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，在Rt△OBD中，r2＝242+（r﹣16）2，解方程可得半径，进而可得直径．
【解答】解：如图所示：
由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，
在Rt△OBD中，
r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，
所以2r＝52，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．
15．（2分）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（ ）
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t
C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h
D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（m常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，
反比例函数解析式是y＝，
把点（3，）代入反比例函数的解析式，得：＝，
解得：m＝，
∴反比例函数的解析式是y＝．
当y＝1时，代入上式得t＝，
把t＝时，y＝1代入正比例函数的解析式是y＝kt，得：k＝，
∴正比例函数解析式是y＝t，
A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；
B．药物释放过程中，y与t成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；
C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，
解得：t1＝和t2＝3，
∴t2﹣t1＝，
∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；
D、由题意得＜0.25，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
16．（2分）如图，抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC＝∠BAE
C．∠ACB﹣∠ANM＝∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【答案】C
【分析】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN＝，而MN＝，BN+MN＝5＝AB；
（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误；
（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC；
（4）S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，其最大值为．
【解答】解：将点A（2，0）代入抛物线y＝ax2﹣x+4与直线y＝x+b
解得：a＝，b＝﹣，
设：M点横坐标为m，则M（m，m2﹣m+4）、N（m，m﹣），
其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4），
则AB＝BC＝5，则∠CAB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，﹣）、（，），
由勾股定理得：BN＝，而MN＝，
BN+MN＝5＝AB，
故本选项错误；
B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同），
∴∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形，
∠CBA≠∠BCA，
∴∠BAC＝∠BAE不成立，
故本选项错误；
C、如上图，过点A作AD⊥BC、BF⊥AC，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BF是∠ABC的平分线，
易证：∠CAD＝∠ABF＝ABC，
而∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD＝ABC，
故本选项正确；
D、S四边形ACBM＝S△ABC+S△ABM，
S△ABC＝10，
S△ABM＝MN•（xB﹣xA）＝﹣m2+7m﹣10，其最大值为，
故S四边形ACBM的最大值为10+＝12.25，
故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目．
二.填空题（共3小题，满分9分，每小题3分）
17．（3分）如图，a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、B、F．若AB＝3，BC＝5，DE＝4，则EF的长为 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝5，DE＝4，
∴＝，即＝，
解得，EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．（3分）验光师测的一组关于近视眼镜的度数y与镜片的焦距x的数据，如表：
则y关于x的函数关系式是 y＝ ．
【考点】根据实际问题列反比例函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，设y关于x的函数关系式是y＝，再代入一对x、y的值可得k的值，进而可得答案．
【解答】解：根据表格数据可得近视眼镜的度数y与镜片的焦距x成反比例，
设y关于x的函数关系式是y＝，
∵y＝400，x＝0.25，
∴400＝，
解得：k＝100，
∴y关于x的函数关系式是y＝．
故答案为：y＝．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如y＝（k≠0）．
19．（3分）图1是一种360°自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，点P为喷水口，水雾喷出的路径可以近似看作抛物线y＝﹣x2+x+c的一部分（如图2），已知＝，则喷洒半径OQ为 40 米（喷枪长度忽略不计）；现有一块四边形农田，它的四个顶点A，B，C，D恰好在⊙O上（如图3），∠ABC＝90°，AD＝60米，BD＝25米，csC＝．焊接一个底座支架可升高喷水口，如果喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，要使喷水区域覆盖整块四边形ABCD农田，那么喷水口点P应至少升高 10.5 米．
【考点】圆内接四边形的性质；解直角三角形；二次函数的应用；勾股定理．
【专题】二次函数图象及其性质；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】40；10.5．
【分析】由P（0，c）可知Q（20c，0）代入关系式可得c，进而可知OQ的长；连接DO并延长交⊙O于E，可知cs∠DEB＝csC＝，进而可得圆的半径，再把坐标代入升高后的关系式可得答案．
【解答】解：图2中，
由y＝﹣x2+x+c可知P（0，c），
∵＝，
∴Q（20c，0），
代入y＝﹣x2+x+c得：c＝2．
∴OQ＝20c＝40（米）．
图3中，连接DO并延长交⊙O于E，连接BE，
∵DE是⊙O直径，
∴∠DBE＝90°，
∵∠C＝∠DEB，
∴cs∠DEB＝csC＝，
设BE＝a，则DE＝4a，
∴a2+（25）2＝（4a）2，
解得：a＝25，
∴DE＝4a＝100，即圆的半径是50．
∵喷水口上升时，水雾喷出的形状与原来相同，
∴设底部支架高m米，上升后水雾喷出的路径y＝﹣x2+x+（2+m），
把（50，0）代入可得m＝10.5．
∴喷水口点P应至少升高10.5米．
故答案为：40；10.5．
【点评】本题考查二次函数解析式的求法以及圆周角定理的推论，掌握待定系数法并正确作出辅助线是解题关键．
三.解答题（共7小题，满分69分）
20．（9分）如图，平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是（1，﹣1），（﹣2，﹣3），（0，﹣3）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转180°后的图形；
（2）画出△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后的图形；并写出点A，B，C的对应点的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）A′（1，1），B′（3，﹣2），C′（3，0）．
【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）依据△ABC绕点O逆时针方向旋转90°后得到△A′B′C′，进行画图即可．
【解答】解：（1）如图△A1B1C1即为所求；
（2）如图△A′B′C′即为所求，A′（1，1），B′（3，﹣2），C′（3，0）．
【点评】此题主要考查了作图﹣旋转变换，正确作出旋转后的图形是解题的关键．
21．（9分）已知反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6）．
（1）求m和n的值．
（2）请直接写出不等式＜﹣3x的解集．
（3）将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，与反比例函数y＝的图象交于点C和点D．求△COD的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）m＝﹣10，n＝﹣2；
（2）x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）．
【分析】（1）把点A（2，﹣6）代入y＝即可求得m的值，根据反比例函数的中心对称性即可求得n．
（2）根据图象即可求得；
（3）根据平移的规律求得直线CD的解析式，进而求得C、D以及M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与正比例函数y＝﹣3x的图象交于点A（2，﹣6）和点B（n，6），
∴m﹣2＝2×（﹣6），
∴m＝﹣10，
∵点A（2，﹣6）、点B（n，6）关于原点对称．
∴n＝﹣2；
（2）由题意可知函数图象的交点在二、四象限，
∴不等式＜﹣3x的解集是x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）连接OC、OD，
将正比例函数y＝﹣3x图象向上平移9个单位后，得到y＝﹣3x+9，
令y＝0，则求得x＝3，
∴M（3，0），
解得或，
∴C（4，﹣3），D（﹣1，12），
∴S△COD＝S△COM+S△DOM＝+＝．
【点评】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，三角形的面积，函数与不等式的关系，求得交点坐标，利用数形结合思想是解本题的关键．
22．（9分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：
（1）表中，a＝ 50 ，b＝ 20 ，c＝ 45 ；
（2）若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有 2400 人；
（3）为更好地响应号召，某中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年级2名）中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；统计表．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）50，20，45；（2）2400；（3）．
【分析】（1）利用表中数据计算a、b、c的值；
（2）用8000乘以样本中未接种的教师的百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两名老师恰好不在同一年级的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）a＝35+15＝50；
b＝60﹣40＝20；
c＝150﹣105＝45；
故答案为：50，20，45；
（2）根据题意得：（人），
答：末接种的教师约有2400人．
（3）画树状图为：
共有12种等可能结果，其中两名老师恰好不在同一年级的结果有10种，
所以选中的两名教师恰好不在同一年级的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法是解题的关键．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D．
（1）①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为 （﹣1，4） ；
③直线BD的解析式为 y＝2x+6 ；
（2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
（3）若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（1）①y＝﹣x2﹣2x+3；②（﹣1，4）；③y＝2x+6；（2）m＝﹣；（3）P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）①把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；
②由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，可求顶点坐标；
③设直线BD的解析式为y＝kx+b，将点B、D的坐标代入即可求解；
（2）求出点E（m，2m+6），C（0，3），则S＝×（OC+EF）×OE＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，；
（3）抛物线的对称轴为x＝﹣1，当P点在x轴上方时，过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，证明△MPC≌△QAP（AAS），则PQ＝1，求得P（﹣1，1）；当P点在x轴下方时，△APA'为等腰直角三角形，求得AQ＝2，则P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）①把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
②∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D的坐标为（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）；
③设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将点B、D的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BD的表达式为y＝2x+6，
故答案为：y＝2x+6；
（2）∵点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为2m+6，
当x＝0时，y＝0+0+3＝3，
∴C（0，3），
由题意可知：OC＝3，OF＝﹣m，EF＝2m+6，
∴S＝×（OC+EF）×OE＝×（2m+6+3）×（﹣m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，；
（3）抛物线的对称轴为x＝﹣1，
当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，
∵∠APA'＝90°，
∴∠MPA'+∠MCP＝90°，∠MPC+∠APQ＝90°，
∴∠MCP＝∠APQ，
∵AP＝A'P，
∴△MPC≌△QAP（AAS），
∴PQ＝MC，
∴PQ＝1，
∴P（﹣1，1）；
当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP＝A'P，∠APA'＝90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∴PQ＝AQ＝2，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握 二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式的方法，图形旋转的性质是解题的关键．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
求证：（1）△PAB∽△PBC；
（2）PC＝PA．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）证明过程见解答．
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠PBC＝∠PAB，即可证△PAB∽△PBC；
（2）由相似三角形的性质可得＝＝，再由AB＝BC即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝45°，
∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴∠PAB+∠ABP＝45°，
∴∠PBC＝∠PAB，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴＝＝，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝BC，
∴PB＝PC，PA＝PB，
∴PA＝2PC，
∴PC＝PA．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明△PAB∽△PBC．
25．（10分）某公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）该公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若该公司的日销售利润不低于2250元，应该如何确定销售价格？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）该公司的日销售利润不低于2250元，销售价应该为35≤x≤45．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润等于2250元列出方程，解方程求出x的值，根据函数的性质结合图象，得出w≥2250时x的取值范围即可．
【解答】解：（1）通过观察表中数据可知p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30），
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵﹣30＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值3000，
∴这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）由（2）得，﹣30（x﹣40）2+3000＝2250，
解得：x1＝35，x2＝45，
∵抛物线开口向下，
∴当w≥2250时，35≤x≤45，
∴该公司的日销售利润不低于2250元，销售价应该为35≤x≤45．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
26．（12分）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用弧长公式求出圆心角即可解决问题；
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．
（3）由于P是优弧上的任意一点，所以P点的位置分三种情形，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
由＝13π，
解得n＝90°，
∴∠POQ＝90°，
∵PQ∥OB，
∴∠PQO＝∠BOQ，
∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝，
∴OQ＝，
∴x＝．
（2）如图当直线PQ与⊙O相切时，x的值最小．
∵PQ与⊙O相切，
∴∠OPQ＝90°，
∵PQ∥OB，
∴∠PQO＝∠AOB，
∴tan∠PQO＝，
∴设OP＝4x，则PQ＝3x，
由勾股定理得OQ＝5x，
∴sin∠PQO＝＝，
∴OQ＝OP÷sin∠PQO＝32.5．
∴x＝﹣32.5．
（3）分三种情况：
①如图2中，作OH⊥PQ于H，设OH＝4k，QH＝3k．
在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，
∴262＝（4k）2+（3k﹣12.5）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79＝0，
解得k＝6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ＝5k＝31.5．
此时x的值为31.5．
②如图3中，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝4k，QH＝3k．
在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，
∴262＝（4k）2+（12.5+3k）2，
整理得：k2+3k﹣20.79＝0，
解得k＝﹣6.3（舍弃）或3.3，
∴OQ＝5k＝16.5，
此时x的值为﹣16.5．
③如图4中，作OH⊥PQ于H，设OH＝4k，QH＝3k．
在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，
∴262＝（4k）2+（3k﹣12.5）2，
整理得：k2﹣3k﹣20.79＝0，
解得k＝6.3或﹣3.3（舍弃），
∴OQ＝5k＝31.5，
此时x的值为﹣31.5．
综上所述，满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5．
【点评】本题考查圆综合题、平行线的性质、弧长公式、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
a
九年级
40
b
60
合计
105
c
150
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
y（单位：度）
100
200
400
500
…
x（单位：米）
1.00
0.50
0.25
0.20
…
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
a
九年级
40
b
60
合计
105
c
150
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0