新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第48讲 用样本估计总体（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、样本的数字特征
1.众数、中位数、平均数
（1）众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
（2）中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
（3）平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．
2.标准差和方差
（1）标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
（2）方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
（3）数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
二、频率分布直方图
1.频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
三、百分位数
1.定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．
2.计算一组个数据的的第百分位数的步骤
（1）按从小到大排列原始数据．
（2）计算．
（3）若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
3.四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
【常用结论】
均数、方差的性质：如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
二、题型分类精讲
题型一 样本数字特征的计算及其应用
策略方法 利用样本的数字特征解决决策问题的依据
(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．
(2)方差的简化计算公式：s2＝eq \f(1,n)[(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－n]，或写成s2＝eq \f(1,n)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,n))－，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
【典例1】某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
(1)分别求这两个品种产量的极差和中位数；
(2)求，，，；
(3)依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．
【答案】(1)极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5；
(2)；，；
(3)推广品种水稻更合适．
【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，
（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，
（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解.
【详解】（1）由表中数据可知， 产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为
产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；
（2）由题意：，
，
，
；
（3）结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．
【题型训练】
一、单选题
1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【答案】C
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义判断
【详解】根据平均数、中位数、众数和方差的意义，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，不论是7个有效评分，还是9个原始评分，中间位置的评分不变，
所以不变的数字特征为中位数，
故选：C
2．每年的4月23日是世界读书日，某中学为了了解八年级学生的读书情况，随机调查了50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
则这50名学生读书册数的众数、中位数是（ ）
A．3，3B．2，2C．2，3D．3，2
【答案】D
【分析】利用众数，中位数的定义，即可得出答案．
【详解】这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数最多，
这组数据的众数是3；
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，
这组数据的中位数为2；
故选：D.
3．有一组样本数据，则（ ）
A．这组样本数据的极差不小于4B．这组样本数据的平均数不小于4
C．这组样本数据的中位数不小于3D．这组样本数据的众数等于3
【答案】A
【分析】根据极差、平均数、中位数和众数的概念判断即可.
【详解】样本数据中，
对于A，显然这组样本数据的极差大于等于，故A正确；
对于B，若，则平均数为，故B错误；
对于C，若，则中位数为，故C错误；
对于D，若，则众数为，故D错误.
故选：A
4．PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地6月1日至10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法错误的是（ ）

A．众数为30B．中位数为31.5C．平均数小于中位数D．极差为109
【答案】C
【分析】根据折线图，由众数，中位数，平均数，极差等概念及公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】众数即是出现次数最多的数字，由折线图可得，众数为30，即A正确；
将折线图中数字由小到大依次排序，得到：17，25，30，30，31，32，34，38，42，126；
处在中间位置的数字是：31，32，因此中位数为，即B正确；
由折线图可得，平均数为：，故C错；
根据极差概念，故D正确.
故选：C.
5．为了解某班学生数学学习的情况，连续进行了六次考试，甲同学与乙同学的考试成绩情况如下表，则以下叙述正确的是（ ）
A．甲同学成绩的极差低于乙同学成绩的极差
B．甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩
C．甲同学成绩的众数为136，乙同学成绩的中位数为122
D．甲同学成绩的波动幅度低于乙同学成绩的波动幅度
【答案】C
【分析】根据表格中的数据，结合极差、平均数的计算公式，众数与中位的概念，以及数据的波动性，逐项判定，即可求解.
【详解】对于选项A，甲同学成绩的极差为，乙同学成绩的极差为，所以甲同学成绩的极差高于乙同学成绩的极差，所以A错误；
对于选项B，甲同学的平均成绩为，
乙同学的平均成绩为，
所以甲同学的平均成绩低于乙同学的平均成绩，所以B错误；
对于选项C，甲同学成绩的众数为，乙同学成绩的中位数为，所以C正确；
对于选项D，可以观察出甲同学成绩的波动幅度高于乙同学成绩的波动幅度，所以D错误．
故选：C．
6．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为2，方差为2.4B．中位数为3，方差为1.6
C．中位数为3，众数为2D．平均数为3，中位数为2
【答案】A
【分析】A选项，有平均数与方差间关系，可判断选项正误；BCD选项，通过举反例可判断选项正误.
【详解】A选项，若5次结果中有6，因平均数为2，
则方差，因，
则当平均数为2，方差为2.4时一定不会出现点数6，故A正确；
B选项，取5个点数为3,3,3,5,6，则此时满足中位数为3，平均数为4，
则方差，故B错误；
C选项，取5个点数为2,2,3,5,6，满足中位数为3，众数为2，故C错误；
D选项，取5个点数为1,1,2,5,6，满足中位数为2，平均数为3，故D错误.
故选：A
7．“说文明话、办文明事、做文明人，树立城市新风尚！创建文明城市，你我共同参与！”为宣传创文精神，华强实验中学高一（2）班组织了甲乙两名志愿者，利用一周的时间在街道对市民进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下说法不正确的为（ ）

A．甲的众数小于乙的众数B．乙的极差小于甲的极差
C．甲的方差大于乙的方差D．乙的平均数大于甲的平均数
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合众数、极差的定义，以及方差和平均数公式，即可求解．
【详解】由图可知，甲志愿者的宣传次数分别为：4，5，6，3，4，3，3，
乙志愿者的宣传次数分别为：5，4，4，5，4，3，3，
甲的平均数为，
乙的平均数为，故D错误，
甲的众数为3，乙的众数为4，故甲的众数小于乙的众数，故A正确；
甲的极差为3，乙的极差为2，则乙的极差小于甲的极差，故B正确；
甲的方差为，
乙的方差为，
故甲的方差大于乙的方差，故C正确．
故选：D．
8．新能源汽车近年在我国发展迅猛，无论是外观还是性能都有了较大进步，下表显示的是两款新能源汽车连续五次的实际续航里程（二者测量条件相同），则下列结论错误的是（ ）
A．A款车型续航里程的众数为350
B．款车型续航里程的极差为70
C．两款车型续航里程的平均数相等
D．A款车型比款车型续航里程的方差较大
【答案】D
【分析】根据题意结合统计的相关知识逐项分析判断.
【详解】将两组数据按升序排列可得：，，
可得A款车型续航里程的众数为350，故A正确；
款车型续航里程的极差为，故B正确；
A款车型续航里程的平均数为，
B款车型续航里程的平均数为，
所以两款车型续航里程的平均数相等，故C正确；
A款车型续航里程的方差为，
B款车型续航里程的方差为，
所以，即A款车型比款车型续航里程的方差较小，故D错误；
故选：D.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．抽样调查具有花费少、效率高的特点
B．数据，，，，，的中位数为，众数为和
C．极差和标准差都能描述一组数据的离散程度
D．数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
【答案】AC
【分析】根据抽样调查的特点判断A，将数据从小到大排列求出中位数与众数，即可判断B，根据方差、标准差的定义判断C，根据方差的性质判断D.
【详解】对于A：抽样调查相比全面调查具有花费少、效率高的特点，故A正确；
对于B：数据从小到大排列为、、、、、，所以中位数为，众数为和，故B错误；
对于C：极差和标准差都能描述一组数据的离散程度，故C正确；
对于D：数据的方差为，则数据的方差为，故D错误；
故选：AC
10．据中国汽车工业协会统计分析，2022年10月份，我国国产品牌乘用车销售了118.7万辆，市场占有率延续良好势头，份额超过50%.下图是2021年1月份至2022年10月份这22个月我国国产品牌乘用车月度销量及增速变化情况的统计图，则（同比：和去年同期相比）（ ）

A．2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆
B．2022年前10个月国产品牌乘用车月度销量的同比增长率均为正数
C．2022年前9个月国产品牌乘用车月度销量的中位数为5月份的销量数据
D．2022年前10个月我国国产品牌乘用车月度销量的极差超过58.7万辆
【答案】AD
【分析】根据平均数的概念判断A，根据图中数据判断B，根据中位数的概念判断C，根据图中数据及极差的概念判断D.
【详解】由条形统计图可知，在2021年的月度销量数据中，只有2月份的销量低于60万辆，
且有多个月的销量达到80万辆以上，故2021年国产品牌乘用车月度平均销量超过60万辆，A正确；
由折线统计图可知，2022年4月份的同比增长率为负数，B错误；
将2022年前9个月的销量数据由小到大排列，可知5月份的销量排在第3位，故该数据不可能为中位数，C错误；
2022年前10个月销量最大的月份为10月份，销量为118.7万辆，销量最小的月份为4月份，且销量数据低于60万辆，故极差超过万辆，D正确.
故选：AD.
11．举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（ ）
A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600
B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数
C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200
【答案】ABD
【分析】根据折线图得到这一星期内甲，乙的日步数，都从小到大进行排列，得到中位数后即可判断选项；根据平均数计算公式，计算出这一星期内甲，乙的日步数的平均数，比较大小即可判断选项；根据图象观察甲的波动程度较大，故方差较大，从而判断选项；
把乙一星期内的步数从小到大进行排列，并计算，故第二个数为所求，即可判断选项.
【详解】由折线图可得甲一星期内的步数从小到大的排列为：
11000，11800，12200，12600，13500，15400，18200，所以中位数为12600；
由折线图可得乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，所以中位数为12600，
故这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600，正确；
这一星期内甲的日步数的平均数为：，
这一星期内乙的日步数的平均数为：
，
因为，故正确；
由图知，甲的波动程度较大，故方差较大，故错误；
乙一星期内的步数从小到大的排列为：
11800，12200，12400，12600，15000，13800，14000，
，故这一星期内乙的日步数的下四分位数是12200，故正确；
故选：
12．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取5次，每次取一个球．记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（ ）
A．可能取到数字4B．中位数可能是2
C．极差可能是4D．众数可能是2
【答案】BD
【分析】对于AC：根据题意结合平均数、方差和极差的定义分析判断；对于BD：举例说明即可.
【详解】设这5个数字为，
对于A：若取到数字4，不妨设为，
则，可得，
可知这4个数中至少有2个1，不妨设为，
则这5个数字的方差
，
不合题意，故A错误；
对于C：因为这5个数字的平均数为2，这5个数字至少有1个1，不妨设为，
若极差是4，这最大数为5，不妨设为，
则这5个数字的平均数，
则，可知这3个数有2个1，1个2，
此时这5个数字的方差，
不合题意，故C错误；
对于BD：例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，
且中位数是2，众数是2，故BD正确；
故选：BD.
三、填空题
13．已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是 .（答案不唯一，写出一个即可）
【答案】10（或4或18）
【分析】设丢失的数据为x，众数是3，然后分x≤3，3