湖北省鄂东新领先协作体2025届高三下学期2月联考数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 B 可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合的并集运算，对四个选项逐一检验即可得解.
【详解】由 ，
当 时， 或 ，故 A 错误；
当 时， 或 ，故 B 错误；
当 时， ，故 C 正确；
当 时， ，故 D 错误；
故选：C.
2. 若双曲线 的焦距为 6，则 （ ）
A. 5 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】根据双曲线焦点的不同位置分类，列出不等式组，解之即得.
【详解】若双曲线 的焦点在 轴上，
依题意可得 ，解得 ；
若双曲线 的焦点在 轴上，
依题意可得 ，解得 .
综上可得： .
故选：D.
3. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用余弦函数的性质计算即可.
【详解】由不等式 ，化简得 ，
由余弦函数的性质得 .
故选：C.
4. 小孟一家打算从武汉、十堰、荆州选一个城市去旅游，这三个城市都有游乐园，去武汉市、十堰市、荆
州市的概率分别为 0.5，0.3，0.2，到了武汉市小孟一家去游乐园的概率为 0.6，到了十堰市小孟一家去游乐
园的概率为 0.4，到了荆州市小孟一家去游乐园的概率为 0.3，则小孟一家去游乐园的概率为（ ）
A. 0.48 B. 0.49 C. 0.52 D. 0.21
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【答案】A
【解析】
【分析】利用全概率公式计算即可得到结果.
【详解】由全概率公式可得，小孟一家去游乐园的概率为 ，
故选：A.
5. 已知函数 的部分图象如图所示、则 的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇偶性和取自变量接近于 0 的函数值来判断正负即可得到选项.
【详解】由奇偶性判断可知：
是偶函数， 是奇函数， 是偶函数，
是奇函数，
而函数图象是关于 轴对称，必然是偶函数，所以 BD 错误；
再当 时，可知 ，故 A 错误；
所以 C 正确，
故选：C.
6. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式可求值 ，再利用指数不等式可判断 ，从而可研
究两个集合之间的包含关系，即可判断充要条件.
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【详解】因为
，
所以 ，
又由 可知， ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
7. 甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由 5 个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，则不能判断这
组数据一定都小于 12 的是（ ）
A. 甲：中位数为 9，众数为 11 B. 乙：中位数为 9，极差为 3
C. 丙：平均数为 8，极差为 4 D. 丁：平均数为 8，方差为 3
【答案】B
【解析】
【分析】通过理解中位数，众数，极差，平均数，方差的概念及相关知识，再对 5 个数据进行举例假设分
析，即可得到判断.
【详解】对于 A，中位数为 9，众数为 11，说明 11 至少有两个数，不妨取两个 11，
则由中位数可知另外两个数肯定不超过 9，故 A 能判断这组数据都小于 12，所以不能选 A；
对于 B，中位数为 9，极差为 3，由于极差是 5 个数中最大与最小的差，
由于该组数据由 5 个整数组成，所以不妨取 4 个 9，1 个 12，这样不能判断该组数据一定小于 12，故选 B；
对于 C，平均数为 ，极差为 ，由于 个数都是整数，根据条件可知，这 个数中肯定最大数与最小数的
差为 ，则可知最大数肯定大于 ，最小数肯定小于 ，故最小数加 得最大数肯定小于 ，从而能判断
这组数据一定都小于 12，故不能选 C；
对于 D，平均数为 8，方差为 3，由方差公式可得
，
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若存在数 12，则
，这与方差为 3 相矛盾，所以最大数也一定小于
12，故不能选 D；
故选：B.
8. 若正六棱锥 的体积为 ，则 PA 的最小值为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 先 设 底 面 边 长 及 高 ， 计 算 底 面 面 积 ， 进 而 得 到 该 六 棱 锥 的 体 积 公 式 ， 再 得 出
最后应用基本不等式计算即可．
【详解】
设正六棱锥的底面边长与高分别为 ,
底面 为正六边形，设底面 的中心为 ，连接 ，
则 ， 底面 ， 为正六棱锥 的高，
所以 ，
因为正六棱锥的体积为 ，所以 ，即 ，
则 ，
因为 ，
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当且仅当 ，即 时取最小值，
则 的最小值为 .
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知 a， ， ， .下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 不是纯虚数
B. 若 ，则 的实部等于虚部
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据复数相等建立方程组求得参数值，再利用乘法运算以及复数的相关概念，可得 AB 的正误；根
据模长公式可得参数的等量关系，利用二次函数的性质以及对数的运算，可得 CD 的正误.
【详解】对于 AB，由 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以 ，显然是纯虚数，故 A 错误，B 正确；
对于 CD，由 ，则 ，可得 ，
所以 ，
且 ，故 C 正确，D 错误.
故选：BC.
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10. 已知定义域为 的函数 满足 ，且 .则（ ）
A. B. C. D. 可能为增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值可求出特殊值，从而判断 AB 选项，利用举特例函数，来检验 CD 选项即可.
【详解】因为 ， ，
所以令 ，可得 ，故 A 正确；
再令 ，可得 ，又因为 ，
所以 ，
又令 ，可得 ，所以 ，故 B 正确；
不妨取 ，则 ，
，
此时满足原恒等式，但是当 时， ，故 C 错误；
但由于此时 在 上是增函数，故 D 正确；
故选：ABD.
11. 已知 A，B，C 是抛物线 上不同的动点，F 为抛物线 W 的焦点，直线 l 为抛物线 W 的准线，
AB 的中点为 ，则（ ）
A. 当 时， 的最大值为 32
B. 当 时， 的最小值为 22
C. 当 时，直线 AB 的斜率为
D. 当 时，点 P 到直线 l 的距离的最小值为 14
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得韦达定理，由 推得
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，由弦长公式计算 ，利用二次函数的性质即可求得其最大值；对于 B，利用抛物线的定义
转化 ，利用三点共线时线段和最小原则得到最小值为 长，借助于梯形中位线定理即得；对
于 C，由 A 项结论可得 ，求出 值，即得直线 的斜率；对于 D，由 判断直
线 过焦点，设直线 的方程为 ，联立抛物线方程得韦达定理，仿照 B 项作图转化求得
，即可求得最小值.
详解】
对于 A，如图设直线 的方程为 ，代入 可得： ，
由 可得 ，
设 ，则 ，
因 的中点为 ，则 ，故 ，
，即 ，则 ，
于是
，
故当 时， 取得最大值为 32，故 A 正确；
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对于 B，如图，分别过点 作准线的垂线 ，垂足分别为 ，
设 交抛物线于点 ，因 ，故 ，
由图知当且仅当 三点共线时 取得最小值为 长，
因 的中点为 ，则 为梯形 的中位线，且 ，
故此时 ，即 的最小值为 15，故 B 错误；
对于 C，由 A 项得到 ，因 ，故得 ，
解得 ，故直线 的斜率为 ，故 C 正确；
对于 D，由 可得直线 经过点 ，可设直线 的方程为 ，
代入 可得： ，设 ，则 ，
仿照 B 项作图，则点 P 到直线 l 的距离为：
，
故当 时，点 P 到直线 l 的距离的最小值为 14，即 D 正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：解决圆锥曲线的相关问题，一般应从曲线定义，设直线方程与之联立得韦达定理，以
及弦长公式或弦中点有关的点差法等入手探求，对于线段有关的最值问题，可考虑结合图象转化，利用三
点共线时线段和最小，以及将其转化为函数，利用其单调性求其最值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中， ， ， ，则 ______.
【答案】
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【解析】
【分析】利用三角形的正弦定理角化边和余弦定理边求角，即可求解.
【详解】由三角形正弦定理可得： ，
再由 ，联立上两式可解得： ，
再由余弦定理得： ，
所以 ，
故答案为： .
13. 在正方体 的底面 ABCD 所在平面中，以点 A 为圆心，1 为半径的圆与以点 C 为圆心，
3 为半径的圆外切，则该正方体外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两圆相外切，就可求得圆心距为 ，从而可得正方体的边长，对角线长，及外接球直径，再
利用球的表面积公式即可.
【详解】
由题意可知： ，
即正方体边长为 ，正方体的体对角线为 ，
而正方体外接球的直径为体对角线，即正方体外接球半径为 ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为： .
14. 函数 的最小值为______，此时 ______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
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【分析】利用因式分解，然后发现规律，重新结合因式展开，再展开可得二次型函数求最值即可.
【详解】由
所以可知当 ，即 时，函数 取到最小值 ，
故答案为：① ；② .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支 6 人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有 5 名医生报名
加入医疗救援队.
（1）若小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率；
（2）设被选入医疗救援队的骨科医生人数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案；
（2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案.
【小问 1 详解】
由题意可得从 人中选出 人组成一队，总的情况数为 ，
选中小张之后，医疗救援剩下的 人从总人数剩下的 人中选出，情况数为 ，
所以小张被选人医疗救援队的概率 .
【小问 2 详解】
的可能取值为 ，
则 ， ， ，
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， ，
所以 的分布列如下表：
所以数学期望 .
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是矩形， ，M
是 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）证明： 平面 .
（3）求平面 与平面 的夹角.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）证得 ，结合线面平行的判定定理即可证出结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果；
（3）求出平面 的法向量，利用二面角的夹角坐标公式即可求出结果；
【小问 1 详解】
连接 交 于 ，连接 ，因为四边形 为矩形，所以 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，且 平面 ， 不在平面 内，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
因为 平面 ，且四边形 为矩形，所以 两两垂直，
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故以 为坐标原点，以 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为 ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，且 ，
则 ，故 ，取 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 平面 .
【小问 3 详解】
设平面 的法向量为 ，且 ，
则 ，故 ，取 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，因此平面 与平面 的夹角为 .
17. 已知数列 是等差数列，且 ， .
（1）求 的通项公式.
（2）试问 有多少项为整数？
（3）求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） （2）5
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（3）
【解析】
【分析】（1）应用等差数列求出公差，再结合通项公式计算即可；
（2）根据通项公式特征计算求解；
（3）应用分组求和结合错位相减计算求解.
【小问 1 详解】
数列 是等差数列，且 ， ，
所以 ，设等差数列 公差为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，
当 为整数时，则 为整数，所以 ，所以 有 5 项为整数；
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
数列 的前 n 项和 .
设 ，
于是 ，
两式相减得 ，
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所以 ，
所以
18. 已知椭圆 的短轴长为 ，且离心率为 .
（1）求 C 的方程.
（2）过点 作斜率不为 0 的直线与椭圆 C 交于 S，T 不同的两点，再过点 作直线 ST 的平行线
与椭圆 C 交于 G，H 不同的两点.
①证明： 为定值.
②求 面积的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）①证明见解析；
② .
【解析】
【分析】（1）利用椭圆参数 的关系即可求解椭圆方程；
（ 2） ① 利 用 设 的 直 线 与 椭 圆 联 立 方 程 组 ， 利 用 纵 坐 标 与 斜 率 关 系 计 算 线 段 长 度
， ，即可得到线段之积与直线系数的关系 ，
同理计算出 ，再作比值，即可得到定值；
②利用弦长公式和面积公式可计算出 ，再利用换元法 ,化归到对钩函
数来求值域即可.
【小问 1 详解】
由已知得 ，
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因为 ，又由 ，
可解得 ，
所以椭圆 方程为： .
【小问 2 详解】
①设斜率不为 0 的直线 的方程为 ，
联立直线 和椭圆方程可得 ，化简得 ，
由于椭圆 与直线 交于两点 ， ，
因此 ，所以 或 ，
根据韦达定理可得 ， ，
又因为 ， ，
因此 ，
令 的方程为 ，椭圆 与直线 交于两点 ，
联立直线 和椭圆方程 ，化简得 ，
同理： ， ，
，
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因此 （为定值）．
②由于 ，又由于 ，
因此 ，
化简可得 ，设 ，由于 ，因此 ，
因此 ，
又由于当 时， ，因此 ，
因此 ，
所以 面积的取值范围为 ．
19. 定义： ， 是函数 的两个极值点，若 ，则称 为“M 函数”
.
（1）若 为“M 函数”，求 m 的取值范围.
（2）已知函数 有两个极值点.
①求 a 的取值范围；
②证明： 为“M 函数”.
【答案】（1）
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（2）① ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由函数解析式求导，根据极值点 定义建立方程，结合题意建立不等式，可得答案；
（2）①由极值点定义将问题等价转化为易知函数零点分布求参数，将导数构造为新函数判断其单调性，结
合零点存在性定理，建立不等式，可得答案；②明确问题为极值点偏移，构造差函数，利用单调性可得不
等式，可得不等式 左边；再利用放缩，可得不等式的另一边，可得答案.
【小问 1 详解】
由 ，求导可得 ，令 ，解得 ，
由函数 为“ 函数”，则 ，
可得 ，解得 .
【小问 2 详解】
①由 ，则 ，求导可得 ，令 ，
由题意可得函数 存在两个不同的变号零点，则 ，
令 ，解得 ，当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，所以 ，
由 ，令 ，
求导可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
由 ，则当 时，函数 存在两个不同的变号零点，
可得 ，解得 .
②由①可得 ，易知方程 存在两个不相等的实数根，
设为 ，由①不妨设 ，
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令 ，
求导可得 ，由 ，当且仅当 时取等号，则 ，
所以函数 在 上单调递增，由 ，则当 时 ，可得 ，
由 ，且函数 上单调递减，则 ，可得 ；
由当 时， ，则函数 在 上单调递减，
由 ，则 ，所以 ，
要证 ，只需证 ，
由 ，则令 ，
求导可得 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，则当 时， ，即 ，
所以函数 在 上单调递增，则当 时， ，
所以不等式 在 上恒成立，可得 ，
综上所述， ，所以函数 为“ 函数”.
【点睛】方法点睛：解决极值点偏移问题，已知函数 的极值点为 ，则①构造一元差函数
或 ；②对差函数 求导，判断其单调性；
③结合 ，判断差函数 的符号；④利用函数 单调性，可得答案.
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