安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期2月开学考试 数学试题（含解析）

这是一份安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期2月开学考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：．故选B．
考点：诱导公式
点评：本题用到诱导公式．
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
3. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数、在上均为增函数，
故函数在上单调递增，且连续，
又由于，， .
由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为.
故选：B.
4. 若，则（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据指对互化，可得，，进而利用换底公式即可结合对数的运算性质求解.
【详解】解：因为，所以，，则，，
所以，所以，则，
故选:D
5. 已知，，，其中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数在上为增函数，比较a，c，由为增函数，比较b，c即可；
【详解】解：因为函数在上为增函数，
所以，即
又函数为增函数，所以，即，
故
故选：C
6. 已知函数的图象如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由点可求，再结合周期范围及点求，即可求解；
【详解】解： 由图知，当时，，
又，所以
由，得，
由，得，所以
当时，，则，
解得，所以，
所以
故选：A
7. 已知幂函数，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的概念求得，结合幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为是幂函数，所以，
因此，所以是定义在上的增函数，
又因为，所以，解得，
故选：A.
8. 若点关于y轴的对称点仍然在函数的图象上，称点是函数的“好点”.函数的“好点”有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】由好点新定义，结合函数图像的对称即可求解；
【详解】解：因为的图象与的图象关于y轴对称，
所以“好点”的个数即方程解的个数，
在同一直角坐标系中，作出函数、的图象，
由图知有两个交点，所以函数有两个“好点”.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列选项中与的值相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由两角和差的正切公式及商的关系逐个判断即可；
【详解】解：，故A错误;
，故B正确;
，故C正确;
，故D错误.
故选：BC
10. 若，则下列说法正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由对数函数的单调性得到，逐项判断即可；
【详解】解：因为函数在上单调递增，所以，
则，，
由，得不出，所以不正确.
故选：ABC
11. 设是定义在上的函数，若函数是偶函数，是奇函数，且当时，，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称B. 函数的最小值是
C. 函数在上单调递增D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义推导出函数图象既关于直线对称，又关于点对称，进而可推导出函数是周期为的周期函数，由此可作出函数的图象，逐项判断即可.
【详解】因为函数是偶函数，是奇函数，
所以，，，即，
所以函数图象既关于直线对称，又关于点对称，
所以，且，所以，于是，
所以，所以函数是周期为的周期函数.
当时，，作出函数的图象如图所示，
因为，所以，，
则函数的图象关于点对称，故A正确；
的最小值是，故B错误；
因为在上单调递增，且，
所以在上单调递增，故C正确;
，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一扇形的弧长为4，圆心角为，则该扇形的面积为__________结果保留
【答案】
【解析】
【分析】根据公式解得半径的值，然后根据扇形面积公式计算即可.
【详解】易得，由，得，
由扇形面积公式
故答案为：
13. 不等式的解集为__________答案写成区间形式
【答案】
【解析】
【分析】利用分式不等式的解法求解.
【详解】由，得，得，
即，解得或
故答案为：
14. 已知函数，，若，则的最小值为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】易得，结合在和上单调递增，由得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，
所以，
又，且在和上单调递增，
所以当时，，
所以，当且仅当，时取等号，
所以最小值为
故答案：4
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，
（1）若，求
（2）若“”是“”充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求解不等式，确定集合，由补集、并集运算即可；
（2）由构造不等式求解即可；
【小问1详解】
集合；
解不等式得或，
所以不等式的解集为或，
所以集合或，
所以，
若，则，所以
【小问2详解】
由得，或，
若“”是“”充分条件，则，
又集合
所以或，解得或，
所以实数m的取值范围为
16. 已知角终边经过点，函数
（1）求的值;
（2）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调增区间和的值.
【答案】（1）
（2）；.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义，结合正弦的差角公式即可求解，
（2）根据函数图象的变换可得，即可利用整体法求解单调性，利用二倍角公式以及和差角公式求解的值.
【小问1详解】
因为角终边经过点，所以，，
所以
【小问2详解】
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，
得到函数，
再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数
,
由，
得，
所以函数单调增区间为
因为，，所以，
17. 已知函数
（1）命题，写出命题p的否定;若，且命题p是假命题，求实数n的取值范围;
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据命题和命题的否定真假相反，将问题转化为，成立，即的最小值小于即可求得；
（2）代入求得函数，再根据换元思想化为二次函数求得值域，要注意新元的范围.
【小问1详解】
命题的否定：，
若，且命题是假命题，则命题的否定为真命题，
即，成立.
当时，，当且仅当时，等号成立，
若命题的否定为真命题，则，解得，
即实数的取值范围为
【小问2详解】
若，则，
则
令，则，
于是函数的值域与函数，的值域相同，
因为在上单调递增，所以，
其值域为故函数的值域为
18. 摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色.某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟.
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，，求y关于t的函数解析式；
（2）在(1)条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离；
（3）游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差最大时运行时间的值.
参考公式：
【答案】（1）
（2）30米 （3）或
【解析】
【分析】(1)利用已知条件列出关于的方程组，求解即可求出y关于t的函数解析式；
(2)利用(1)中的解析式，令即可求解；
(3)先找到甲，乙两人之间的夹角，再利用(1)中的解析式分别写出甲，乙两人距离地面的高度，作差进行求解.
【小问1详解】
因为摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，
所以，，且当时，，
又转一周需要48分钟，所以周期，
所以，其中，，，
所以，，，，
所以
【小问2详解】
由(1)知，，
当时，，
所以游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离为30米.
【小问3详解】
设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点A，B，则，
结合(1)，当乙运行分钟后，乙离地面距离，
甲离地面距离，
所以甲、乙两人距离地面高度差
，
当时，，
所以当或，
即或时，取得最大值1，
所以甲、乙两人距离地面高度差最大时运行时间的值为或.
19. 已知函数
（1）求函数的最大值;
（2）若，且，求的取值范围;
（3）已知函数，若对，都存在唯一的实数，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系将函数化为二次型函数，结合余弦函数及二次函数的性质计算可得；
（2）求出，，即可求出、的取值范围，即可得解；
（3）求出的单调性，欲使关于x的方程在区间内仅有唯一解，求出的取值范围，再求出的值域，依题意成立，则，即可得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
因为
，
所以当时，取得最大值，最大值为
【小问2详解】
当时，易得函数在上单调递减，在上单调递增，
则，，
因为，所以，
解得，
所以，即的取值范围为
【小问3详解】
因为，
所以上单调递减，在上单调递增，且，，，
所以欲使关于x的方程在区间内仅有唯一解，则必有，
又函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
若对，都存在唯一的实数，使得，即成立，
而，则，所以，
解得，即实数的取值范围为.