广东省江门市鹤山市广旭实验学校2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市鹤山市广旭实验学校2024-2025学年高一下学期开学考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系判断即可.
【详解】，，，，.
故选：B.
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据含一个量词的命题的否定的结论可得答案.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出二次不等式的解，利用充分条件、必要条件的定义求解即可
【详解】由
若成立，则不一定成立，即充分性不成立；
若成立，则一定成立，即必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B,
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
5. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数为非负实数，分母不为零进行求解即可.
【详解】要使函数有意义，则解得，且，
故函数的定义域为．
故选：C
6. 函数一个零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出、、与、，根据零点存在定理即可求解.
【详解】由题意知函数在R上单调递增，
，，
，，，
则函数的一个零点所在的区间是.
故选：C.
7. 下列函数是偶函数且在上单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据选项，逐个判断奇偶性和单调性，然后可得答案．
【详解】对于A，的定义域为，，则为奇函数，不合题意；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，
在上，为增函数，符合题意；
对于C，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意；
对于D，的定义域为，故既不是奇函数又不是偶函数，不合题意．
故选：B．
8. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由角的终边，得，由同角三角函数的关系得，代入求值即可.
【详解】因为角的终边在直线上，所以.
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知不等式解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的解集为
【答案】ABC
【解析】
【分析】分析可知，且的根为，利用韦达定理求，即可判断ABC；代入不等式运算求解即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，
可知，且的根为，故A正确；
则，可得，
则，，B正确；C正确；
因为，即，且，
则0，解得，
所以的解集为，D错误．
故选：ABC．
10. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分两种情况，得到方程，求出答案.
【详解】由，得或，解得或，
故选：AC
11. 已知，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的图象关于点对称D. 在单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的周期，对称轴对称中心应用代入法判断，结合正弦函数的单调性等性质逐项判断即得.
【详解】对于A，函数的最小正周期，，A正确；
对于B，由，得函数的图象不关于直线对称，B错误；
对于C，由，得函数的图象不关于点对称，C错误；
对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数（且）的图像恒过定点，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】当时，函数值域与没有关系，由此求得恒过的定点，并求得表达式的值.
【详解】令，解得，函数值与没有关系，此时，
故函数过定点，即，，所以.
故答案为：5.
13. 已知角的终边与单位圆交于点，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，求得，结合，即可求解.
【详解】由角的终边与单位圆交于点，可得，
又由.
故答案为：.
14. 设函数在区间上最大值为，最小值为，则的值__________.
【答案】
【解析】
【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果.
【详解】由题意知，（），
设，则，
因为，定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数，
则在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）-1 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解，即得答案；
（2）根据对数的运算性质求解，即得答案.
【小问1详解】
；
小问2详解】
.
16. 已知集合或.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先求集合，再求交集；
（2）分集合和两种情况，列式求参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
又因为或，所以；
【小问2详解】
若，
当，即时，，满足；
当，即时，，
要满足，只需，
解得，又因为，所以.
综上可知，实数的取值范围为.
17. 已知函数．
（1）解关于x的不等式：；
（2）当时，恒成立，试确定实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由原不等式可得 ， 对分三种情况讨论 ，分别利用二次不等式的解法即可得解；
（2） 恒成立等价于 在区间 上恒成立，令 ，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，即为 ，
即可得 ，
令可得或，
当，即时，或；
当，即时，；
当，即时，或，
综上，当时，不等式的解集为或；
当时， 不等式的解集为 ；
当时， 不等式的解集为或；
【小问2详解】
因为当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设函数 ，
则 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上的最小值为 ，
所以 ，
故实数 的取值范围为
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）求使成立的实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果；
（2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增；
（3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为.
【小问1详解】
由题意可知，故，
又由可得，解得；
所以，
此时定义域关于原点对称，且，
故是定义在上的奇函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
取任意，且，
则；
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
因此在上单调递增.
【小问3详解】
由（1）（2）可知，是在上单调递增的奇函数，
所以由可得，
因此需满足，解得，即；
故实数a的取值范围为.
19. 已知函数仅满足下列四个条件中的三个：
①的最小正周期为；②的最大值为2；③；④．
（1）请找出函数满足的三个条件，并说明理由；
（2）求函数的解析式．
【答案】（1）满足条件①②④，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）发现条件③与题干矛盾，进而选出正确条件即可.
（2）利用三角函数的性质求解解析式即可.
【小问1详解】
若函数满足条件③，则，
这与矛盾，故不能满足条件③，
函数只能满足条件①②④，
【小问2详解】
由条件①，得，故，由条件②，得，
由条件④，得，
又，
函数的解析式为．