湖南省株洲市炎陵县第一中学等学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省株洲市炎陵县第一中学等学校2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．
【详解】解：直线 即，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，
则，且，故，
故选：．
2. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由可得，故，
，
故选：A
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的标准方程即可求解.
【详解】由可得，故焦点坐标为，
故选：D
4. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】弦的中点和圆心的连线必和弦所在直线垂直，所以直线斜率，通过点斜式即可得解.
【详解】的圆心坐标为，
所求直线的斜率，
直线方程为，即，
故选:C
5. 与椭圆有相同焦点且过点的椭圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆定义，结合两点距离求解，即可求解.
【详解】的焦点为，
，
故，
因此所求的椭圆方程为，
故选：B
6. 已知直线与直线，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】当时，可得出，当时，得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】当时，，，此时，所以可以推出，
若，由，解得或，
当，，，显然有，所以推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
7. 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知，则 的形状是
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：：∵，
∴，即|AB|=|AC|．△ABC形状是等腰三角形
考点：向量运算
8. 已知曲线在点处的切线方程为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
【详解】详解：
，
将代入得，故选D．
【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
二、多项选择题（每小题6分，3个小题共18分，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．）
9. 关于双曲线 - = 1，下列说法正确的有（ ）
A. 实轴长为4B. 焦点为（，0）
C. 右焦点到一条渐近线的距离为4D. 离心率为5
【答案】AC
【解析】
【分析】求得，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，
所以实轴长，A选项正确.
焦点为，B选项错误.
右焦点到渐近线的距离为，C选项正确.
离心率，D选项错误.
故选：AC
10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则数列等差数列
B. 若数列是等差数列且，，则当时，取得最大值
C. 若数列是等比数列，则，，成等比数列
D. 若数列是等差数列，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，利用与间的关系，求出，即可求解；对于B，根据条件得，，即可求解；对于C，取，当为偶数时，，即可求解；对于D，利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为①，当时，②，
由①②得到，又时，，不满足，
所以，则，数列不是等差数列，故选项A错误，
对于选项B，因为，且，则公差，由，得到，
所以，故当时，取得最大值，所以选项B正确，
对于选项C，取，为等比数列，且首项为，公比为，
当为偶数时，，此时，，不成等比数列，所以选项C错误，
对于选项D，因数列是等差数列，则，所以选项D正确，
故选：BD.
11. 若方程所表示曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A. 若为椭圆，则B. 若为双曲线，则或
C. 曲线可能是圆D. 若为椭圆，且长轴在轴上，则
【答案】BC
【解析】
【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可
【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误
若为双曲线，则 ， ，故B正确
若为圆，则 ， ，故C正确
若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误
故选：BC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的单调递增区间是__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间.
【详解】因为，则其定义域为，
，令，
即可得，解得，
结合函数定义域可知，函数的单调增区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域.
13. 某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行一次募捐活动，共获得捐款1200元．他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每1天获得的捐款比前1天多10元，这次募捐活动一共进行了_______天．
【答案】15
【解析】
【分析】由题意知每天得到的捐款成等差数列，写出首项与公差，代入前n项和公式，即可解出答案.
【详解】由题意可知每日的募捐款构成首项为10，公差为10，前n项和为1200，
则，解得或（舍去），
所以这次募捐活动一共进行了15天.
故答案为：15.
14. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 分别求符合下列条件的直线的方程
（1）过点且倾斜角为
（2）过点且与直线平行
（3）过点且在两坐标轴上的截距相等
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）求出斜率，利用直线的点斜式方程求解.
（2）由平行关系设出方程，利用待定系数法求出方程.
（3）按直线是否过原点分类，结合直线的截距式方程求解.
【小问1详解】
由直线的倾斜角为，得其斜率，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
设与直线平行的直线的方程为，而直线过点，
则，解得，
所以直线的方程为.
【小问3详解】
当直线过原点时，直线的方程为，即，
当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，
所以直线的方程为或.
16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）或21
【解析】
【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可.
（2）首先由得公比，结合得公差，由此即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由得：，解得（舍去），，于是.
【小问2详解】
由得，解得或.
当时，由得，∴；
当时，由得，∴，
综上所述，故或21.
17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，
（1）求证：
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可得平面，即可根据线面垂直的性质求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
证明：取的中点，连接．
∵四边形为菱形，且，则，
又∵为等边三角形，∴，
而，平面，∴平面．
又∵平面，∴．
【小问2详解】
若，由可知，，
而，故平面，而．以点为原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向建系．
则，，，，．
故，，
设平面的法向量
∴∴即
令，则，，所以，平面的法向量．
设直线与平面所成角为，
∴
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据时，，作差即可求解，
（2）利用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
因为，①
故当时，．②
①②得，所以．
又当时，符合，从而的通项公式为．
【小问2详解】
记前n项和为，
由（1）知，
则．
19. 过双曲线右焦点倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点
（1）求；
（2）求的面积
（3）求证：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）联立直线和双曲线方程利用弦长公式计算可得；
（2）利用点到直线距离公式以及三角形面积公式计算即可；
（3）由双曲线定义证明即可得出结论.
【小问1详解】
易知右焦点为，直线l的方程为．如图所示：
设，，
由得，
所以，，
可得.
【小问2详解】
原点到直线l：的距离,
所以．
【小问3详解】
证明：由（2）知直线l双曲线的右支相交于A，B两点，
由双曲线的定义得，．
所以，
整理得．