新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第46练 直线与抛物线（精练：基础+重难点）（2份，原卷版+解析版）

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一、多选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A．B．
C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形
二、解答题
2．（2023·全国·统考高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
4．（2021·浙江·统考高考真题）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
5．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）条
A．0B．1C．2D．3
2．直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
4．已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
5．已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
6．已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（ ）
A．B．4C．D．
8．若直线与抛物线C：相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则（ ）
A．B．C．D．
9．设坐标原点为，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．3D．
10．过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
11．已知抛物线上一点，F为焦点，直线FA交抛物线的准线于点B，满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段的中点为E，O为坐标原点，且，则（ ）
A．2B．3C．6D．12
13．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（ ）
A．B．C．D．
14．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，一条平行于x轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）
A．7B．C．D．
15．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M，N两点（），作，垂足为K，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
16．已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
17．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
18．已知抛物线的焦点为F，A是E上位于第一象限内的一点，过点A作E的切线，交x轴于P点，交y轴于Q点，若，则（ ）．
A．60°B．90°C．120°D．150°
二、多选题
19．（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A．B．
C．1D．2
20．已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．以MF为直径的圆与轴相切
C．D．
21．已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（ ）
A．B．
C．D．点在以为直径的圆内
22．已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（ ）．
A．l被圆C截得的弦长的最小值为
B．l被圆C截得的弦长的最小值为
C．若弦AB中点的坐标为，则
D．若弦AB中点的坐标为，则
23．已知为坐标原点，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．的准线方程为
B．若，则
C．若，则的中点到轴的距离为4
D．
24．已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为.则下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
25．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是 ．
26．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则 ．
27．直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，则 .
28．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 .
29．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为 .
30．设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则的面积为 .
31．已知抛物线的准线与轴交于点，过的直线与交于两点.若，则直线的斜率为 .
32．已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为
33．抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则 .
34．若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为 .
35．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 .
36．若A，B是抛物线上不同的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点，则的最大值为 ．
四、解答题
37．已知抛物线的焦点为F，点F到抛物线准线距离为4．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知的三个顶点都在抛物线E上，顶点，重心恰好是抛物线E的焦点F．求所在的直线方程．
38．直线与抛物线交于，两点，且．
（1）证明：经过的焦点，并求的值；
（2）若直线与交于，两点，且弦的中点的纵坐标为，求的斜率．
39．已知抛物线过点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点横坐标为4，求弦的长度．
40．已知抛物线：的焦点坐标为．
(1)求的方程；
(2)直线：与交于A，B两点，若（为坐标原点），求实数的值．
41．已知抛物线：的焦点到顶点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知过点的直线交抛物线于不同的两点，，为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，求的值.
42．设直线与抛物线相交于两点，且.
(1)求抛物线方程；
(2)求面积的最小值.
43．已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值.
44．已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点.
(1)若直线的斜率为1，求；
(2)若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程.
45．抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
46．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴的正半轴上，圆经过抛物线的焦点.
(1)求的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
47．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
48．已知抛物线是抛物线上的点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知抛物线，过点的直线l交C于A，B两点，则直线，（O为坐标原点）的斜率之积为（ ）
A．B．8C．4D．
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝（ ）
A．2或－2B．2或－1
C．2D．3
3．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（ ）
A．B．3C．D．2
5．已知抛物线，点在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于、两点．直线、的斜率分别记为，，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（ ）

A．2B．C．5D．
7．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为锐角的直线与交于、两点，过线段的中点且垂直于的直线与的准线交于点，若，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上的动点，则当的值最小时，（ ）
A．1B．2C．D．4
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，若A、B为抛物线上两点，且线段AB的垂直平分线交x轴于点M．当，时，抛物线的方程为（ ）．
A．B．C．D．
10．已知抛物线C：的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D.若，则点E到y轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
11．已知抛物线的焦点为，过且斜率大于零的直线与及抛物线的所有公共点从左到右分别为点，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
12．已知为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，若，则（ ）
A．1B．C．3D．4
二、多选题
13．过抛物线C：的焦点F作两条互相垂直的直线和，设直线交抛物线C于A，B两点，直线交抛物线C于D，E两点，则可能的取值为（ ）
A．18B．16C．14D．12
14．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．线段的中点在直线上
C．若，则的面积为
D．以线段为直径的圆一定与轴相切
15．已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则（ ）
A．直线AB的斜率为B．
C．D．为钝角
16．已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则（ ）
A．直线过焦点时，最小值为4
B．直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），
C．若中点的横坐标为3，则最大值为8
D．点坐标，且直线斜率之和为与抛物线的另一交点为，则直线，方程为：
17．如图，过抛物线的焦点F，斜率为k的直线l与抛物线交于A，B两点，与抛物线准线交于C点，若B是AC的中点，则（ ）

A． B．
C．D．
三、填空题
18．已知抛物线方程为，若过点的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
19．已知抛物线顶点在原点，焦点为，过作直线交抛物线于、两点，若线段的中点横坐标为2，则线段的长为
20．已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有唯一公共点，则这样的直线有 条．
21．已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，，则的值为 ．
22．过抛物线的焦点作直线，交于、两点，若线段中点的纵坐标为2，则 ．
23．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，且，O为坐标原点，则的面积为 .
24．已知A，B，M，N为抛物线上四个不同的点，直线AB与直线MN互相垂直且相交于焦点F，O为坐标原点，若的面积为2，则四边形AMBN的面积为 ．
25．已知抛物线与圆在x轴上方的两个交点分别记为A、B，若线段AB的中点在直线y＝x上，则p的值为 ．
26．已知抛物线的准线方程为，在抛物线C上存在A､B两点关于直线对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则的值为 .
27．已知为抛物线的焦点，点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若，则的最小值为 .
四、解答题
28．已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求的面积.
29．已知直线与抛物线交于两点，.
(1)求；
(2)设抛物线的焦点为，过点且与垂直的直线与抛物线交于，求四边形的面积.
30．从抛物线上各点向x轴作垂线段.
(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；
(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.
31．已知抛物线的焦点F位于直线上.
(1)求抛物线方程；
(2)过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求AB的中点C到抛物线准线的距离.
32．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
33．已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
34．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，点在第一象限，且.
(1)求直线的斜率；
(2)若，求抛物线的方程.
35．已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2.
(1)求p和m；
(2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标.
36．已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当与y轴垂直时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C交于另一点B，证明：直线的斜率与直线的斜率互为相反数.
37．已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知过点的直线与抛物线交于，两点，点，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．有一个角为的三角形D．面积为定值的三角形
2．在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，过线段的中点作一条垂直于轴的直线，与直线交于点，若三角形的面积为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线：的焦点为，准线为，过的直线交于，两点，作，，垂足分别为，，若，，直线分别与以，为直径的圆相切于，两点，则（ ）
A．B．C．5D．
4．过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知点在抛物线：上，过作圆的两条切线，分别交于，两点，且直线的斜率为，若为的焦点，点为上的动点，点是的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．曲线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若，则
D．若，的中点在的准线上的投影为，则
7．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，延长交准线于
8．已知抛物线的焦点为，，为上两个相异的动点，分别在点，处作抛物线的切线，，与交于点，则（ ）
A．若直线过焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若点在直线上，则直线过定点
C．若直线过焦点，则面积的最小值为
D．若，则面积的最大值为
三、填空题
9．已知直线与抛物线及曲线均相切，切点分别为，若，则
10．已知抛物线的焦点为，点的坐标为，动点在抛物线上，且，则的最小值是 .
11．抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长为，则点的纵坐标的最小值为 .
12．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是 .
①若点，则的最小值是3
②的最小值是2
③若，则直线的斜率为
④过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为
四、解答题
13．已知直线过抛物线的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，当的面积是时，求点A的坐标．
14．如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B.

(1)若，求弦AB中点的轨迹方程；
(2)过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：.
15．已知抛物线，
(1)经过点作直线，若与抛物线有且仅有一个公共点，求的方程；
(2)设抛物线的准线与轴的交点为，直线过点，且与抛物线交于两点，的中点为，若，求的面积．
16．已知点是抛物线：上一点，斜率为2的动直线交于，（异于）的两点，直线，的倾斜角互补.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求.
17．已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.
18．已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为
①求证：为直角三角形.
②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标.
19．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、．当时，以线段为直径的圆过点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段的中点在曲线上运动，求（其中为平面直角坐标系的原点）的面积的最小值．
20．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为.
(1)求､的方程；
(2)设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点､，直线､分别与相交与､.
（i）设直线､的斜率分别为､，求的值；
（ii）记､的面积分别是､，求的最小值.
21．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．
22．已知抛物线C：的焦点为F，过点的动直线l与C的交点为A，B.当直线l的斜率为1时，.
(1)求C的方程；
(2)C上是否存在定点P使得（其中，分别为直线PA，PB的斜率，且两点不重合）？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由.