新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第38讲 两条直线的位置关系（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、两直线平行与垂直的判定
两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．
二、三种距离
1．两点间的距离
平面上两点的距离公式为．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离
2．点到直线的距离
点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
3．两条平行线间的距离
已知是两条平行线，求间距离的方法：
（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．
（2）设，则与之间的距离
注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．
4．双根式
双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．
三、直线中的对称问题
1．点关于点对称
点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为
2．点关于直线对称
点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．
3．直线关于点对称
法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；
法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
4．直线关于直线对称
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点
第三步：利用两点式写出方程
5．常见的一些特殊的对称
点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
点关于点的对称点为．
点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．
四、直线系方程
1．过定点直线系
过已知点的直线系方程（为参数）．
2．斜率为定值直线系
斜率为的直线系方程（是参数）．
3．平行直线系
与已知直线平行的直线系方程（为参数）．
4．垂直直线系
与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．
5．过两直线交点的直线系
过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．
二、题型分类精讲
题型一 两条直线的位置关系
策略方法 由一般式确定两直线位置关系的方法
判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：
当时，直线相交；
当时，直线平行或重合，代回检验；
当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．
【典例1】（单选题）若直线：​与直线：平行，则​的值为 （ ）
A．或B．​C．​或D．
【答案】B
【分析】根据两直线平行时斜率相等，列出方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到答案.
【详解】因为直线：​与直线：平行
则，解得：或，
当时，两直线重合，舍去；当时，验证满足.
故选:B.
【典例2】（单选题）直线：，：，则“或”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】由充分条件和必要条件的定义
【详解】当时，直线：，：，两直线倾斜角分别为和，；
当时，直线的斜率为，的斜率为9，，.
充分性成立，
直线：，：，若，
则有，解得或.
必要性成立.
所以“或”是“”的充要条件.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）直线与平行，则实数（ ）
A．B．C．或D．0
【答案】A
【分析】由直线与直线平行的充要条件，列式求解即可.
【详解】因为直线与平行，
所以且，解得.
故选：A.
2．（2023·全国·高三对口高考）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（ ）
A．2B．－2或1C．－1D．－1或2
【答案】A
【分析】根据直线平行，求得的值，结合两平行线的距离公式，即可求解.
【详解】因为两直线：，：平行，
可得且，解得或，
当时，，，即，
可两平行线间的距离为，符合题意；
当时，，，即，
可两平行线间的距离为，不符合题意，舍去.
故选：A.
4．（2023秋·河北保定·高三校联考开学考试）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】依题意，：，：，
若两直线平行，则，
解得或.
当时，：，：，
此时两直线重合，不符合.
当时，：，：，符合题意.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）已知直线，，若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.
【详解】由题意,，，，
所以．故选：C．
6．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简，代入即可得出单.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，所以，
所以.
故选：D.
7．（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知，则“直线与直线垂直”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件，
【答案】B
【分析】根据两直线的位置关系、充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】直线与直线垂直，
即，解得或.
所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件.
故选：B
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，其中，则（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【分析】对于A，求出直线方程，根据斜率的关系判断，对于B，由两直线平行直接列方程求解判断，对于C，由求出的值可得直线过的定点，对于D，当时，求出直线方程，然后求出直线在两坐标轴上的截距进行判断.
【详解】对于A，当时，直线的方程为，其斜率为1，而直线的斜率为－1，
所以当时，直线与直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线与直线平行，则，解得或，所以B错误；
对于C，当时，，与无关，故直线过定点，所以C正确；
对于D，当时，直线的方程为，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以D错误，
故选：AC．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为3
【答案】ABD
【分析】将直线变形为，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.
【详解】：（）变形为，
由 则因此直线过定点，故A正确；
当时，：，：，
所以，故两直线平行，故B正确；
当时，：，：，
因为，故两直线不垂直，故C错误；
当时，则满足，解得，此时：，：，即，则两直线间的距离为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
10．（2023·北京·高三专题练习）已知点，直线，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是 ．
【答案】(答案不唯一)
【分析】求出过且与不平行的方程即可.
【详解】直线的斜率为，故只需所求直线方程斜率不是即可，
可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为.
故答案为：(答案不唯一).
11．（2023·全国·高三专题练习）若直线与垂直，则 .
【答案】0或1
【分析】由两直线垂直，直接列方程求解即可.
【详解】因为直线与垂直，
所以，
化简整理得，解得或，
故答案为：0或1
12．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
【答案】
【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.
【详解】由，得，得，
所以：，即，又：，
所以与间的距离.
故答案为：
13．（2023秋·四川宜宾·高三校考开学考试）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数 .
【答案】
【分析】分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线相互垂直的性质即可得解．
【详解】因为，，所以，
因为两条直线相互垂直，所以直线的斜率必然存在，
又，，则，，
又所以，解得．
所以．
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，关于的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线上，据此可以求出点坐标，进而求出
【详解】由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上，
设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得，
故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标，
由，则，故，
则，.
故答案为：

题型二 两条直线的交点和距离问题
策略方法 1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【典例1】（单选题）若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得到交点坐标为，从而得到，再解不等式组即可.
【详解】，即交点为.
因为交点在第一象限，所以.
故选：A
【典例2】（单选题）设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】联立两直线方程，即，
由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.
故选：D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）坐标原点O到直线l：的距离是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】使用点到直线的距离公式求解.
【详解】O到直线l：的距离.
故选：D
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）若直线与直线的交点在直线上，则实数（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【分析】求出直线与直线的交点，再代入求解作答.
【详解】解方程组，得直线与直线的交点，
依题意，，解得，
所以实数.
故选：A
3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知直线，，给出命题：直线和与轴的交点关于轴对称，：直线与的交点在直线上．则（ ）
A．假真B．真真C．假假D．真假
【答案】D
【分析】令分别求得直线和与轴的交点即可判断命题p，求出两直线交点，再判断点是否在直线上即可判断命题q.
【详解】因为直线和与轴的交点分别为，，所以为真命题．
因为，所以直线与的交点为，且，所以为假命题．
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）设为动点到直线的距离，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.
【详解】点到直线的距离,
因为,则,
所以当时.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）若点到直线的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由点到直线距离公式求出距离，由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质、绝对值的定义得最大值．
【详解】由题意，
易知时，．
故选：A．
6．（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知实数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意设直线：，点，利用点到直线的距离公式得点A到直线的距离为，由直线的斜率不存在得，由得，化简即可求解.
【详解】根据题意，设直线：恒过原点，点，
那么点到直线的距离为：，
因为，所以，且直线的斜率，
当直线的斜率不存在时，，所以，
当时，，
所以，即，
因为，所以.故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.
【详解】，由，
解得，故过定点．
，由，
解得，故过定点，
故，距离的最大值为．
此时，，则，，
解得，故．
故选：C．
8．（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围.
【详解】法一：联立两直线方程，得，解得，
所以两直线的交点坐标为.
因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，
设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.
法二：由题意，直线l过定点，
设直线与x轴、y轴的交点分别为.
如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，

∴的倾斜角为，的倾斜角为.
∴直线l的倾斜角的取值范围是.
故选：D
9．（2023秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线系所过定点，再由及直线系表示的直线可求出结果.
【详解】由直线，可得，
由可解的，
即直线过定点，
则,
当与直线垂直时，，当直线过点，即时，，
又直线无论取何值，不能表示直线，
所以，
故选：B
二、多选题
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为3
【答案】ABD
【分析】将直线变形为，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.
【详解】：（）变形为，
由 则因此直线过定点，故A正确；
当时，：，：，
所以，故两直线平行，故B正确；
当时，：，：，
因为，故两直线不垂直，故C错误；
当时，则满足，解得，此时：，：，即，则两直线间的距离为，故D正确．
故选：ABD．
11．（2023·全国·高三专题练习）设直线系，下列命题中的真命题有（ ）
A．中所有直线均经过一个定点
B．存在定点不在中的任一条直线上
C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等
【答案】BC
【分析】根据条件分析出为圆的全体切线组成的集合，再逐项判断即可.
【详解】由题知，
点到中每条直线的距离，
即为圆的全体切线组成的集合，
从而中存在平行的直线，所以A错误；
又因为点不存在任何直线上，所以B正确；
对任意，存在正边形使其内切圆为圆，故C正确；
中的直线能组成两种大小不同的正三角形，故D错误.

故选：BC
12．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）函数图象上一点到直线的距离可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】作出图形，分析可知，当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离取最小值，利用导数的几何意义求出点的坐标，求出点到直线距离的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
设点的横坐标为，由图可知，当曲线在点处的切线与直线平行时，
点到直线的距离取最小值，
因为，则，由，可得，则，
此时，点的坐标为，
点到直线的距离为，
所以，函数图象上一点到直线的距离的取值范围是，
因为，，BC选项满足条件.
故选：BC.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 ．
【答案】
【分析】先求出两直线交点坐标，结合直线的方向向量得到直线斜率，得到直线方程.
【详解】联立，解得，
∴直线过点，
∵直线的方向向量，
∴直线的斜率，则直线的方程为，即．
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为 .
【答案】
【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.
【详解】由，得，得，
所以：，即，又：，
所以与间的距离.
故答案为：
15．（2023秋·广东佛山·高三统考开学考试）已知直线：，过点作直线，则和的交点坐标为 ．（用含A，B的式子表示）
【答案】
【分析】先求出直线，再求出和的交点坐标.
【详解】因为直线：，直线，
所以设，又因为过点，
则，则，所以，
则，解得：，
故和的交点坐标为：.
16．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）若，，点在线段（含端点）上移动，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由表示动点与定点之间的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】因为，，可得直线的方程为，
又由表示动点与定点之间的距离，
由点到直线的距离公式，可得，
又由，则过点与垂直的直线的斜率为，
此时直线方程为，即，
联立方程组，解得，满足题意，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．（2023·全国·高三专题练习）在中，的内角平分线方程为，，，则角的正切值为 ．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，关于的内角平分线所在直线方程的对称点一定在直线上，据此可以求出点坐标，进而求出
【详解】由题意得，根据角平分线的性质，关于的对称点一定在直线上，
设关于的对称点为，记，则是中垂线，于是，解得，
故，又，故直线方程为，于是和的交点为的坐标，
由，则，故，
则，.
故答案为：

18．（2023·河南开封·统考模拟预测）的三个顶点到直线的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心到直线的距离为 （答案不唯一，填一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心到直线的距离的范围，由此确定正确答案.
【详解】以平面内一点为原点，建立平面直角坐标系，
设，则，
设直线的方程为（不同时为），
不妨设，
设三角形的重心到直线的距离为，
则
，
则当同号时，取得最大值为，
当，
或时，
取得最小值为，也即过重心.
所以.
故答案为:1（答案不唯一）.
题型三 对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点
策略方法 对称问题的求解方法
(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
【典例1】（单选题）已知不同的两点与关于点对称，则（ ）
A．B．14C．D．5
【答案】C
【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值.
【详解】因为两点与关于点对称，
可得，即，解得，
所以.
故选：C.
【典例2】（单选题）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案.
【详解】由可得：，
令，解得：，
所以，设直线关于点的对称直线方程为：，
则到直线与的距离相等，
所以，解得：，即（舍去）或.
故直线关于点的对称直线方程为：.
故选：D.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线关于点对称，利用中点公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上.
【详解】由题设，关于对称的点必在上，若该点为，
∴，解得，即一定在直线上.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程.
【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与关于原点对称，若的方程是，则的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两直线关于原点对称的特点，即将的方程中改为，改为，即可得到答案.
【详解】因为直线与关于原点对称，则只需将的方程中改为，改为，可得的方程是，即
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0C．3x－2y－6＝0D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。
【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，
所以，即。
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点且线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A．B．C．3D．1
【答案】C
【分析】由题知的中点坐标为，代入方程即可得答案.
【详解】解：由题知线段的中点坐标为，
因为点且线段的垂直平分线的方程是
所以，将代入直线中，得，解得.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）在中，已知点，，且边的中点M在轴上，边的中点N在轴上，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，，，先利用中点坐标公式求出相关点坐标，再求出直线方程即可.
【详解】设，，，
因为，，
所以且，
解得，，，，
即，，，
所以MN所在直线方程为，
即．
故选：A．
题型四 对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线
策略方法 对称问题的求解方法
(1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（单选题）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（ ）.
A．a=-1，b=2B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4D．a=4，b=2
【答案】D
【分析】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.
【详解】点A，B关于直线对称，则，
即， ①
且AB中点在已知直线上，
代入得， ②
联立①②组成的方程组，解得，
故选：D.
【典例2】（单选题）已知一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，化简得，解得，
故反射光线过点与点，
则反射光线所在直线的方程为.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【详解】设关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点，利用点斜式可得直线方程.
【详解】点关于轴的对称点为，
又反射光线倾斜角为，斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点P在直线上,,则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】过点做关于直线的对称点,求出点坐标,则直线是线段的垂直平分线,则,的值即为所求.
【详解】解:由题知,过点做关于直线的对称点,
取直线上一点,连接,
连接交于点,连接,如图所示:
则有,解得,即,
因为关于直线对称,
所以直线是线段的垂直平分线,
所以,则,
当且仅当点运动到处时,
所以.
故选:D.
5．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，，，一束光线从点出发经AC反射后，再经BC上点D反射，落到点上．则点D的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据入射光线与反射光线的性质可知方程，由与的交点可得D，求坐标即可.
【详解】根据入射光线与反射光线关系可知，分别作出关于的对称点,
连接，交于，则D点即为所求，如图，
因为所在直线方程为，，设，
则，解得，即，
由所在直线方程为，，同理可得，
所以直线方程为，由解得，故选：C
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）点关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据题意设出对称点，利用中点在对称直线上和垂直直线的斜率之积为，列出方程组，解方程组即可得对称点的坐标.
【详解】解：由题意得：
设点关于直线的对称点的坐标为
则
故答案为：
7．（2023·全国·高三专题练习）如图已知，若光线从点射出，直线反射后到直线上，在经直线反射回原点，则光线所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】反射问题的本质还是对称问题，分别求点关于和的对称点，即可求得直线的方程，利用直线方程联立，求得点的坐标，再求直线的方程.
【详解】由题意知直线的方程为，
设光线分别射在上的处，
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
则∠∠∠，∠∠∠，
共线，
易得点关于轴的对称点，
∠，
，的横坐标为，
由对称性可知，可得的纵坐标为，
，
直线方程，即，
联立，得，，则，
直线：，即光线所在的直线方程为．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 .
【答案】
【分析】点A在直线上，求点关于直线的对称点，由角平分线的性质，点在直线AB上，可求直线AB的方程，与直线联立方程组，可求点A坐标.
【详解】如图所示，可知点A在直线上，

令点为点关于直线的对称点.
由于直线CD与直线垂直，且线段CD的中点在直线上，
于是就有，解得，因此点D的坐标为.
根据对称性可知点在直线AB上，又点B的坐标为，
于是直线AB的方程为，即.
由，解得，得点A的坐标为.
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则 .
【答案】
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，再求出点P关于的对称点坐标，借助三点共线列式求解作答.
【详解】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，，的重心G的坐标为，
设点P的坐标为，，则点P关系y轴对称点，
设点P关于直线对称点，显然直线BC的方程为，
于是，解得，即点，
由光的反射定律知，光线过点，也过点，而光线经过的重心，因此点共线，
则有，整理得，解得，
所以.
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 .
【答案】
【分析】求点关于x轴与直线l：的对称点，连接，由对称性可知，的周长为，其最小值为.
【详解】如图所示，令，分别为点关于x轴与直线l：的对称点，
并连接，，，则点的坐标为，

设点的坐标为，则，解得，于是点的坐标为.
由于，
因此的最小周长为.
故答案为：
题型五 直线的综合问题
策略方法 处理直线方程综合应用的两大策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．
【典例1】（单选题）过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线化为，可知定点，
动直线化为，可知定点，
又
所以直线与直线垂直，为交点，
.
则，当且仅当时，等号成立.
即面积的最大值为2.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）的顶点，边上的中线所在的直线为，的平分线所在直线方程为，求边所在直线的方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先由求出点的坐标为，再利用对称关系求出点关于直线的对称点，而在直线上，从而可得直线的方程，设点的坐标为，则，可求出点的坐标为，进而可求得直线的方程
【详解】解：由，得，
所以点的坐标为，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
因为点在直线上，
所以直线的方程为，即，
设点的坐标为，则的中点坐标为，
所以，解得，
所以点的坐标为，
所以，
所以边所在直线的方程为，即，
故选：B
【点睛】此题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式的应用，考查点关于线的对称点的求法，考查计算能力，属于中档题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点A在直线上，点B在直线上，线段AB的中点为，且满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出点的坐标和中点，用表示出坐标，将坐标代入对应直线方程即可得到的表达式， 联立得到表达式代入求解即可.
【详解】解：设，，则 ，
的中点为， ，
分别在直线和，
，，
，即.
，即 ，
又，，即 ，
所以，即 ，
所以，
解得.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点为直线上的动点，题意可转化成求与的距离和与的距离之和的最小值，求出关于直线的对称点，故，即可求出答案
【详解】设点为直线上的动点，
由可看作与的距离和与的距离之和，
设点则点为点关于直线的对称点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
二、填空题
5．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 ．
【答案】4
【解析】把点(1,1)代入直线ax＋by＝ab，得到＋＝1，然后利用a＋b＝(a＋b) ，再由基本不等式即可求得最值.
【详解】∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b) ＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
故答案为：4.
【点睛】点睛：本题主要考查直线方程以及利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点，、边中线方程分别为、，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】设点，，根据线段的中点在直线上可求得的值，根据线段的中点在直线上可求得的值，进而可得出点、的坐标，由此可求得直线的方程.
【详解】由题意可知，点在直线上，设点，则线段的中点为，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
点在直线上，可设点，则线段的中点为点，
易知点在直线上，则，解得，
所以，点的坐标为.
直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查直线方程的求解，求出三角形的顶点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是 .
【答案】
【分析】根据新定义直接求出，求出过O与直线的点坐标的“折线距离”的表达式，进而求出最小值即可．
【详解】直线与两轴的交点分别为 N（0，），M（，0），设P（x，y）为直线上任意一点，
作PQ⊥x轴于Q，于是有|PQ|＝|QM|，所以＝|OQ|+|QP|≥|OQ|+|QM|≥|OM|，即当P与M重合时，dmin＝|OM|＝．
故答案为．
【点睛】本题考查新定义的应用，函数的最小值问题，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键，属于基础题．
8．（2023·全国·高三专题练习）过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为 ．
【答案】8x－y－24＝0
【解析】设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程.
【详解】设直线夹在直线之间的线段是(在上，在上)，
的坐标分别是.
因为被点平分，所以
，
于是.
由于在上，在上，所以，
解得，即的坐标是.
直线的方程是，
即 .
所以直线的方程是.
【点睛】解题关键在于，利用中点坐标公式列出两点坐标的两个关系式，然后，列出相应方程组求解，主要考查学生的运算能力，属于基础题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求.
【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，

则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形，
则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，而，
所以的最小值为=
故答案为：
【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.
（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.
（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.
①两条直线的位置关系
②两条直线的交点和距离问题
③对称问题Ⅰ-点关于点和线关于点
④对称问题Ⅱ-点关于线和线关于线
⑤直线的综合问题
两直线方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一个为0，另一个不存在．