河北省定州市第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省定州市第二中学2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. ，，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集元素的意义，联立方程求解即可得集合.
【详解】根据题意，元素为两个方程的解构成的点，
由解得，
则.
故选：C
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解出不等式，即可判断.
【详解】由可得，解得或，
“”是“或”的充分非必要条件，
“”是“”的充分非必要条件.
故选：A.
3. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：A中函数为偶函数，不合题意；
B中函数是奇函数且在区间上是单调递减函数，符合题意；
C中函数为非奇非偶函数，不合题意；
D中函数为奇函数但其在上为单调递增函数，不合题意，故选B．
考点：函数的奇偶性及单调性．
4. 已知函数的定义域为R，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先由条件转化为恒成立，再讨论求的取值范围.
【详解】由条件可知，恒成立，
当时，恒成立，
当时，，解得：，
综上可知，.
故选：B
5. 已知，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
所给等式两边同时平方可得，代入的展开式求出，两式联立可求出，，即可求得.
【详解】①等式两边同时平方可得，
所以，
又，且，
所以，，，②，
联立①②可得，，所以.
故选：D
【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题.
6. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性和奇偶性即可求解.
【详解】由题意，易知的定义域为，
而
所以
即，
所以为上的奇函数；
又因为均为奇函数，
且在均为增函数，
所以为上的奇函数，且为增函数；
又因为，
所以，
，
，
故选：A．
7. 若点D在的边BC上，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用基底向量表示，再结合已知并借助平面向量基本定理即可作答.
【详解】在中，因，则，
而不共线，且有，
于是得，进而得，
所以等于.
故选：C
8. 若函数的图象至少有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将问题转化为当时，与至少有个交点；当时，易知两函数只有个交点，不满足题意，则；由数形结合可知，只需即可满足题意，从而构造出不等式求得结果.
【详解】至少有个零点等价于与至少有个交点
两函数均为偶函数
当时，只需与至少有个交点即可满足题意
当时，与有且仅有个交点，不合题意
由图象可知，当时，则与至少有个交点
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题；解决此类问题的关键是能够将问题转化为两个函数的交点个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先根据函数是幂函数，求得两个值，然后根据题意判断函数在上是增函数，确定的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.
易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.
综上可知，，且或或.
故选：BC.
【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定和的符号情况.
10. 若a，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为4
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式依次判断即得.
【详解】由a，，，可得，
对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误；
对于B，∵，当且仅当，即时取等号，
∴，即的最大值为，故B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确；
对于D，由题可得，，
∴，
而，当且仅当，即时取等号，
∴，即的最大值是，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列正确的有（ ）
A. 函数在上为增函数B. 存在，使得
C. 函数的值域为D. 方程只有一个实数根
【答案】ABD
【解析】
【分析】首先去绝对值，依次判断函数的单调性和值域，再求解的方程，再利用数形结合判断D.
【详解】A.当时，，函数在上为增函数，故A正确；
B.当时，，若，则，
即 ，其中，所以方程存在实数根，故B正确；
C.当时，，函数在上为增函数，此时，
当且时，，此时函数在和单调递减，此时或，所以函数的值域是，故C错误；
D.由以上求值域的过程可知，和时，，当时，，即，
如图画出和，当的图象，

两函数图象在区间只有1个交点，所以方程只有一个实数根，故D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【详解】设，则，
换元得，
显然当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：.
13. 已知函数(且)图象恒过的顶点在角的终边上，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】易知恒过点，根据在角的终边上，求得，然后利用二倍角正切公式求解.
【详解】∵恒过点，
∴，
∴.
故答案为：
14. 若函数最小值为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果.
【详解】当时，，因为的图象关于对称，
若最小值为，可知，即可得；
又当时，，当且仅当时等号成立；
若最小值为可得，即，解得；
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）按指数幂的运算法则计算即可
（2）按对数的运算法则计算即可
【小问1详解】
【小问2详解】
16. 设全集是实数集，，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别解不等式求得集合，再由并集定义求解即可；
（2）由得，讨论，和求解即可.
【小问1详解】
由题意可得 ,
当时，,
则
【小问2详解】
或，由得，
当时，满足，则成立
当时，,满足，则成立
当时，，
由于，所以，即
综上：.
17. 已知是定义域为R的奇函数．
（1）求a的值，判断的单调性并证明；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1），函数在R上是单调递增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质即可求解，即可由单调性的定义求证，
（2）由（1）的单调性，即可结合奇偶性将问题转化为恒成立，即可由判别式求解.
【小问1详解】
由题意得，所以，
当时，故为奇函数，
在R上是单调递增函数，
证明如下：
对于，，设，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以，即函数在R上是单调递增函数．
【小问2详解】
等价于，
因为是R上的单调增函数，所以，即恒成立，
所以，解得，所以k的取值范围为．
18. 已知函数，其中，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①是的一个零点；②.
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的性质建立并解方程，可得答案；
（2）利用三角函数恒等式整理函数解析式，根据复合型三角函数的单调性，可得答案.
【小问1详解】
选条件①
由题设.所以.
因为，所以.所以.所以.
选条件②.
由题设.
，，
，，，
整理得.
因为，所以.所以.所以.
【小问2详解】
由（1）.
令，
所以在单调递增，在单调递减，
于是，当且仅当，即时，取得最大值1；
当且仅当，即时，取得最小值.
又，即时，.
所以的取值范围是.
19. 已知函数且．
（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意得到对一切恒成立，结合单调性即可求得最终结果；
（2）由最大值为1结合对数函数的性质求出，再说明时无意义即可得出不存在．
【小问1详解】
，由题设知对一切恒成立．
因为，所以在上为减函数．
由，解得，又，
所以的取值范围为．
【小问2详解】
不存在．理由如下：
假设存在这样的实数，由题意得：，即，．
所以．
当时无意义，故这样的实数不存在．