(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第09讲 第十章 计数原理，概率，随机变量及其分布（基础拿分卷）（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》是我国著名的四大古典小说，若从这四本小说中任取2本，则“取到《三国演义》”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】从这四本小说中任取2本，共有种情况，
其中取到《三国演义》，再从剩余3本中选择1本，共有种，
故概率为，
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】的展开式的通项是，（）
由题意，，
因此，的系数是.
故选：B.
3．（2022·全国·高一课前预习）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则（ ）
A．0.3B．0.6C．0.7D．0.8
【答案】C
【详解】因为，事件与对立，所以，又，与互斥，
所以.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法错误的是（ ）
A．曲线与x轴之间的面积为1
B．曲线在处达到峰值
C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移
D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”
【答案】D
【详解】因正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，则A正确；
因，有，因此，当且仅当时取“=”，
即曲线在处达到峰值，B正确；
当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，C正确；
当一定时，曲线的形状由确定，越小，峰值越高，正态曲线越“瘦高”，D错误.
故选：D
5．（2022·湖北武汉·高二期末）在一次试验中，随机事件A，B满足，，则（ ）
A．事件A，B一定互斥B．事件A，B不一定互斥
C．事件A，B一定互相独立D．事件A，B一定不互相独立
【答案】B
【详解】设为“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为1,2”，为“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为”，
则，，
但此时，不互斥，也不独立，故AC错误.
若，则，此时，相互独立，故D错误，
故选：B.
6．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以由组合数的性质得，
所以，
令，得，即.
令，得，
所以，
故选：D.
7．（2022·陕西渭南·高一期末）素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对，其中当时，称（）为“孪生素数”，时，称（）为“表兄弟素数”.在不超过20的素数中，任选两个不同的素数p，q（），令事件{（）为孪生素数}，{（）为表兄弟素数}，{}，记事件A、B、C发生的概率分别为、、，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：不超过20的素数有、、、、、、、，共8个，
随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、共3个，
事件发生的样本点为、、、、、，共6个，
∴，，
故.
故选：C.
8．（2022·上海交大附中高二期末）已知甲､乙两袋中分别装有编号为的四个球.从甲、乙两袋中各取出一个球，每个球被取出的可能性相同.事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数；事件：从乙袋中取出的球的编号是奇数；事件：取出的两个球的编号都是偶数或都是奇数.给出下列命题：①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立.那么这三个命题中真命题的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【详解】由题意：，，，
因为事件：从甲袋中取出的球的编号是偶数，乙袋中取出的球的编号是奇数，所以
，
因为事件：甲乙两袋中取出的球的编号都是奇数，所以，
因为事件：甲乙两袋中取出的球的编号都是偶数，，
则，，,
所以相互独立，相互独立，相互独立，所以D正确.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·江苏省镇江中学高二开学考试）已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是（ ）
A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球
【答案】ACD
【详解】根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为，不为；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为，不为；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为，不为.
故选：ACD
10．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）某城市的街道如图，某人要从地前往地，则路程最短的走法有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】BC
【详解】从A地前往B地，最短的路程是向右走4次，向下走3次，共走7次，
要从7次中选择3次向下走，剩下的向右走或选择4次向右走，剩下的向下走，
故最短的走法有或种.
故选：BC
11．（2022·全国·高三专题练习）一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．X的所有可能取值是B．X最有可能的取值是5
C．X等于3的概率为D．X的数学期望是
【答案】AC
【详解】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B，
任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A；
A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5；
，
，
，
所以X最有可能的取值是4；
.
故选：AC
12．（2022·山东·邹城市兖矿第一中学高二阶段练习）分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（ ）
A．与互斥B．C．与相互独立D．
【答案】BC
【详解】对于选项A：事件与是可能同时发生的，故与不互斥，选项A不正确；
对于选项B：，选项B正确；
对于选项C：事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立，故C正确；
对于选项D：事件发生概率为，事件发生的概率，，选项D不正确.
故选：BC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2022·全国·高二课时练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的文化瑰宝，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成（如图所示），简洁对称、和谐优美.某数学文化研究会以弦图为蓝本设计会徽，其图案是用红、黄2种颜色为弦图的5个区域着色（至少使用一种颜色），则一共可以绘制备选的会徽图案数为__________.
【答案】12
【详解】根据使用的色彩分类：
（1）只用一种颜色，共有种情况；
（2）使用两种颜色，可分2步：选一种颜色涂小正方形，有种选法，由于对称性，剩下四个直角三角形的涂法有5种情形（四个直角三角形与小正方形不同色，有1种；四个直角三角形有一个与小正方形同色，有1种；四个直角三角形有2个与小正方形同色，有相邻和相对位置之分，共2种；四个直角三角形有3个与小正方形同色，有1种），所以用两种颜色共有种情况，
所以，一共可以绘制备选的会徽图案数为12种.
故答案为：12．
14．（2022·全国·高二课时练习）随机变量的分布列为为常数， 则 的值为____________
【答案】
详解：∵P（X=k）=）=，k=1，2，3，4，
∴，
∴c=，
∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=；
故答案为．
15．（2022·全国·高二课时练习）某同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记为遇到红灯的次数，若，则Y的方差______．
【答案】
【详解】解：同学上学路上要经过个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，
且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．
记为遇到红灯的次数，则，
，
，．
故答案为：．
16．（2022·全国·高三专题练习）立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段内抽取学生，并确定m＝67，且.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段内的人数为k，则k等于______；这k名学生的人均分为______.
（附：，，）
【答案】 10 74分
【详解】有图像可知，服从正态分布，其中，，所以随机变量，
，，
由，
可得.
由图②可知，该班在内抽取了10人；
所以，人均分为分.
故答案为：10，74分.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·重庆市万州第二高级中学高二期末）在的展开式中,求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)求系数绝对值最大的项.
【答案】(1)； (2)；(3).
【详解】二项式的通项公式为：.
(1)第3项的二项式系数为,第三项的系数为；
(2)奇数项的二项式系数和；
(3)设系数绝对值最大的项为第（r +1）项,
则,
又,所以r =2.
∴系数绝对值最大的项为．
18．（2022·甘肃酒泉·高一期末）“2022年全国城市节约用水宣传周”于5月15日至21日举行，某市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了100名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取多少人？
(2)在（1）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人作进一步访谈，求这2人都是第3组的概率．
【答案】(1)各应抽取1人，2人，3人
(2)
(1)
由表中的数据可知：第1，2，3组的人数比为0.01：0.02：0.03=1：2：3，
∴采用分层抽样的方法抽取6人，则第1，2，3组每组各应抽取1人，2人，3人．
(2)
记抽取的6人来自第1组的1人为a，来自第2组的2人为b，c，来自第3组的3人为d，e，f，则在所抽取的6人中随机抽取2人的可能结果有：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种，
其中2人都来自第3组的有de，df，ef共3种，
∴这2人都是第3组的概率．
19．（2022·山西·晋中新大陆双语学校高二阶段练习）某种产品按照产品质量标准分为一等品、二等品、三等品、四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
（1）若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；
（2）根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；
（3）生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为22元/件．
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下，
根据样本估计总体，从采购商的角度考虑，应该选择哪种销售方案？请说明理由．
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）选择方案二，理由见解析.
【详解】解：（1）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，
记抽到四等品的数量为，则，
所以．
（2）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以的可能取值为0，1，2，3．
，，
，．
则的分布列为
．
（3）由题，方案二的产品的平均售价为
（元/件）.
因为，
所以从采购商的角度考虑，应选择方案二.
20．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）某芯片制造企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试产初期，该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
(1)在试产初期，该款芯片的批次生产前三道工序的次品率分别为.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰， 合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为98%， 求工人在流水线进行人工抽检时， 抽检一个芯片恰为合格品的概率；
(2)该企业改进生产工艺后生产了批次的芯片. 某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用. 现对使用 这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的100名用户中，安装批次有40部，其中对开机速度满意的有30人；安装批次有60部，其中对开机速度满意的有58人. 依据的独立性检验， 能否认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关?
附：
【答案】(1)①；②；
(2)能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联，理由见解析.
（1）
①批次芯片的次品率为
②设批次的芯片智能自功检测合格为事件， 人工抽检合格为事件，
由已知得，
则工人在流水线进行人工抽检时， 抽检一个芯片恰为合格品为事件，
.
（2）
零假设为： 芯片批次与用户对开机速度满意度无关联.
由数据可建立列联表如下： （单位： 人）
根据列联表得
因此，依据的独立性检验，我们推断此推断不成立，即能认为芯片批次与用户对开机速度满意度有关联.此推断犯错误的概率不大于0.005.
21．（2022·全国·高三专题练习）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性．某检测点根据统计发现，该处疑似病例核酸检测呈阳性的概率为．现有4例疑似病例，分别对其取样检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性．若混合样本呈阳性，则再将该组中每一个备份的样本逐一进行化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验．现有以下两种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验．
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
(1)求4个疑似病例中至少有1例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二中哪个较“优”？做出判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)方案二较“优”；理由见解析
（1）
用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则，
由题意可知，设4个疑似病例中至少有1例呈阳性为事件A
；
（2）
方案一：逐个检验，检验次数为4．
方案二：每组两个样本检测时，呈阴性的概率为，
设方案二的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2，4，6，所以
，
，
，
所以随机变量Y的分布列为：
所以方案二检测次数Y的期望为．
则采取方案二较“优”.
22．（2022·全国·高三专题练习（理））口琴是一种大众熟知的方便携带的乐器.独奏口琴有三种，分为半音阶口琴(有按键)、复音口琴、十孔口琴(又名布鲁斯口琴、蓝调口琴).“口琴者联盟”团队为了解口琴爱好者的练琴情况，提高口琴爱好者的音乐素养，推动口琴发展，在全国范围内进行了广泛调查.“口琴者联盟”团队随机调查了200名口琴爱好者每周的练琴时间(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图可以看出，目前口琴爱好者的练琴时间服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差（同一组的数据用该组区间中点值代表），据此，估计万名口琴爱好者每周练琴时间在分钟到分钟的人数；
(2)从样本中练琴时间在和内的口琴爱好者中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行培训，设表示抽取的人中练琴时间在 内的人数，求的分布列和数学期望.
参考数据：样本方差，，，，.
【答案】(1)人
(2)分布列见解析，3
（1）
这名口琴爱好者每周的练琴时间的平均时间
，
由于样本方差，
所以，结合题意知，，
∴，
小时分钟，小时分钟，
，.
可以估计万名口琴爱好者每周练琴时间在分钟到分钟的人数约为人.
（2）
解：由频率分布直方图可知，成绩在，内的口琴爱好者人数比例为，
用分层抽样的方法抽取人，则成绩在内的有人，成绩在内的有人.
∴的所有可能取值为，，.则
，，
∴的分布列为：
故等级
一等品
二等品
三等品
四等品
数量
40
30
10
20
等级
一等品
二等品
三等品
四等品
售价/（元/件）
24
22
18
16
0
1
2
3
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
开机速度满意度
芯片批次
合计
不满意
10
2
12
满意
30
58
88
合计
40
60
100
Y
2
4
6
P